高数函数与极限习题

合集下载

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。

7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。

8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。

9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。

10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。

高数复习题

第一章函数与极限一.选择题1. )(x f =112+-x x 的定义域是【C 】（A ）[-1，1] （B ）[-1，1）（C ）（-1，1] (D)（-1，1） 2. 函数x1sin y =是【C 】（A ）单调函数（B ）偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数3.下列)(x f 和)(x ϕ表示同一个函数的是【B 】 (A)222)1()(,1)(x x x x f -=-=ϕ (B)x x x x f 22cos sin )(,1)(+==ϕ (C))sin(arcsin )(,)(x x x x f ==ϕ (D) )arccos(cos )(,)(x x x x f ==ϕ4.函数()13cos 2+=x y 的复合过程是【D 】（A ）x y 2cos = 13+=x u (B)2u y = ()13cos +=x u （C ）u y cos = 2v u = 13+=x v (D)2u y = v u cos = 13+=x v5.设221)1(xx xx f +=+，则【B 】 (A) 1)(+=x x f (B)2)(2-=x x f (C)x x x f 1)(+= (D)xx f 11)(+=6. 若)x (f 在0x x =连续，)x (g 在0x x =不连续，则)x (g )x (f +在0x x =必不连续【C 】（A ）连续 (B) 不连续（C ）不确定其连续性7. 设数列{}n x ，若lim n n x A B →∞=>，则有【D 】（A ）n ∀，n x B > （B ）N ∃，,n n N x B ∍>>有（C ）n ∀，n x B ≤ (D) 0N ∃>，,n n N x B ∍>>有8.设()cos 2x f x x e =+-则当x →0时，正确的是【A 】（A ）)(x f 与x 是等价无穷小（B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小（C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小 (D) )(x f 是比x 低阶的无穷小9.)0(0+x f 与)0(0-x f 的极限都存在是函数)(x f 在0x x =处有极限的【A 】（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要10.sin ,0()0,01cos ,0xx x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩则0=x 是)(x f 的【C 】（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）振荡间断点11.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 是),(+∞-∞上的连续函数，则=a 【B 】（A ） 0 （B ） 1 （C ）－1 （D ） 2二.填空题 1. 函数1131arcsin +--=x x y 的定义域为（-1,4 ] .2.函数22()(1)x f x x -=-，当→x 1 时是无穷大量.3．设函数)(x f =1,30,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1||1||>≤x x ，则)]([x f f = 1/3 .4. =→xxx 3sin 5sin lim3/5 . 5． 10lim ()(1)3x x x f x →=-= e -1/3. 6. 若,32lim22=-+-→x ax x x 则a = 2 . 7.若)(x f y =在点0x 连续，则00[()()]lim x x f x f x →-= 0 .8.设3()33xx f x x kx <⎧=⎨-≥⎩ ,当k = 6 时,)(x f 在3=x 连续. 9．若0x x →时，)x (g ~)x (f ，0)x (f ≠，则=-→)x (f )x (g )x (f limxx 0 . 10. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-<+-=0210)1(cos 1)(22x x x x x x x x x f 则x = -1 是)(x f 的第一类间断点，x = -2 是)(x f 的第二类间断点.三.计算题1. 222ln(1)lim 4x x x x →+--. 解 22222ln(1)22ln(21)limlim 4424x x x x x →→+-+-==--- 2. 213lim21-++--→x x xx x .解1111x x x x →→→→====3. 33lim3--→x x x . 解333x x x →→→== 4. xx x sec 22)cos 1(lim +→π. 解 12sec 22cos 22lim(1cos )lim[(1cos )]xx x x x x e ππ→→+=+=5. 11656)2(lim ++++-∞→n n nn n .解 111111(2)6[(2)6]/600056[56]/601lim lim n n n n n n n n n n n n ++++++-+-++===+++→∞→∞6. 32tan(3)sin(3)limx x x →--.解 332tan(3)2(3)2sin(3)(3)limlim x x x x x x →→--==---7. )sin()11)(1ln(lima x a x a x ax --+-+-→.