2019高考数学一轮复习课时规范练61二项分布与正态分布理新人教A版

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2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练61二项分布与正态分布

课时规范练61二项分布与正态分布基础巩固组1.(2019湖北钟祥一模,6)某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( )A.10B.9C.8D.72.(2019四川成都一诊,6)如果{an}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的项数为4,记事件A:集合{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5},事件B:{xn}为“局部等差”数列,则条件概率P(B|A)=( )A.415B.730C.15D.163.(2019四川广安模仿,7)设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( )A.56B.45C.3132D.124.2018年武邑中学髙三第四次模拟考试竣事后,对全校的数学结果举行统计,发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此统计,在全校随机抽取的4名高三同砚中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是( )A.16B.12C.13D.385.(2019江西上饶模仿,6)甲、乙、丙三人到场一次测验,他们及格的概率分别为,那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.715C.1130D.166.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p 的范围是( )A.(0,0.6]B.[0.6,1)C.[0.4,1)D.(0,0.4]7.(2019山东淄博模仿,14)在某项丈量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( )A.0.2B.0.1C.0.8D.0.48.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如图的频率分布直方图:甲乙(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为,试比较的大小(只要求写出答案);(2)估计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶的质量指标不大于20的概率;(3)由频率漫衍直方图能够以为,乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2).其中μ类似为样本平均数,δ2类似为样本方差,设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求X的数学盼望.注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得s2=≈11.95;②若Z~N(μ,δ2),则P(μ-δ<Z<μ+δ)=0.682 7,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=0.954 5.综合提升组9.(2019湖北武汉调研,7)为了提拔全民身体素质,学校十分器重学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮训练,若他第1球投进则后一球投进的概率为.若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为( )A.34B.58C.716D.91610.设事件A在每次试验中产生的概率雷同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少产生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.276411.若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2ax-1√5展开式中x3项的系数是.12.(2019河北唐山一诊,19)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的复活开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始结果,依照等比例转换规则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的品级结果.某校高一年级共2 000人,为给高一学生公道选科提供依据,对六个选考科目举行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的漫衍列和数学盼望.(附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997)创新应用组13.某人有4把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门,不克不及开门的就抛弃,问第二次才能打开门的概率是.如果试过的钥匙不抛弃,这个概率又是.14.(2019全国2,理18)11分制乒乓球角逐,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球互换发球权,先多得2分的一方得胜,该局角逐竣事.甲、乙两位同砚举行单打角逐,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的效果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局角逐竣事.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.15.为了引导住民公道用电,国家决定实验公道的门路电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).某市随机抽取10户同一个月的用电环境,得到统计表如下:(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;(3)以表中抽到的10户作为样本预计全市的住民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一门路的可能性最大,求k的值.参考答案课时规范练61二项分布与正态分布1.B∵考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102).∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称.∵P(95≤ξ≤105)=0.32,∴P(ξ≥115)=1(1-0.64)=0.18,∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9,故选B.2.C 由题意知,事件A共有=120个根本变乱,事件B:“局部等差”数列共有以下24个根本变乱,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个,含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个,含4,3,2的同理也有2个.