数学应用软件作业
课时作业11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学业达标一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x C ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x22．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)3．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1D ．f (x )＝x 4－14．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．28D ．－285．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________. 7．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.8．已知函数y ＝f (x )的图象在M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.三、解答题9．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求质点P 在t ＝8 s 时的瞬10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．能力提升1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( ) A ．64 B ．32 C ．16D ．83．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是__________． 4．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．参考答案学业达标1．【答案】 C【解析】 ∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确； ∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确； ∵(x )′＝12x ，∴D 不正确．2．【答案】 D【解析】 切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D. 3．【答案】 B【解析】 由f ′(x )＝4x 3知f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得，选B. 4．【答案】 C【解析】 ∵y ′＝3x 2，∴点(2,8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. ∴切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28. 5．【答案】 A【解析】 ∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x . 又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z)．当k ＝0时，α＝π3.二、填空题 6．【答案】 1【解析】 因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.7．【答案】 ln 2－1【解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x ，由题意知1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1.8．【答案】 3【解析】 依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.三、解答题9．解：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴v ＝23×8－13＝23×2－1＝13，∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s.10．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. 能力提升1．【答案】 C【解析】 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′ ＝sin x ，所以4为最小正周期， 故f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x . 2．【答案】 A【解析】 因为y ′＝－12x －32，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线方程为：y －a －12＝－12a －32(x －a )，由x ＝0得y ＝32a －12，由y ＝0得x ＝3a ，所以12·32a －12·3a ＝18，解得a ＝64.3．【答案】328【解析】 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.4． 解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.。
数值分析软件及应用
数值分析软件及应用数值分析软件是一种专门用于计算和分析数值问题的软件工具。
它以数学模型为基础，利用数值计算方法对问题进行求解，可以广泛应用于科学研究、工程设计、金融分析等领域。
下面我将介绍一些常见的数值分析软件及其应用。
1. Matlab：Matlab是一种强大的数值计算和科学编程环境，广泛应用于数值计算、数据分析、信号处理、控制系统设计等领域。
它提供了丰富的数值计算库，可以进行线性代数计算、非线性优化、微积分、常微分方程等多种数值计算任务。
Matlab还具有良好的可视化功能，可以绘制高质量的图表和三维图形，方便用户进行数据可视化和结果展示。
