第二章 损失分布

,
x>2
2 F (x) =1－( x ) 3
, x>2
P (X>4) = 1－F(4) = 0.125 E[X－4 X 4 ] =


4
( x 4)
f ( x) dx 0.125
= 2 (千元)
伽玛（Gamma）分布
帕累托分布(Pareto distribution)
右偏，但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢
密度函数：f(x)=
1 ( ) x 0
1 ( ) x 0
x 其他
x 其他
分布函数：F(x)=
当 1时，帕累托分布的数学期望存在：E(x)= 当 2 时，帕累托分布的方差存在：Var(x)=
z

X+Y 的概率密度函数为：f XY (z) = d F XY (z)= f X ( x )f Y (z x )dx
dz
由对称性得：f XY (z) = f X (z y)f Y ( y)dy ，记为：f XY （z） = f X *f Y (z) ，其
对数正态分布
若随机变量X的对数函数 Y = ln X ~ N ( , 2) , 则称X服
从以 , 2为参数的对数正态分布，记作 X ~ LN ( , 2 ). 对数正态分布的密度函数： f(x)=
1 2 x
(ln x ) 2
e
2 2
X的数学期望和方差分别为:
2.1研究损失分布的数学工具
2.1.1 随机变量及其分布 随机变量： 取值依赖于随机现象基本结果的变量，称 为随机变量，常用X、Y、Z等大写字母表示。 Example：我们可以用X表示一个风险单位在一次事故 中的损失，用N表示同类合同在保险期限内发生的保 险事故次数等等。这里X、N都是随机变量。 分布函数：随机变量X取值不超过实数x的概率，称为 随机变量X的分布函数，记作F（x）= P (X ≤ x) ，x ∈ R.
EX = e

2
2
,
VarX = e
2 2
(e －1) .
2
Example
已知某一特定风险的赔款额服从参数为
=7.0 , = 1.7 的对数正态分布。问：从400元到
40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例？
解：X ~ LN (7.0, 1.72 ) , 所以，lnX ~ N (7.0,1.7 2). ln400 7.0 ln X 7.0 ln40,000 7.0 P (400<X ≤40000 ) = P ( 1.7 1.7 ) 1.7 = (2.12)－ (－0.59) ≈ 0.7054
i 1 85
85
i 1
X i n n
350,000 85 3,200
>
P (Z>1.06)
8,000 85
)
= 1－ (1.06) = 0.1446 .
赔款额的理论分布
非寿险精算中的赔款额X：非负连续型随机变量，它
的分布一般是正偏斜，它的密度函数在右边有长的“ 尾巴”。 常用来表示赔款额的理论分布有： 对数正态分布, log-normal distribution 帕累托分布, Pareto distribution 伽玛分布, Gamma distribution
随机变量的矩
原点矩：随机变量X的k次幂的数学期望 k = EXk 为随机变 量X的k阶原点矩。 中心矩：称X－EX的k次幂的数学期望 k = E(X－EX)k 为随 机变量X的k阶中心矩，k=1、2、… 。 偏度系数： 分布的对称性的度量，也就是偏斜程度。 = 3 2 3 2 分布对称时，偏度等于0。偏度大于0 时，正偏斜的；偏度 小于0 时，负偏斜。对一般非寿险业务的大多数险种来说， 因为有大额赔款的发生，所以赔款额的分布常有明显的正 偏斜。
M s (t ) = MX1 (t) · X2 (t) M Xn (t ) ; M
(4 )
若 Y = a X+b, 其中 a、b 为常数，则随机变量 Y 的矩母函数为：
M y (t ) = e bt MX (at) .
条件分布、条件期望和条件方差
离散变量(X,Y)
设 p , i = 1、2、„ , j = 1、2、„ 为联合分布列，则称

随机变量的数字特征
数学期望：描述随机变量的平均取值

离散型随机变量的数学期望，离散型随机变量函数的 数学期望
连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量函数的 数学期望 数学期望的特征 数学方差、标准差、变异系数