含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,含5,3,1的也有上述4个,共24个,所以P(B|A)=24120=15.故选C.3.C∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,∵随机变量X服从二项分布X~B(5,12),∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-125=3132.故选C.4.D 由题意,数学成绩超过95分的概率是,在全校随机抽取的4名高三同砚中,恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是2×2=5.B 由题意知本题是一个相互独立变乱同时产生的概率,三个人中恰有2个合格,包罗三种环境,这三种环境是互斥的,所以三人中恰有两人及格的概率,故选B.6.D事件A在一次试验中发生的概率为p,∵随机事件A 恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,∴C 41p (1-p )3≥C 42p 2(1-p )2,解得p ≤0.4.7.0.4 因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.8.解 (1)由频率分布直方图的性质得(0.010+a+0.020+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015.记甲、乙两种食用油100桶的质量指标的方差分别为,由甲、乙两种食用油检测结果得到的频率分布直方图得到s 12>s 22. (2)设事件A :在甲种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20, 事件B :在乙种食用油中随机抽取1桶,其质量指标不大于20,事件C :在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶,恰有一桶的质量指标大于20,且另一桶不大于20,则P (A )=0.20+0.10=0.3, P (B )=0.10+0.20=0.3,所以P (C )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=0.42.(3)x =(5×0.01+15×0.02+25×0.03+35×0.025+45×0.015)×10=26.5, ∵s 2≈11.95,∴由条件得Z~N (26.5,142.75),从而P (26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.682 7,∴从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.682 7,依题意得X~B (10,0.682 7),∴E (X )=10×0.682 7=6.82 7.9.B 某校篮球运动员举行投篮训练,记“他前一球投进”为事件A ,“第2球投进”为事件B , 若他前一球投进则后一球投进的概率为P (B|A )=34, 所以P (B|A )=34=P (B ·A )P (A ),所以34P (A )=P (B·A ).若他前一球投不进则后一球投进的概率为P (B|A )=14. 所以P (B|A )=14=P (B ·A )P (A ), 所以14P (A )=P (B ·A ).他第1球投进的概率为P (A )=34,“他第2球投进”可记为事件:B=A·B+·B ,其中事件A·B 与·B 互斥,其概率为P=P (A·B+·B )=34×34+(1-34)×14=58.故选B .10.C 假设事件A 在每次试验中产生阐明试验乐成,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A 发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A 恰好发生一次的概率为1-2=11.1 620 ∵随机变量X~N (2,32),均值是2,且P (X ≤1)=P (X ≥a ),∴a=3,∴(x+a )2ax-√x 5=(x+3)2·3x-√x5=(x 2+6x+9)3x-√x 5.又3x-√x 5展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·(3x )5-r·-√x r =(-1)r ·35-r ·C 5r ·x5-3r 2,令5-3r 2=1,解得r=83,不合题意,舍去;令5-3r 2=2,解得r=2,对应x 2的系数为(-1)2·33·C 52=270;令5-3r2=3,解得r=43,不合题意,舍去.∴展开式中x 3项的系数是6×270=1 620. 12.解 (1)因为物理原始成绩ξ~N (60,132),所以P (47<ξ<86)=P (47<ξ<60)+P (60≤ξ<86)=12P (60-13<ξ<60+13)+12P (60-2×13≤ξ<60+2×13)=0.6822+0.9542=0.818. 所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2 000×0.818=1 636(人). (2)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为25.以是随机抽取三人,则X 的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,所以P (X=0)=(35)3=27125, P (X=1)=C 31·25·(35)2=54125, P (X=2)=C 32·(25)2·35=36125,P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望E (X )=3×25=65.13 第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为如果试过的钥匙不抛弃,这个概率为14.解 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局角逐竣事,则这两个球均由甲得分,大概均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局角逐竣事,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.15.解 (1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ,可知第二阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3,P (ξ=0)=C 73C 103=724, P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140, P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740,P (ξ=3)=C 33C 103=1120.故ξ的分布列是所以E (ξ)=0×7+1×21+2×7+3×1=9.(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一门路,满足X~B10,,可知P (X=k )=C 10k35k 2510-k(k=0,1,2,3,…,10) 由{ C 10k (35) k (25) 10-k ≥C 10k+1(35) k+1(25) 10-(k+1),C 10k (35) k (25) 10-k ≥C 10k -1(35) k -1(25)10-(k -1), 解得285≤k ≤335,k ∈N *,所以当k=6时,概率最大,所以k=6.。