2. ANSYS：ANSYS是一种广泛应用于工程领域的数值分析软件，主要用于有限元分析和计算流体力学。
它可以模拟各种不同工程问题，例如结构力学、热传导、电磁场、流体流动等。
ANSYS具有强大的建模和分析功能，可以帮助工程师快速分析和优化设计方案，提高产品性能和可靠性。
3. COMSOL：COMSOL Multiphysics是一种基于有限元法的多物理场仿真软件，可以模拟多种物理学现象的耦合效应。
它适用于各种科学和工程领域，包括电磁场、热传导、流体流动、声学、化学反应等。
COMSOL提供了丰富的物理模型和求解器选项，用户可以根据自己的需求进行自定义建模和分析。
4. Origin：Origin是一种专门用于数据分析和可视化的软件工具。
它提供了丰富的统计分析和数据处理功能，例如回归分析、方差分析、多元分析等。
Origin 还具有强大的绘图和图像处理能力，可以绘制各种类型的图表和图像，从而帮助用户更好地理解和展示数据。
5. Mathematica：Mathematica是一种综合的科学计算软件，可以进行符号计算、数值计算、数据可视化等任务。
它具有强大的数学引擎和丰富的计算库，可以处理各种类型的数学问题，包括代数、微积分、离散数学等。
Mathematica 还具有优秀的可视化能力，用户可以方便地与计算结果进行交互和探索。
常用数学软件及其应用
分析、聚类分析、生存分析、时间序列分 析等。SPSS中还有专门的绘图系统，可以 根据数据绘制各种图形。 Origin 是与 Sigma Plot和Axum齐名的 科技绘图和数据处理软件。 Origin 除了可 以很方便地画出各种二维和三维图形外， 它的最突出的功能是曲线拟合。它不仅可 以用内臵的上百种函数很方便地进行曲线 拟合,而且可以根据用户的需要添加线型。
3. Maple在石油测井研究中的应用
核磁共振在石油勘探测井中有着非常 重要的应用。本人与中石油科学技术研究 院测井研究所合作了一个项目《球管孔隙 模型的弛豫机制及核磁实验数据研究》。 项目内容为 ： 1. 油水两相球管孔隙模型的弛豫机制 理论研究，要求给出 Bloch 方程完整的求 解过程；
2. 应用化学位移及油气扩散识别孔隙 结构和油气的方法研究，须考虑分子键共 振频率与核磁共振频率之间的关系，并提 供可供编程的算法； 3. 根据对甲方提供的实验数据，提出 油水弛豫信号的分离方法，要求提供可供 编程的算法； 4. 根据甲方提供的实验数据，进行 N OE识别岩石孔隙结构和流体应用方法的探
Maple可进行无误差的符号计算和高精 度的数值计算。例如， 100!, Pi, sqrt(2), sin(3)。
3.4 Maple 的图形显示
1、一般函数做图
plot(f(x),x=a..b,option); plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,option);
2、极坐标做图
接口。通过 Notebook 接口，可以显示输出 结果、图形、动画和声音等。 Mathematica 的另一个特点是它可以和C、Excel、Word 等相互调用。 Mathcad是MathSoft公司在80年代开发 的一个交互式数学文字软件，与 Matlab 和 Mathematica不同的是，该软件的市场定位 是:向广大教师、学生、工程技术人员提供 一个兼备文字、 数学和图形处理能力的集
一年级应用题数学100道软件下载哪些 一年级应用题app合集
一年级应用题数学100道软件下载哪些一年级应用题app合集学习app非常便捷，已经成为学习中辅助性工具，可通过网络的方式获得更多的知识，开阔视野的同时感受多样化教学模式。
那么一年级应用题数学100道软件下载哪些？虽然一年级的知识简单，但也应该让每位学者养成良好习惯，让他们了解学以致用，每天适当的做一些应用题，可巩固所学的知识，接下来推荐几款适合的app。
1、《小猿口算》成千上万的人正在使用它。
除了检查口算的准确性，还有非常丰富的题库，帮助每一个初一学生学习更多的知识。
其中有与教材同步的口算题库和应用题库。
作为全国中小学生家长都在选择的教育品牌，其旗下的教育产品非常多。
满足多种不同的模式，如智能锻炼、问题分析等。
，帮助每个学生高效地完成练习环节。
2、《一年级数学下册人教版》一年级的数学很简单，但也要让孩子适当练习应用题。
只有这样，他们所学的知识才能再次巩固。
这是专门为高一搭建的平台，每年更新，与教材同步，有高一所有的知识节点和课堂学习。
分为课前预习、课堂学习、课后练习三个不同的步骤，让孩子掌握每个知识点的精髓。
3、《作业帮口算》如果你想练习应用题，可以在作业帮的口算里轻松找到语文、数学、英语三个不同的科目，也可以找到初一的应用题，定位在这里就可以了。
有很多不同的学习板块，包括口算练习、贴近线下练习场景的手写答案、应用题练习、作文、错题集等等。
各种学习工具，利用碎片化时间掌握更多知识，让家长省心省力。
4、《小学数学课堂》小学数学课堂是专业数学的好帮手。
从一年级到六年级的知识都是由易到难，内容丰富。
简单易懂的讲解和大量的练习，满足学习数学的一系列需求，包括加减运算、乘法运算、除法运算等。
，以及各种常用的相关知识，体积概念，表面积概念和计算等。
5、《小学同步一年级》一年级孩子刚刚步入小学，可能在知识掌握这方面还没有步入正轨，而且也没有太好的学习习惯，家长利用这些app，协助每位孩子让孩子在一年级时打好基础。
数学软件作业圆周率的计算
数学软件作业圆周率的计算2007数学应⽤软件设计内容——怎样计算圆周率π的值实验报告姓名：。
学号：；；；；实验⽬的：利⽤所学的数学应⽤软件，解决下列问题：1. ⽤反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求π，若要精确到以40位、50位数字，试⽐较简单公式和Machin 公式所⽤的项数；2. ⽤数值积分计算π，分别⽤梯形法和Simpson 法精确到10位数字，⽤Simpson 法精确到15位数字；3. ⽤Monte Carlo 法计算π，除了加⼤随机数，在随机数⼀定时可重复算若⼲次后求平均值，看能否求得5位精确数字？4. 设计⽅案⽤计算机模拟Buffon 实验；5.利⽤学习过的知识(或查阅资料)，提出其他计算π的⽅法。
