2.3-平面力偶系的合成与平衡
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第三章平面力系的合成与平衡
【解】杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC 受压力，如图3.10(b)所示。
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
(3)平面力偶系讲解
Fy
A
O x y
F
q
M O ( F ) xF sin q yF cos q xFy yFx
Fx x
已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
例1
Ft Fn Fn
Fr
MO (F ) F h Fr cos 78.93 N m
以后常用 合力矩定理
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
B MO(F) r O h F A
力 F 与点 O 位于同一平面内， 点 O 称为 矩心 ，点 O 到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
M1
C
M2
60o D B
RA = RC = R, AC = a Mi = 0
C
RC M1 (1)
A
a R - M1 = 0
M1 = a R
RA
B
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。
A 60o
M1
C
M2
60o D
RD = RC = R
B
Mi = 0
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.
M O1 F , F M O1 F M O1 F F d x1 F x1 Fd
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
F
x
0
F
y
0
FA F sin 45 sin( 180 90 1 ) 10 FA F 7.9 N 4
FA
F
1
FN B FA
FNB
2-10
解2: 解析法 研究AB杆，画受力图
F F
X
0 FA cos 1 F cos 0 0 FA sin 1 FN B F sin 0
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
2-23
m 即合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。 2. 平衡： m m 0
方向：以逆时针为正，顺时针为负。
若用矢量表示： m BA F
2-18
注：力偶无合力，即不能与某力作等效变换，其是一个 基本的力素。 证明： FR=F-F'=0
由合力距定理，可知
M
C
0, F 'CB F CA 0 CB F 1 CA F '
FR
若CB CB d成立, 必有CB
A
1
Y
O
10 FA F 7.9 N 4
F
C
45°
B
FA
FNB
2-11
§2-3 力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向 一、力对点的矩
平面力偶系的合成与平衡
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
1.1 平面力偶系的合成
设在刚体某一平面内作用有两个力偶M1、M2（图a）。 根据力偶的等效性质，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据 力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为 （图b）
F1
F1
M1 d
,
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平面力系\平面力偶系的合成与平衡
M=20kN·m，梁的跨长l=5m，倾角＝30，求支座A、B处的反力，
梁的自重不计。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
【解】取梁AB为研究对象。
受力如图所示。
由力偶系的平衡方程，有
FBl cos M 0
得
FB
M
l cos
20k N m 5 m c os30
4.62kN
故
FA FB 4.62kN
目录
理论力学
若平面力偶系的合力偶的矩为零，则刚体在该力偶系作用下将 不转动而处于平衡；反之，若刚体在平面力偶系作用下处于平衡， 则该力偶系的合力偶的矩为零。故平面力偶系平衡的充要条件是合 力偶的矩等于零，即
M 0
该式称为平面力偶系的平衡方程。平面力偶系只有一个独立的平衡 方程，只能求解一个未知量。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡 【例3.5】 如图所示梁AB受一力偶的作用，力偶的矩
理论力学
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成与平衡
作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。例 如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（如图），为保持平衡， 螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到 三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
1.1 平面力偶系的合成
设在刚体某一平面内作用有两个力偶M1、M2（图a）。 根据力偶的等效性质，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据 力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为 （图b）
F1
F1
M1 d
,
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平面力系\平面力偶系的合成与平衡
M=20kN·m，梁的跨长l=5m，倾角＝30，求支座A、B处的反力，
梁的自重不计。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
【解】取梁AB为研究对象。
受力如图所示。
由力偶系的平衡方程，有
FBl cos M 0
得
FB
M
l cos
20k N m 5 m c os30
4.62kN
故
FA FB 4.62kN
目录
理论力学
若平面力偶系的合力偶的矩为零，则刚体在该力偶系作用下将 不转动而处于平衡；反之，若刚体在平面力偶系作用下处于平衡， 则该力偶系的合力偶的矩为零。故平面力偶系平衡的充要条件是合 力偶的矩等于零，即
M 0
该式称为平面力偶系的平衡方程。平面力偶系只有一个独立的平衡 方程，只能求解一个未知量。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡 【例3.5】 如图所示梁AB受一力偶的作用，力偶的矩
理论力学
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成与平衡
作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。例 如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（如图），为保持平衡， 螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到 三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。
-建筑力学第三章平面力系的合成与平衡
平面汇交力系合成与平衡的几何法小 结
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法(重点掌 握)。
R0
Rx2
R
2 y
0
或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代
数和分别等于零。
Rx Fx 0 Ry Fy 0
为平衡的充要条件， 也叫平衡方程
解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:
1.选-对像;即依需选分离体，分离体选取应最好含题设
的已知条件; 2.画-分离体受力图,作到准确无误;
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力
的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这