新教材高考数学一轮复习课时质量评价61二项分布超几何分布与正态分布含解析新人教A版

新教材高考数学一轮复习：课时质量评价(六十一)(建议用时：45分钟) A 组全考点巩固练1．已知某批零件的长度误差T (单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%B 解析：依题意可得，X ～N (0,32)，其中μ＝0，σ＝3，所以P (－3≤X ≤3)≈0.682 7，P (－6≤X ≤6)≈0.954 5.因此P (3<X ≤6)＝12[P (－6≤X ≤6)－P (－3≤X ≤3)]≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9＝13.59%.2．(2020·青岛市高三一模)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为( )A ．112125B ．80125C ．113125D ．124125A 解析：该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率p ＝⎝⎛⎭⎫453＋C 23×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫15＝112125.故选A ．3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A ．1220B ．2755C ．27220D ．2155C 解析：{X ＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)C 解析：X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.故选C ．5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)．若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)＝( )A ．38B ．1314C ．45D ．78D 解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12， P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＋C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 03×⎝⎛⎭⎫123＝78.故选D ． 6．(2020·重庆高三三诊)若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)(σ>0)，则P (|X －μ|≤σ)≈0.682 7，P (|X －μ|≤2σ)≈0.954 5，P (|X －μ|≤3σ)≈0.997 3.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N (110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数为( )A ．159B ．46C ．23D ．13C 解析：由题意可得，μ＝110，σ＝10.故P (X >130)＝P (X >μ＋2σ)＝1－P (|X －μ|≤2σ)2＝1－0.954 52＝0.022 75. 所以该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1 000×0.022 75＝22.75≈23.故选C ．7．(多选题)(2020·寿光现代中学高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A ．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kgB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99AB 解析：甲图象关于直线x ＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 错误．因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确．因为乙图象的最大值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，故D 错误．故选AB ．8．(2020·江苏丹阳高三月考)“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A 医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市．已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是________．710解析：由题意知，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，则所求概率p ＝C 13·C 12＋C 22C 25＝6＋110＝710. 9．(2021·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列．解：(1)设事件A 为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以X 的分布列为B 组新高考培优练10．(多选题)(2020·泰安市高三二模)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其正态密度函数为f (x )＝1102πe－(x －100)2200，x ∈(－∞，＋∞)．下列说法正确的是( ) A ．该地水稻的平均株高为100 cm B ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120 cm 以上的概率比株高在70 cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和(100,110)(单位：cm)的概率一样大 AC 解析：f (x )＝1102πe－(x －100)2200，故μ＝100，σ2＝100，故A 正确，B 错误； P (X >120)＝P (X <80)>P (X <70)，故C 正确；根据正态曲线的对称性知P (100<X <110)＝P (90<X <100)>P (80<X <90)，故D 错误．故选AC ．11．(多选题)(2020·海南中学高三模拟)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(60,300]．若使标准分X 服从正态分布N (180，900)，则下列说法正确的有(BC)参考数据：①P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7；②P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P (240≤X ≤270)＝0.042 812．(2020·阆中中学高三一模)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，A ，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( )A ．1627B ．5281C ．2027D ．79C 解析：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种，分别为A 队全胜，A 队三胜一负，A 队第三局胜，另外三局两负一胜，所以比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为p ＝⎝⎛⎭⎫234＋C 34×⎝⎛⎭⎫233×13＋23×C 13×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫132＝2027.故选C ．13．箱子里有5个黑球、4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝⎛⎭⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49B 解析：由题意知，第4次取球后停止，当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.14．(2020·太原五中高三二模)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,169)．(1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数；(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．(附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)解：(1)因为物理原始成绩ξ～N (60,132)，所以P (47≤ξ≤86)＝P (47≤ξ<60)＋P (60≤ξ≤86)＝12P (60－13≤ξ<60＋13)＋12P (60－2×13≤ξ≤60＋2×13)≈0.818 6.所以物理原始成绩在(47,86)的人数约为2 000×0.818 6≈1 637. (2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25.随机抽取3人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125 ， P (X ＝1)＝C 13×25×⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125. 所以X 的分布列为所以数学期望E (X )＝3×25＝65.。

高考数学(理)一轮复习配套讲义：二项分布与正态分布

第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)d x，则称随⎠⎛a机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨析感悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) [感悟·提升]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.考点一条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.答案(1)B(2)1 4规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．A.1127B.11 24C.827D.9 24解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案 C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．审题路线 (1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X ≥2”表示事件“X ＝2”与“X ＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415， (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝116，于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B )＝34. 所以乙投球的命中率为34.(2)法一由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34. 法二由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34. 考点三正态分布下的概率【例3】已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.8，则P (0<X <2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 解析由P (X <4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0<X<4)＝0.3.答案 C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x ＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.682 6，得P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B ，C 相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，∴P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216，即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)．则P (X ＝0)＝C 03·5363＝125216，P (X ＝1)＝C 13·5263＝2572， P (X ＝2)＝C 23·563＝572， P (X ＝3)＝C 3363＝1216，所以中奖人数X 的分布列为规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13.所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：[易错警示]由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．[防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了．【自主体验】(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252· 45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.基础巩固题组一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )．A.316B.516C.716D.58 答案 B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 答案 C3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )． A.5960 B.35 C.12 D.160 答案 B4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65 D ．0.75 答案 D5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案 357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案 0.72 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点时，Δ＝16－4X <0，即X >4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12时，μ＝4. 答案 B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )． A ．C 57⎝⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 答案 B 二、填空题3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34 三、解答题4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27，又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27，P(X＝2)＝P(A4)＝4 27，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27，∴X的分布列为∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。