Example 1: （二点分布）设同类保单在保险期限内只
有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概 率为p，那么，任意一份保单在保险期限内的索赔次 数X就是取值为0、1的离散型随机变量，其分布列为 P(X=x)= p^x (1－p)^(1-x) ,x=0、1. 求其分布函数，期望，方差？
分布函数的性质：
① 对任意x ∈ R，0 ≤ F（x） ≤ 1； ② F（－ ∞ ）= xlim F(x) = 0 ;
③ F (＋ ∞ ) =
F(x) = 1; ④ F(x) 单调不减，即：对任意x 1、x2 ∈ R, 且 x 1<x2 , 都 有 F(x ) ≤ F(x ); ⑤ F(x) 右连续，即对任意x ∈ R, xlim F(x) = F(x ) . x 分布函数全面地刻划了随机变量的统计规律性。
ij
pi j =
p ij pj
, i = 1、2、„
为 Y = y j 时 X 的条件分布列。 条件期望：E（X Y y j ）= x i p i j
i 1
连续型随变量(X,Y) f (x, y) , (x, y) R 为联合密度函数，则称 f (x y ) =
2
f ( x , y) , f Y ( y)
相互独立随机变量和的分布与卷积
如果 X、Y 是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别 为 f (x)、f (y)那么，X+Y 的分布函数为：
X Y
F XY （z）= P(X+Y z) = f X (x)f Y ( y)dxdy
x yz
= dz f X ( x )f Y (z x )dx
意义：即使不知道某个特定的随机变量的分布，当这些随机变量的数目相当 大时，其和的分布近似地服从正态分布。 保险中的应用： 如果保险公司的某一险种的业务将面临很多次的赔款， 那么， 根据中心极限定理，就可以预期，作为众多个别赔款支出的总和近似地服从 正态分布。
Example 若某类赔款的平均水平为 3,200 元， 标准差为 8,000 元， 计算 85 笔相互独立赔款之和大于 350,000 元的概率。 解： =3,200 ， = 8,000 n=85 , 由中心极限定理， P（ X i >350,000）= P (

中*表示卷积。 卷积可以推广到 n 个相互独立随机变量的情况和离散型随机变量的情况。 卷积同样可运用于分布函数。事实上，卷积运算还可以推广到随机变量不 相互独立的情况。
2.2 损失的理论分布
正态分布
正态分布的密度函数
f (x) = 2 e , x ∈ R。 正态分布密度函数曲线的特点 ① 关于直线x = 对称; ② 当x< 时,f (x)单调增加，反之，f (x)单调减少; 时,f (x)有极大值 21 . ③ 当x = 标准正态分布、标准正态分布表
x
lim
o
Example: X表示保险标的的损失额，a表示合同规定的
免赔额，则 保险公司承担保险责任的概率为P(X>a)=1－F(a). 损失不超过b(b>a)且保险公司承担保险责任的概率: P(a<X≤ b) = F(b) － F(a) .
多维随机变量的分布：
二维随机变量(X,Y)的联合分布：
1
.
2 2
-( 1 )2
Example: 设某险种的赔款额 X（千元）服从以 =3， =2 为参数的 帕累托分布。 如果有个该险种的超赔再保险合同， 自留额为 4 千元， 那么，涉及再保险接受人的那些赔案的平均赔款为多少？
2 解： f (x) = 1.5( x ) 4
离散型随机变量和连续型随 机变量

离散型随机变量：只能取有限个值或可列个值的随机 变量。Example: 保险期限内，保险标的发生保险事故 的次数：N=0、1、2、…可用分布列、分布函数描述 连续型随机变量：取值布满某个区间，并且有密度函 数的随机变量。Example:在非寿险精算中，一次事故 的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围 是一个区间（0，+ ∞ ）。可用密度函数、分布函数描 述
1
2 2
( x )2
中心极限定理
定义：设 X 1 、X 2 、„、X n 、„是一列具有相同分布，互相独立的随机变量， EX i = ，VarX i = 2 0, i = 1、2、„ , 则
lim P ( i 1
n
X i n n
n

x)=
(x)
.————标准正态分布的分布函数
F(x,y)= P(X≤ x, Y ≤y) 二维随机变量(X,Y)的边际分布： F (x)= ylim F(x,y) = P(X ≤ x） F (y)= xlim F(x,y) = P(Y ≤ y)
独立：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F(x, y),两个边际分布函数分别为F (x)和 F(y), 若对任意 (x, y) ∈ R ,都有F(x, y)=F (x)· (y), 则称随机变量X与Y F 互相独立。