力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的
方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。 R0 -----主矢,与简化中心选取无关; M0 ---主矩,与简化中心有关。
2、主矢和主矩 (1)主矢R0
F3 F2
D
C
F2 F4 F3
R
F4
R
F4
E
E
3、汇交力系的合成结果
汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这
力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式：R F1 F 2
F1
A F2
F4 F3
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
n
2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡
第三节 平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系 称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般 力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化 成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的 任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原 力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用 作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四 边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定 的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇 交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一 定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个 不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以 简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理
理论力学02平面力系的简化和平衡
即它就是作用线方程rxry例题2123平面力偶系作用在同一平面的多个力偶构成平面力偶系以其中任一力偶为基准通过移转改变力偶臂长度将其他力偶与该基准力偶叠合得到两个汇交力系再分别合成可以得到一个新力偶原力偶系的合力偶原力偶系的合力偶矩只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
第二三章 平面汇交及平面任意力系力系与平面力偶理论
=
=
=
33
结论:
M m1 m2 mn mi
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
n
34
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为
20
例3 求图3－6所示各分布荷载对A点的矩。
21
解：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方 向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合 力的大小等于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该 点之矩 （1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩
40N 0.4m 0.4m 60N 0.6m
推论
M=24N.m
60N
a)力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢M的作 用点可以在平面上任意移动，力偶矩矢是自由矢。 b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和 力臂的大小。 由此即可方便地进行力偶的合成。
28
c）平面力偶系的合成
h1 h2
h1
F1 F2
FR'
FR
力？
O
h=M0/FR
M0
A
42
y
FR h
O
FR'
x
讨论1 平面一般力系简化的最终结果
情况 向O点简化的结果 分类 主矢FR' 主矩MO
1 2 3 4 FR’=0 FR'=0 FR0 FR‘0 MO=0 MO0 MO=0 MO0
MO
力系简化的最终结果 （与简化中心无关）
土木工程力学21-平面力偶系的合成与平衡
写出杆OA的平衡方程： ∑M = 0
M1 FA • OA 0
FA
M1 OA
2 0.5
4
N
2020/2/29
30
学习探究
解： 分析：因为AB杆为二力杆，故其两端受到
的约束力FA和FB只能沿A，B的连线方向，即水
平方向。
A
B
F'A
F'B
再取杆 O1B 为研究对象。画受力图。
FB B
同样因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O1的约 束力FO1必须和FB 平行，且与其方向相反。
力。
M1
A
B
。
4 m M2 45
注意 M1 16KN • m M2 4KN • m
2020/2/29
26
学习探究
解：作 AB梁的受力图。
AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，但M1和M2明 显不能平衡，这样在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个
力偶才能与之平衡。
M1
A
FA
B
M2
FB
FB
d
900
d l • sin 600
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
2020/2/29
28
学习探究
例题4： 如图所示的铰接三连杆机构在图示位置处于平衡。
已知OA=50cm，O1B=40cm，在杆OA上作用着的力偶矩 M1=2牛米，不计杆重，试求M2。
课本35页例题8
圆盘半径为r。
m 图示圆盘 O 为何能在力偶 m 和力 G
的作用下保持平衡 ？
r
O
平衡条件是什么 ？
G
2020/2/29
M1 FA • OA 0
FA
M1 OA
2 0.5
4
N
2020/2/29
30
学习探究
解： 分析：因为AB杆为二力杆，故其两端受到
的约束力FA和FB只能沿A，B的连线方向，即水
平方向。
A
B
F'A
F'B
再取杆 O1B 为研究对象。画受力图。
FB B
同样因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O1的约 束力FO1必须和FB 平行，且与其方向相反。
力。
M1
A
B
。
4 m M2 45
注意 M1 16KN • m M2 4KN • m
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学习探究
解：作 AB梁的受力图。
AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，但M1和M2明 显不能平衡，这样在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个
力偶才能与之平衡。
M1
A
FA
B
M2
FB
FB
d
900
d l • sin 600
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
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28
学习探究
例题4： 如图所示的铰接三连杆机构在图示位置处于平衡。
已知OA=50cm，O1B=40cm，在杆OA上作用着的力偶矩 M1=2牛米，不计杆重，试求M2。
课本35页例题8
圆盘半径为r。
m 图示圆盘 O 为何能在力偶 m 和力 G
的作用下保持平衡 ？
r
O
平衡条件是什么 ？
G
2020/2/29
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
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i 1
n
平面力偶系平衡的充要条件： 所有分力偶矩的代数和等于零.