2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业65二项分布、正态分布及其应用+Word版含解析.docx

课时作业65二项分布、正态分布及其应用［授课提示：对应学生用书第272页］一、选择题1. 已知随机变量g 服从正态分布N(2, o 2),且P(gV4)=0・8,则P(O<gV4)=()A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2解析：由 P(£V4) = 0.8,得 P(£24) = 0.2.又正态曲线关于x=2对称.则P(gW0) = P(E$4)=0.2,所以P(O<^<4)=1—P 忆WO) —P(§24) = 06答案：A2. 设随机变量g 〜B(2, p), n 〜B(4, p),若P (勞1)=|,贝IJP0122)的值为 ()32 H A.打 B *27^65 J6c iT D解析：因为随机变量g 〜B(2, p),耳〜B(4, p),又P(g21)=l —P(g=O)=l —(1—p)2=|,解得 p=|,所以 q 〜B (4,导，则 P(ri2) = 1 — P (T|=0)—P(r| = 1) __n=27-答案：B3. (2018-河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为*,两次闭合后都出现红灯的概率为右则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A 丄 C -5 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A, “第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得P(A)=|, P(AB)=|,则在第一次闭合后出现红灯S 5a 21的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)=^I =Y =|.故选C.2答案：c4. (201&金华一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为刍乙、丙回老家过节的概率分别为£ +•假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段吋间内至少1人回老家过节的概率为()4 59 门 3A 60B 5C 丄D 丄解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A, B, C,则P(A)=|, P(B) i ] _ 2 — 3 — 4=才'P(C)=§,所以P(A)=亍,P(B)=才，P(C)=§・由题知A, B, C 为相互独 _ _ _ ___23 立事件，所以三人都不回老家过节的概率P(A B C) = P(A)P(B)P(C)=yX^4 2 2 3所以至少有一人回老家过节的概率P= 1-5 = 5-答案：B5. (2018-广东梅州一检)集装箱内有标号为12,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率是()° 6254D 625 由题得获奖的概率为P=-p=l 记获奖的人为g, t 〜B (4, | 為x|為故选B. X \ 1 c B 1 Xo 1 X6・设X 〜N(l, o 2),其正态分布密度曲线如图所示，且P(X$3) = 0.022 8, 那么向正方形OABC 屮随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量g 服从正态分布N(p, o 2),则P(p —cVgVp+(y) = 68.26%, P@—2Q <E<|I +2Q ) = 95.44%)A. 6 038 B ・ 6 587 C ・ 7 028 D ・ 7 539解析：由题意得,P(XW — l)=P(X$3)=0.022 8,AP(-1 <X<3)= 1 -0.022 8X2 = 0.9544,・・.l_2o=_l, o=l,人625 r624 c *625 解析: 人中恰好有3人获奖的概率为p = dx答案:B・・・P(0WXWl)=*P(0WXW2)=0.341 3,故估计的个数为10 000X(1-0.341 3)=6 587,故选B.答案：B二、填空题7. _________________________________ 设袋屮有大小相同的4个红球与2个白球，若从屮有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2红球的概率为 .解析：由题意得红球个数X服从二项分布，即X〜B(6, |),8.(2018-云南省第一次统一检测)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90, o2).若分数在(70,110]内的概率为0.7,估计这次考试分数不超过70的人数为______________ ・解析：记考虑成绩为g,则考试成绩的正态曲线关于直线g=90对称.因为P(70V£W 110) = 0.7,所以P(§W70) = P(§>110)=*X(l—0.7) = 0.15,所以这次考试分数不超过70的人数为1 000X0.15 = 150.答案:1509.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个I口球.不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_________ ・解析：记“连续两次取球中第一次取到新球”为Q,记“第一次取到新球，第二次也取到新球”为事件B,则。