解()1ln(1)020()1lim x a x ax a x a x a →→-+-===- 8. limx →∞)111)(110()110(......)13()12()1(2222--++++++++x x x x x x .解 limx →∞2222(1)(21)(31)......(101)123101(101)(111)1102x x x x x x ++++++++++++==--9.xx x ee x-+∞→+cos lim.解2cos cos limlim 01x x x xx x x e xe e e ---→+∞→+∞==++ 10.xx xx x sin tan lim 0--→ .解 00tan (sin cos )limlimsin (sin )cos x x x x x x x x x x x x→→--=-- 四：证明题1.设()f x 在]1,0[上连续，[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，求证：]1,0[∈ξ∃,()f ξξ=. 证设()()F x f x x =-, 0()1f x ≤≤, 而(0)(0)00F f =-≥,()(1)10F x f =-≤又 ()f x 在]1,0[上连续,由零点存在定理知: 存在()0,1ξ∈, 使得()f ξξ=.4.试证方程3223230x x x -+-=在区间[1,2]至少有一根. 证设()f x =322323x x x -+-因为()f x 在区间[1,2]上连续,且(1)2f =-,(2)5f =, 由零点存在定理知: 存在()1,2ξ∈, 使得()0f ξ=,即3223230ξξξ-+-=. 第二章导数与微分一. 选择题:1.如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '等于【】（A ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆ （B ）0()()lim 2x f x x f x x x∆→-∆-+∆∆ （C ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆--∆ （Ｄ）0()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆ 2.若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x 【】（A ）必不可导；（B ）必定可导；（C ）不一定可导；（D ）必无定义. 3.函数()sin g x x x =在0x =处【】（A ）不连续（B ）可导（C ）不可导（Ｄ）二阶导数存在4.设32()ln f x x x =+，则()(1)f '= 【】)A (21)B (21- )C (0 )D ( 1 5.已知2()sin()f x ax =，则()f a '等于【】（A ）2cos ax （B ）232cos a a （C ）22cos x ax （D ）23cos a a 6.设函数()f x 在点0x 处可导，且0()0f x '>，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与x 轴【】（A ）平行（B ）与x 轴的夹角为钝角（C ）垂直（D ）与x 轴的夹角为锐角7.曲线上任意一点的切线在两坐标轴的截距之和为【】(A)2a (B)12a (C) 1a(D) a 8.设函数23,x y =则(4)(0)y = 【】（A ） 42 （B ） 43 （C ） 4(2ln3) （D ） 4(3ln2) 9.若函数()f x 为可微函数，则dy 【】 (A ）与x ∆无关（B ）为x ∆的线性函数 (C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小（D ）与x ∆为等价无穷小 10.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，记y ∆为()f x的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dyx∆→∆-∆等于【】 (A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）∞二.填空题 1.若极限()()limx af x f a x a→--存在，则lim ()_______________x a f x →= 2.设0()1f x '=,则000(2)()limh f x h f x h→--= 3.设x x g x f x ln )(,e )(==，求[])(''x g f =___________________4.椭圆2212516x y +=在点(5,2)N 处的切线方程为5.曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的法线方程为6.若)(u f 可导，则)(sin x f y =的导数为7.如果2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末______,________a b == 8.设()y x 是由方程e e y x xy -=所确定的隐函数，则(0)______y '=. 9.设arctan x y e =,则dy = 10.设2(sin3)x dy e x dx =+,则__________y = 三.计算题: 1.设y =求dy dx .2.设1arctan1x y x +=-,求dy dx. 3.=求dydx.4. 设()y y x =由参数方程2sin -arctan x t y t t⎧=⎨=⎩确定,求y '.5.设ln(y x =，求y ''.6.设ln y x x =,求()n y .7. arcsin3xy x =+dy 求. 8.设()y y x =是由20xy e y x +-=所确定的函数,求dy . 9. 设0'()3f x =-，求000()(2)limh f x h f x h h→+--.10.常数a 为何值时，两曲线3y ax =和ln y x =相切？并写出它们的公切线方程。