Mi
0
平面力偶系的合成与平衡
例2-8、简支梁AB=l，作用一力偶 M ，不计自重。求下列三 种情况下的支座约束力。 解：梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。 M d 因为力偶只能与力偶平衡，所以 A
B FB
FA = FB。
B F2
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
4 同平面内力偶的等效定理
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条 件是二者的力偶矩代数值相等。 力偶特性3： 力偶可以在其作用面内任意搬移。即力偶在作用面内的 位置不是力偶效应的特征。
O i O 1 O 2 O
MO P MO P2 MO F 1
不会倾倒
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
2. 合力矩定理 合力对于任一点之矩等于各分力对于同一点 之矩的代数和。
MO 与 M
联系：力偶中的两个力对任一点之矩的代数和是常量， 等于力偶矩。
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡 5 平面力偶系的合成与平衡条件
M Mi Mi
M O FR M O Fi
平面力偶系的合成与平衡
θ 20 , 已知: F=1400N, 例、
r 60mm
求: M O F .
解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ 78.93N m
按合力矩定理
M O F M O Ft M O Fr F cos θ r 78.93 N m
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性1：
力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 投影方程中不出现力偶 力和力偶是静力学的两个基本要素
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性2：
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶矩。 力偶对任一点之矩等于它的力偶矩
与矩心的位置无关
证： MO （F1) ＋ MO （F2) = －F 1·OA′＋ F 2·OB′ = －F 1( OA′－OB′) = －F 1·(A′B′) = －F 1·d =M A′ A d F1 B′ O
l
l
平面力偶系的合成与平衡
分布荷载的合力 1、方向：与分布荷载相同； 2、大小：荷载图形的面积； 3、作用线：通过荷载图形的形心。
q ql
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
已知OA= r，DB= 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M1 和 M2 的 关系。
A O
α
B
FBA FAB M2 M1
B
M1
M2
A D FO O
D FD
解：杆AB为二力杆。
由于力偶只能与力偶平衡， 则AO杆与BD杆的受力如图所示。
第二章 平面力系
§2–3 平面力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO和BD的平衡方程： 由
.3 力偶和力偶矩
工
程
实
例
平面力偶系的合成与平衡
.3 力偶和力偶矩
力偶 :大小相等的二反向平行力。 F , F
⑴ 作用效果：引起物体的转动。 ⑵ 力和力偶是静力学的二基本要素。
F2
d
F1
力偶矩
M = ±F1· d
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号； 反之，取负号。
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性4：
唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值。
即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。
平面力偶系的合成与平衡
力对点的矩与力偶矩的关系
相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。 牛顿•米（N • m） 区别：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一 个力偶的矩与矩心的位置无关。
F
A
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向 力矩的值也可由三角形OAB面积的2倍表示及 矢量积表示 M 0 F r F MO（F ) =±2ΔOAB面积
平面力偶系的合成与平衡
力矩的性质
（1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对O间距离d，并加上适当
正负号，称为F 对O点的矩。简称力矩。 力矩的表达式 MO（F ) =±Fd O — 矩心， d —力臂。
平面力偶系的合成与平衡
力对点之矩
力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时，力F对 O点的矩取正值；反之，取负值。 力矩二要素：
O d B
A α FAB
M
i
0
FO
得
M1 r · FAB cosα= 0
M1 O
M2 + 2r · FBA cosα= 0
因为 则得 FAB = FBA M2 = 2 M1
FBA
B
M2
α FD D
平面力偶系的合成与平衡
例1、如图2-12所示挡土墙，自重为 ， P 75KN 1
，水平土压力 F 90 KN 。试求 a1 1m ，铅垂土压力 P 120KN 2 三力对前趾点O之矩，并判断挡土墙是否会倾倒？ 解：分别计算三力对O点之矩
所以，三力对前趾点之矩的和为
M F M P M P M F 171KN m
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡 1 力对点之矩
平面力偶系的合成与平衡
例、已知q,l。求：合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql l 2 0
由合力矩定理，对A取矩
得
2 h l 3
x2 P h q dx x q dx l 0 0
1)由
M
i
0
FA
即
—M +FAl = 0 FA = FB = M/l
第二章 平面基本力系
§2–3 平面力偶系的合成与平衡
2)
仍然有
3)
第二章 平面力系
平面力偶系的合成与平衡
例、如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别
作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。
n
平面力偶系平衡的充要条件： 所有分力偶矩的代数和等于零.