[推荐学习]2019高考数学一轮复习课时规范练61二项分布与正态分布理新人教B版

课时规范练61 二项分布与正态分布基础巩固组1.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A. B.C. D.2.(2017辽宁沈阳三模,理8改编)在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为()(附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997)A.4 985B.8 185C.9 970D.24 5553.(2017福建厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局,则比赛结束.假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A. B. C. D.〚导学号21500596〛4.(2017广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A为“至少有一次出现反面”,事件B为“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=()A. B. C. D.5.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(2<X<3)等于()A.0.20B.0.50C.0.70D.0.806.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B. C. D.〚导学号21500597〛7.一个正方形被平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=.8.(2017河北衡水质检)某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102).已知P(90≤X≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.9.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.10.(2017天津河东区一模,理16)一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,若取出的是红球,则把它放回箱中;若取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中”.(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.〚导学号21500598〛综合提升组11.(2017广东广州模拟)设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A. B. C. D.12.(2017安徽黄山二模,理14)若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2展开式中x3项的系数是.13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?创新应用组14.(2017河南洛阳模拟)甲、乙两名棋手比赛正在进行中,甲必须再胜2盘才最后获胜,乙必须再胜3盘才最后获胜,若甲、乙两人每盘取胜的概率都是,则甲最后获胜的概率是()A. B. C. D.〚导学号21500599〛15.(2017山西实验中学3月模拟,理18)京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分布区间为[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],由此得到如图所示的频率分布直方图.(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.〚导学号21500600〛参考答案课时规范练61二项分布与正态分布1.C用X表示发芽的粒数,则X服从二项分布B,P(X=2)=.2.D由题意P(0<X<3)=0.683+(0.954-0.683)=0.818 5,则落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×0.818 5=24 555,故选D.3.A第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,故所求的概率为P=.4.A依题意得P(A)=1-,P(AB)=,因此P(B|A)=,故选A.5.A∵该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,∴P(X≥3)=P(X≤1)=0.30,∴P(1<X<3)=1-P(X≥3)-P(X≤1)=1-2×0.30=0.40,∴P(2<X<3)=P(1<X<3)=0.20.6.A设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.∵P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=---.故目标被击中的概率为P=1-P()=.7.如图,n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=4,∴n(AB)=1,∴P(AB)=,P(A|B)=.8.10由题意,知P(X>110)=-=0.2,所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.9.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为10.解 (1)设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”,B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”,A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”,B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”.则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”.由条件概率计算公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=.B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”.由条件概率计算公式得P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=.A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为4”,又A1B2与B1A2是互斥事件,故P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=.(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,5.P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=.进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望E(X)=3×+4×+5×.11.C假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为-.12.1 620∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3,∴(x+a)2=(x+3)2·=(x2+6x+9).又展开式的通项公式为T r+1=·(3x)5-r·=(-1)r·35-r·-,令5-=1,解得r=,不合题意,舍去;令5-=2,解得r=2,对应x2的系数为(-1)2·33·=270;令5-=3,解得r=,不合题意,舍去.∴展开式中x3项的系数是6×270=1 620.13.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=-,P(X=20)=-,P(X=100)=-,P(X=-200)=-.所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.14.B甲、乙再打2局,甲胜的概率为;甲、乙再打3局,甲胜的概率为2×;甲、乙再打4局,甲胜的概率为3×,所以甲最后获胜的概率为,故选B.15.解 (1)根据正态曲线的对称性,由P(ξ<38)=P(ξ>68),得μ==53.再由频率分布直方图得解得(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100=5(人),由题意η=0,1,2,3,4,5,所以P(η=0)=-,P(η=1)=-,P(η=2)=-,P(η=3)=-,P(η=4)=-,P(η=5)=,所以η的分布列为所以E(η)=0×+1×+2×+3×+4×+5×,或根据题设,η~B,P(η=k)=--(k=0,1,2,3,4,5),所以E(η)=5×.。

高考数学第一轮复习第十一篇第5讲二项分布与正态分布课件理新人教A版

A.18 B.14 C.25 D.12 (2)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)＝________.
解析 (1)P(A)＝C23C＋25C22＝140＝25，P(A·B)＝CC2252＝110. 1
事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则 P(AB)＝SS△圆EOOH＝π12××1122＝21π.
1
故 P(B|A)＝PP(A(AB))＝22π＝14.
答案
(1)B
1 (2)4
π
第九页，共25页。
条件(tiáojiàn) 概率
【例 1】 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ).
【例 2】 (2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手． (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
第十三页，共25页。
相互独立事件同时(tóngshí)发生的概率
【例 2】 (2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立