实验的基本理论与⽅法：1.利⽤反正切函数的幂级数表达式：利⽤积分公式两边积分得：在上式中令x=1得：⽤Mathematica 计算In[1] k=1000;S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18][Out2] 3.14059265383979293In[3] k=10000;[Out4] 3.14149265359004324In[5] k=15000;[Out6] 3.14152598692320065In[7] k=20000[Out8] 3.14154265358982449+-+-+-=+--221422)1(111n n x x x x +--+-+-=--12)1(53arctan 12153n x x x x x n n +--+-+-=-121)1(5131141n n π由上述计算可以知道，⽤反正切函数的幂级数展开来计算π的值，运算速度⽐较慢，结果精度也不⾼,因此此⽅法⼀般不选取。
下⾯对精确到相同精度时简单公式和Machin 公式所⽤的项数进⾏⽐较：简单公式：Machin 公式：再⽤Mathematica 计算：当精确到40位时：对于简单公式：Clear[k,n,S]In[9] k =62;s2 = N[4*Sum[(-1)^(n - 1)*(1/2)^(2n - 1)/(2n - 1) + (-1)^(n -1)*(1/3)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out10] 3.141592653589793238462643383279502884197对于Machin 公式：In[11] k = 28;s3 = N[4*Sum[4*(-1)^(n - 1)*(1/5)^(2n - 1)/(2n - 1) - (-1)^(n -1)*(1/239)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out12] 3.141592653589793238462643383279502884197当精确到50位时：对于简单公式：In[13] k = 78;s2 = N[4*Sum[(-1)^(n - 1)*(1/2)^(2n - 1)/(2n - 1) + (-1)^(n -1)*(1/3)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out14] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993750对于Machin 公式：In[15] k = 35;s3 = N[4*Sum[4*(-1)^(n - 1)*(1/5)^(2n - 1)/(2n - 1) - (-1)^(n -1)*(1/239)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 50][Out16] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751431arctan 21arctan π=+ +--+-+-=--12153)21(12)1()21(51)21(3121[4n n n π])31(12)1()31(51)31(313112153 +--+-+-+--n n n 42391arctan 51arctan 4π=-由上述⽐较可以看出：在精确到相同精度时，⽤Machin 公式计算的结果⽐较准确，并且所需的项数也⽐较少，当精确到40位时简单公式和Machin 公式分别需要62和28位，⽽当精确到50位时，分别为78和35位。
数学专业的数学软件
数学专业的数学软件随着信息技术的快速发展和数学学科的不断深入，数学专业的学习和研究已经离不开数学软件的支持和应用。
数学软件作为一种工具和辅助手段，可以提高数学学习的效果，帮助数学专业的学生更好地理解和掌握数学的概念和方法。
本文将介绍几种常用的数学软件，并探讨其在数学专业中的应用。
一、MATLABMATLAB是一种基于矩阵运算的高级技术计算语言和环境。
它提供了丰富的函数库，可以用于进行数学建模、数据分析、算法开发等各种数学任务。
MATLAB具有方便易用的界面，用户可以通过命令行输入和执行代码，也可以使用图形用户界面进行交互操作。
数学专业的学生可以利用MATLAB进行数学实验和模拟，解决复杂的数学问题，同时还可以进行可视化分析，直观地展示数学结果和计算过程。
二、MathematicaMathematica是一种强大的数学软件系统，它集成了大量的数学函数和算法，可以进行符号计算、数值计算、图像处理等多种数学操作。
Mathematica的核心是它的内核，它可以对各种数学对象进行求解、化简、变换等操作，并且支持多种数据结构和科学计算方法。
数学专业的学生可以利用Mathematica进行数学建模和优化，研究数学问题的特征和解的性质，并通过可视化手段展现数学思想和结果。
三、MapleMaple是一种通用的数学软件系统，它具有强大的数学计算功能和用户友好的界面。
Maple可以进行符号计算、数值计算、图形展示等多种数学运算，并且支持自定义函数和程序，方便数学专业的学生进行复杂的数学推导和证明。
Maple还可以通过建模和仿真，解决实际问题和开展科学研究。
数学专业的学生可以利用Maple进行代数和微积分等数学课程的学习和实践，提高数学思维和问题解决能力。
四、LaTeXLaTeX是一种专业的排版系统，特别适用于数学和科学领域的文档编写。
它基于TeX，提供了丰富的数学符号和公式编辑功能，可以快速、准确地生成高质量的数学论文、报告和演示文稿。
数学应用软件作业6用matlab求解微分方程的解析解和数值解
plot(t,y,'b');
四.上机结果
题1结果为：
ans =
C4*exp(2*x) + C2*exp(x*(5^(1/2)/2 - 1/2)) + C3/exp(x*(5^(1/2)/2 + 1/2))
题2结果为：
x =
4*cos(t) - 2/exp(2*t) + 3*sin(t) - (2*sin(t))/exp(t)
y =
sin(t) - 2*cos(t) + (2*cos(t))/exp(t)
题3结果为：
题4结果为：
解析解为：
y =
t + 1/exp(t)
作图如下：
title('ode15s图形');
题4：
Matlab程序：