高数函数与极限复习题

高数函数与极限复习题一、选择题1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限存在吗？A. 存在，为 0B. 存在，为无穷大C. 不存在D. 不确定2. 已知 \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \)，那么 \( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \) 的值是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在3. 函数 \( g(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 3二、填空题4. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

5. 函数 \( h(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

6. 函数 \( \phi(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

三、简答题7. 解释函数连续性的定义，并给出一个函数连续的例子。

8. 描述极限存在的必要条件，并给出一个反例。

四、计算题9. 计算极限 \( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 2) \)。

10. 求函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 在 \( x = 4 \) 处的导数，并解释其几何意义。

五、证明题11. 证明函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处连续。

12. 证明 \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \)。

六、综合题13. 给定函数 \( y = x^3 - 2x^2 + x - 3 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的极限，并讨论其连续性。

高数第一次课随堂练习函数与极限

随堂练习一第一章函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

2、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。

3、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。

5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

6、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

9、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。

10、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

二、计算题1、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++∞→ ；（2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ；（6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21；（8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限（1）x wx x sin lim0→ ；（2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时； (3)当0→x 时， 232-+xx与x 。

高数函数与极限练习题

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

高等数学：函数、极限与连续习题含答案

1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。

高数练习题

3、设 f (x)
0, x 0 , g(x)
x, x 0
0, x 0 ，则 f [g(x)] ____.
x2, x 0
4、设函数 f (x) 在 (,) 内是奇函数，且对于任意 x
，有关系式 f (x 2) f (x) f (2) 成立，则当 f (x)还是以2为周期的周期函数时，必有 f (1) _______.
存在，则
lim y 0
x0
（C）若曲线 y f (x) 在 x x0 处有切线，则 f ' (x0 )
存在.
（D）若 lim y , lim y
x0 x x0 x
均存在，则 f ' ( x0 ) 存在.
18
目录
2、若 f ' (sin 2 x) cos2 x ，则 f (x) (
3、设函数 f (x) (x a)(x) ，其中(x) 在x =a连续，则
必有 f ' (a) (
).
15
目录
4、已知 f (x) 是可导函数，且 f ' (a) k, k 0 则
lim f (a 3t) f (a 5t) (
).
t0
t
5、设
f (x)
).
( A).sin x 1 sin2 x C; 2
(B).sin2 x 1 sin4 x C; 2
(C).x 1 x2 C; 2
(D).x2 1 x4 C. 2
3、设 f ' (x) g ' (x) ，则（）成立：
（A）存在常数C，使 f '' (x) g '' (x) c

高数上习题及答案极限

x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （）

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 则 F ( x )在[0, ]上连续. 2 1 1 1 F (0) f ( ) f (0), F ( ) f (1) f ( ), 2 2 2 1 讨论: 若F (0) 0, 则 0, f (0 ) f (0); 2 1 1 1 1 1 若F ( ) 0, 则 , f ( ) f ( ); 2 2 2 2 2
四则运算、复合函数的极限
4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限；
f.利用等价无穷小；
g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
6、两个重要极限
(1)
x x x lim cos cos 2 cos n , ( x 0) 例. 求极限 n 2 2 2 x x x x cos cos 2 cos n 2 sin n 2 2 2 2 解原式 lim n x 2 sin n 2
x x x x cos cos cos n1 2 sin n1 2 4 2 2 lim n x 22 sin n 2
x 0
lim( 1 f ( x ) sin 2 x 1)
x 0
1 f ( x ) sin 2 x 1 3 x lim (e 1) 3x x 0 e 1 20 0 lim 1 f ( x ) sin 2 x 1

x 1
x 1
f ( x )在( ,1) ( 1,)连续.
例
证明令 F ( x ) f ( x 1 ) f ( x ),
2
设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) f (1), 1 证明必有一点 [0,1]使得f ( ) f ( ). 2
6.复合函数 7.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数
（二）极限
数列极限
lim x n a
n
函
x x0
数
极
x
限
无穷大
lim f ( x )
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的关系
极限存在的充要条件判定极限存在的准则
左右极限两个重要极限
2 4 2n
例
1 tan x x 3 求 lim( ) . x 0 1 sin x
1
解
1 tan x x3 原式 lim[1 ( 1)] x 0 1 sin x 1 tan x sin x x 3 lim[1 ] x 0 1 sin x
1
tan x sin x 1 sin x(1 cos x ) 1 lim 3 lim 3 x 0 x 0 (1 sin x ) cos x x 1 sin x x
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
lim
sin