【数学】2019届一轮复习人教A版二项分布与正态分布学案

二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B相互独立.(2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝ )＝C k np (1－p )n －( ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ--　(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A．110B．15C．25D．12[答案](1)14(2) C[解析](1)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14. (2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1.故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59.考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y求事件的概率为P(Y＋＝1)＝P(Y＝0，＝1)＋P(Y＝1，＝0) ＝P(Y＝0)P(＝1)＋P(Y＝1)P(＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析]记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝23，P(E)＝13，P(F)＝35，P(F)＝25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立.(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F，于是P(H)＝P(E)P(F)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(E F)＝13 ×25＝215，P(X＝100)＝P(E F)＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为X 0100120220P215 15 415 25 【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0 50为优；51 100为良；101 150为轻度污染；151 200为中度污染；201 300为重度污染；300以上为严重污染. 一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35.∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝ )＝C k n p (1－p )n －的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X ，求X 的分布列.[解析](1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×0.41＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63×0.40＝0.216，所以X的分布列为X 012 3P 0.0640.2880.4320.216【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________．[答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。

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课时规范练61 二项分布与正态分布一、基础巩固组1.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A. B.C. D.2.(2017辽宁沈阳三模,理8改编)在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为()(附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.6827,0.954 5,0.997 3.)A.4 985B.8 185C.9 970D.24 5583.(2017福建厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局,则比赛结束.假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A. B. C. D.〚导学号21500596〛4.(2017广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A为“至少有一次出现反面”,事件B为“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=()A. B. C. D.5.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(2<X<3)等于()A.0.20B.0.50C.0.70D.0.806.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B. C. D.〚导学号21500597〛7.一个正方形被平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=.8.(2017河北衡水质检)某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102).已知P(90≤X≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.9.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.10.(2017天津河东区一模,理16)一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,若取出的是红球,则把它放回箱中;若取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中”.(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.〚导学号21500598〛二、综合提升组11.(2017广东广州模拟)设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A. B. C. D.12.(2017安徽黄山二模,理14)若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则(x+a)2展开式中x3项的系数是.13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?三、创新应用组14.(2017河南洛阳模拟)甲、乙两名棋手比赛正在进行中,甲必须再胜2盘才最后获胜,乙必须再胜3盘才最后获胜,若甲、乙两人每盘取胜的概率都是,则甲最后获胜的概率是()A. B. C. D.〚导学号21500599〛15.(2017山西实验中学3月模拟,理18)京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分布区间为[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],由此得到如图所示的频率分布直方图.(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.〚导学号21500600〛课时规范练61二项分布与正态分布1.C用X表示发芽的粒数,则X服从二项分布B,P(X=2)=2.D由题意P(0<X<3)=0.682 7+(0.954 5-0.682 7)=0.818 6,则落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×0.818 6=24 558,故选D.3.A第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,故所求的概率为P=4.A依题意得P(A)=1-,P(AB)=,因此P(B|A)=,故选A.5.A∵该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,∴P(X≥3)=P(X≤1)=0.30,∴P(1<X<3)=1-P(X≥3)-P(X≤1)=1-2×0.30=0.40,∴P(2<X<3)=P(1<X<3)=0.20.6.A设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.∵P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=故目标被击中的概率为P=1-P()=7如图,n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=4,∴n(AB)=1,∴P(AB)=,P(A|B)=8.10由题意,知P(X>110)==0.2,所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.9.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=故X的分布列为10.解 (1)设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”,B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”,A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”,B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”.则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”.由条件概率计算公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”.由条件概率计算公式得P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为4”,又A1B2与B1A2是互斥事件,故P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,5.P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=进行第二次操作后,箱中红球个数进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望E(X)=3+4+511.C假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为12.1 620∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3,∴(x+a)2=(x+3)2=(x2+6x+9)又展开式的通项公式为T r+1=(3x)5-r=(-1)r·35-r,令5-=2,解得r=2,对应x2的系数为(-1)2·33=270;令5-=3,解得r=,不合题意,舍去.∴展开式中x3项的系数是6×270=1 620.13.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=所以X的分布列为X10 20 100 -200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是14.B甲、乙再打2局,甲胜的概率为;甲、乙再打3局,甲胜的概率为2;甲、乙再打4局,甲胜的概率为3,所以甲最后获胜的概率为,故选B.15.解 (1)根据正态曲线的对称性,由P(ξ<38)=P(ξ>68),得μ==53.再由频率分布直方图得解得(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100=5(人),由题意η=0,1,2,3,4,5,所以P(η=0)=,P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=,P(η=5)=,所以η的分布列为所以E(η)=0+1+2+3+4+5, 或根据题设,η~B,P(η=k)=(k=0,1,2,3,4,5), 所以E(η)=5。