(1)先建立程序如下：
y=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')
截图如下：
作图：建立程序如下：
ezplot('t + 1/exp(t)',[0,1])
title('t + 1/exp(t)')
（2）先建立M文件，如下：
t0=0;tf=100;
[T,Y]=ode45('fun2',[0 100],[1 1]);
plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*');
title('ode45图形');
（2）Matlab程序：
建立M文件，如下：
functiondy=fun1(t,y);
课时作业1：1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定答案 B解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴k ＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝21-x在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ＝21-x ，∴y ′＝－1223-x ， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－1223-a ， ∴切线方程为y －21-a＝－1223-a (x －a )． 令x ＝0得y ＝3221-a ； 令y ＝0得x ＝3a .∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·3221-a ＝9421a ＝18， ∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(53x )′＝35153-x ＝3552-x ＝355x 2. (2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4) ＝2sin x 2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＝kx 0， ①y 0＝0x e ， ②k ＝0x e ， ③∴0x e ＝0x e ·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝1x 在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____. 答案 134解析 y ′＝(21-x )′＝－12·23-x ， ∴k ＝－12·23-a ＝－1， ∴a ＝134.10．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 11.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|0x x =＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与拓展12.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。
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从某寄宿制中学高三学生中随机抽取100名男生的身高、体重、和体育成绩如下表，现要求（1）给出这些数据的直观描述；（2）根据这些数据估计全校学生的平均身高和体重；（3）若普通中学同龄男生平均身高为168.3m，平均体重56.2kg，能否认为该中学男生身高比普通中学显著高？（4）身高和体重对体育成绩是否有影响?学号身高体重成绩学号身高体重成绩1 167 50 85 51 180 73 832 179 63 93 52 170 58 833 168 54 78 53 175 68 864 187 79 91 54 158 55 805 179 69 86 55 174 67 826 172 59 84 56 162 50 837 169 59 81 57 172 63 638 167 56 83 58 166 50 869 174 61 67 59 162 62 7310 166 48 76 60 182 70 8411 167 55 67 61 171 60 8712 177 65 67 62 175 58 7513 174 61 65 63 179 66 7114 173 65 76 64 172 61 8515 159 48 72 65 174 61 8516 170 68 82 66 160 45 7017 173 62 68 67 164 57 7018 176 70 86 68 176 60 7519 170 57 81 69 182 73 8020 170 57 76 70 173 59 7321 162 53 71 71 169 51 9222 177 67 67 72 171 54 8423 179 68 75 73 175 63 7024 172 61 83 74 173 65 8125 170 58 84 75 175 72 6826 177 67 79 76 162 47 6327 172 62 87 77 172 62 8928 166 53 81 78 170 63 7029 174 62 83 79 171 68 8030 171 63 63 80 179 66 9631 169 56 76 81 167 51 8732 167 64 85 82 174 65 7033 169 64 71 83 170 52 6234 166 53 79 84 175 66 8435 163 50 80 85 168 55 7636 175 66 74 86 163 57 8837 173 66 91 87 170 63 7138 163 51 66 88 177 62 7939 158 44 70 89 172 58 8540 175 69 69 90 167 58 8741 174 61 86 91 169 59 8842 159 53 79 92 171 63 8043 160 47 88 93 179 65 7944 168 63 88 94 168 58 7045 169 53 81 95 160 45 8346 171 63 85 96 165 52 6347 160 51 81 97 167 53 7548 165 53 67 98 164 56 8949 174 63 87 99 156 45 7250 164 53 64 100 166 50 69 解答：首先将所给数据保存文件，然后用MATLAB作图以及计算各统计量。