Mi
0
平面力偶系的合成与平衡
例2-8、简支梁AB=l，作用一力偶 M ，不计自重。求下列三 种情况下的支座约束力。 解：梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。 M d 因为力偶只能与力偶平衡，所以 A
B FB
FA = FB。
B F2
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
4 同平面内力偶的等效定理
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条 件是二者的力偶矩代数值相等。 力偶特性3： 力偶可以在其作用面内任意搬移。即力偶在作用面内的 位置不是力偶效应的特征。
O i O 1 O 2 O
MO P MO P2 MO F 1
不会倾倒
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
2. 合力矩定理 合力对于任一点之矩等于各分力对于同一点 之矩的代数和。
MO 与 M
联系：力偶中的两个力对任一点之矩的代数和是常量， 等于力偶矩。
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
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平面力系
平面力偶系的合成与平衡 5 平面力偶系的合成与平衡条件
M Mi Mi
M O FR M O Fi
平面力偶系的合成与平衡
θ 20 , 已知: F=1400N, 例、
r 60mm
求: M O F .
解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ 78.93N m
按合力矩定理
M O F M O Ft M O Fr F cos θ r 78.93 N m
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性1：
力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 投影方程中不出现力偶 力和力偶是静力学的两个基本要素
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性2：
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶矩。 力偶对任一点之矩等于它的力偶矩
与矩心的位置无关
证： MO （F1) ＋ MO （F2) = －F 1·OA′＋ F 2·OB′ = －F 1( OA′－OB′) = －F 1·(A′B′) = －F 1·d =M A′ A d F1 B′ O
l
l
平面力偶系的合成与平衡
分布荷载的合力 1、方向：与分布荷载相同； 2、大小：荷载图形的面积； 3、作用线：通过荷载图形的形心。
q ql
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡
已知OA= r，DB= 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M1 和 M2 的 关系。
A O
α
B
FBA FAB M2 M1
B
M1
M2
A D FO O
D FD
解：杆AB为二力杆。
由于力偶只能与力偶平衡， 则AO杆与BD杆的受力如图所示。
第二章 平面力系
§2–3 平面力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO和BD的平衡方程： 由
.3 力偶和力偶矩
工
程
实
例
平面力偶系的合成与平衡
.3 力偶和力偶矩
力偶 :大小相等的二反向平行力。 F , F
⑴ 作用效果：引起物体的转动。 ⑵ 力和力偶是静力学的二基本要素。
F2
d
F1
力偶矩
M = ±F1· d
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号； 反之，取负号。
平面力偶系的合成与平衡
力偶特性4：
唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值。
即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。
平面力偶系的合成与平衡
力对点的矩与力偶矩的关系
相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。 牛顿•米（N • m） 区别：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一 个力偶的矩与矩心的位置无关。
F
A
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向 力矩的值也可由三角形OAB面积的2倍表示及 矢量积表示 M 0 F r F MO（F ) =±2ΔOAB面积
平面力偶系的合成与平衡
力矩的性质
（1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对O间距离d，并加上适当
正负号，称为F 对O点的矩。简称力矩。 力矩的表达式 MO（F ) =±Fd O — 矩心， d —力臂。
平面力偶系的合成与平衡
力对点之矩
力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时，力F对 O点的矩取正值；反之，取负值。 力矩二要素：
O d B
A α FAB
M
i
0
FO
得
M1 r · FAB cosα= 0
M1 O
M2 + 2r · FBA cosα= 0
因为 则得 FAB = FBA M2 = 2 M1
FBA
B
M2
α FD D
平面力偶系的合成与平衡
例1、如图2-12所示挡土墙，自重为 ， P 75KN 1
，水平土压力 F 90 KN 。试求 a1 1m ，铅垂土压力 P 120KN 2 三力对前趾点O之矩，并判断挡土墙是否会倾倒？ 解：分别计算三力对O点之矩
所以，三力对前趾点之矩的和为
M F M P M P M F 171KN m
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的 合成与平衡
力对点的矩 合力矩定理
力偶与力偶矩
同平面内力偶的等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
第二章
平面力系
平面力偶系的合成与平衡 1 力对点之矩
平面力偶系的合成与平衡
例、已知q,l。求：合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql l 2 0
由合力矩定理，对A取矩
得
2 h l 3
x2 P h q dx x q dx l 0 0
1)由
M
i
0
FA
即
—M +FAl = 0 FA = FB = M/l
第二章 平面基本力系
§2–3 平面力偶系的合成与平衡
2)
仍然有
3)
第二章 平面力系
平面力偶系的合成与平衡
例、如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别
作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。