1;
lim(1 x ) e
x 0
1 x
某过程
lim (1 ) e .
1
7、无穷小的比较 8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
（三）连续
1、连续的定义
单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性
2、间断点的定义
间断点的分类第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
二、例题
例
当 x 1时, 求 lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ).
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
等价无穷小及其性质
无穷小的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1、极限的定义：" N "定义 " "定义
" X "定义
单侧极限极限存在的条件
2、无穷小与无穷大
无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系
无穷小的运算性质
3、极限的性质
x1
1 b lim( x b) lim[ f ( x ) ( x a )( x 1)]
x 1 x 1
lim f ( x ) lim( x a )( x 1) 0
b1
x 1 x 1
例解
1 f ( x ) sin 2 x 1 已知 lim 2, 求 lim f ( x ) 3x x 0 x 0 e 1 1 f ( x ) sin 2 x 1 由lim 2 3x x 0 e 1 而 lim(e 3 x 1) 0
2 4 2n n
解将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 2 4 2n (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim n 1 x 2n 2n 2n 1 (1 x )(1 x ) 1 x lim lim n n 1 x 1 x 1 2n 1 . (当 x 1时, lim x 0.) n 1 x
第一章
函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义（二）极限的概念
（三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数
函数的定义
反函数隐函数
函数的性质
反函数与直接函数之间关系
奇偶性单调性有界性周期性
1.函数的定义函数的分类 2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
显然f ( x )在( ,1), ( 1,1), (1,)内连续.
当x 1时,
x 1
lim f ( x ) lim (1 x ) 2. xlim f ( x ) xlim f ( x ) 1 1
x 1

x lim f ( x ) lim cos 0. 故f ( x )在x 1间断. x 1 x 1 2 当x 1时, x lim f ( x ) lim cos 0. lim f ( x ) lim f ( x ) x 1 x 1 x 1 x 1 2 故f ( x )在x 1连续. lim f ( x ) lim( x 1) 0.
连
x 0
续定义
x x0
lim y 0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续
连续的充要条件
连续函数的运算性质
第一类第二类
可跳去跃间间断断点点无振穷荡间间断断点点
非初等函数的连续性
初等函数的连续性
连续函数的性质
n
n
例
xb 确定a , b的值，使f ( x ) 有无穷 ( x a )( x 1) 间断点x 0,，有可去间断点x 1
解
因f(x)在x=0处为无穷间断，即
lim f ( x )
x 0
1 ( x a )( x 1) 0 lim lim x 0 f ( x ) x 0 xb xa a 0, b 0 lim x 0 x b 又x=1为可去间断，故 lim f ( x )存在
2
例
解
求
( x 1)( 3 x 1)( n x 1) lim n 1 x 1 ( x 1)
则x 1 u
令u x 1
由(1 u) 1 ~ u得
( 1 u 1)( 3 1 u 1)( n 1 u 1) I lim u 0 un1 1 1 1 u u u 2 3 n 1 lim u 0 n! un1
从而得 b 0, a 1. 故 p( x ) x 2 x x
3 2
例6
x 1, x 1 讨论f ( x ) x 的连续性. cos 2 , x 1
将f ( x )改写成
解
1 x , x 1 x f ( x ) cos , 1 x 1 2 x 1, x 1
1 若F (0) 0, F ( ) 0, 则 2 1 1 [ f ( ) f (0)]2 0. F ( 0) F ( ) 2 2 1 由零点定理知, (0, ), 使F ( ) 0. 2 1 即 f ( ) f ( )成立. 2 1 综上, 必有一点 [0, ] [0,1], 2 1 使 f ( ) f ( ) 成立. 2
设 lim xn A，则A 0
n
在 xn 1
1 a ( xn )两边取极限得 2 xn
1a （舍去）
1 sin x x cos x lim 例求 x 0 (1 cos x ) ln(1 x ) sin x 1 x cos x x 解一原式 lim x 0 ln(1 x ) (1 cos x ) x 1 0 1 2 1 2
x c 2c c 2c 2c 2c lim 1 1 x x c x c
e 2c 4
2c 2 ln 2
得 c ln 2
解二
x 1 x c lim lim x x c x 1 c e c e 2c e