（1）利用hist()画出直方图，程序如下：>> h=data(:,1);w=data(:,2);s=data(:,3);>> subplot(1,3,1);hist(h);title('身高');>> subplot(1,3,2);hist(w);title('体重');>> subplot(1,3,3);hist(s);title('体育成绩');解释说明：hist(Y)：把Y中的元素等间距分为10个区段，并且在每一个区段中把元素的数目作为行向量返回。
subplot(m,n,p):把一个图形窗口分隔成m*n个小窗口，并在第p个小窗口创建一个坐标轴，该坐标为当前坐标轴。
作频数表：程序如下：>> [N,X]=hist(h);>> NN=5 8 8 16 20 20 137 2 1>> XX =157.5500 160.6500 163.7500 166.8500 169.9500 173.0500 176.1500 179.2500 182.3500 185.4500>> [N,X]=hist(w);>> NN=6 11 12 16 12 23 12 5 2 1>> XX =45.7500 49.2500 52.7500 56.2500 59.7500 63.250066.7500 70.2500 73.7500 77.2500>> [N,X]=hist(s);>> NN=7 8 15 7 11 13 18 16 3 2>> XX = 63.7000 67.1000 70.5000 73.9000 77.300080.7000 84.1000 87.5000 90.9000 94.3000解释说明：[N,X]=hist(data,k)数组data的频数表，它将区间等分为k 份(缺省时k设为10)，N返回为k个小区间的频数，X返回为k个小区间的中点。
表一为身高的频数表：表二为体重的频数表：表三为成绩的频数表：计算相关的统计量：程序如下：>> datamean=mean(data);>> datameandatamean =170.1100 59.2300 78.2800>> datastd=std(data);>> datastddatastd =6.08347.22358.2095 >> datavar=var(data);>> datavardatavar =37.0080 52.1789 67.3956 >> datarange=range(data);>> datarangedatarange =31 35 34>> dataskewness=skewness(data);>> dataskewnessdataskewness =-0.0659 -0.0340 -0.2252>> datakurtosis=kurtosis(data);>> datakurtosisdatakurtosis =2.7839 2.5443 2.0565对以上计算结果，可得表四：（2）先假设身高和体重服从正态分布，可以用normplot()函数检验。
程序如下：>> normplot(h);>> hold on;>> normplot(w);由图像可知，身高和体重近似服从正态分布。
则可进行正态分布的参数估计，程序如下：>> [h_hat,temp,h_ci]=normfit(h,0.05);>> h_hat=h_hat,h_ci=h_ci;h_hat = %身高估计值170.1100>> h_ci %身高95%置信区间h_ci =168.9029171.3171>> [w_hat,temp,w_ci]=normfit(w,0.05);>> w_hat=w_hat,w_ci=w_ci;w_hat = %体重估计值59.2300w_ci %体重95%置信区间w_ci=57.796760.6633由以上计算结果可得，身高的均值170.11cm，均值的95%的置信区间为[168.9029, 171.3171],体重的均值为59.23kg，均值的95%的置信区间为[ 57.7967，60.6633]。
（3）假设检验。
H0：h=168.3 H1：h>168.3用ttest检验，程序如下：>> [h_reply,h_sig]=ttest(h,168.3,0.05,1);>> h_replyh_reply =1 %拒绝H0，即身高显著高于普通中学>> h_sigh_sig =0.0018 % 值很小，结论有把握解释说明：[h,sig]=ttest(x,m,alpha,tail) 正态总体N均值t检验。
检验列状样本数据x的均值是否为m，alpha为显著水平，参数tail为0，表示双边检验，1表示右边检验，-1表示左边检验；h返回0表示接受H0，返回1表示拒绝H0；sig返回临界值拒绝概率sig<alpha时，h=1。
（4）计算相关系数，程序如下：>> datacor=corrcoef(data);>> datacordatacor =1.0000 0.8492 0.18260.8492 1.0000 0.16960.1826 0.1696 1.0000可见，身高与体重相关性明显（相关系数为0.85），而成绩与身高或体重相关系数都很小，说明身高或体重对体育成绩几乎没有影响。
进一步分析，做出散点图：程序如下：>> figure;>> subplot(1,3,1);plot(h,w,'o');title('身高-体重');>> subplot(1,3,2);plot(h,s,'o');title('身高-成绩');>> subplot(1,3,3);plot(w,s,'o');title('体重-成绩');由图像可知，相关系数与散点图吻合。
没有经历过地狱般的磨炼，怎能有创造天堂的力量？没有流过血的手指，怎能弹出世间的绝唱？数学应用软件作业王云詹天佑102班沈天驹车辆动车102班李阔江车辆城轨101班2011/11/23。