北京课改版数学九下27.1《探索数学问题的一些方法》教案

探索数学问题的一些方法一、基本数列举例【尝试一】序号：○1○2○3○4○5○n备注：1、 1 ，3 ，5 ，7 ，_____ ……__________ 等差数列：3 ，5 ，7 ，9 ，_____ ……_________-1 , 1 , 3 , 5, ____ ,9 ……__________2、 2 ，4 ，6 ，8 ，_____ ……__________0 ，2 ，4 ，6 ，_____ ……__________3、 2 ，5 ，8 ，11，_____ ……_________―1 ，5 ，11 ，17 ，_____ ……_________【尝试二】4、（1）▲2 ，4 ，8 ，16 ，_____……_________ 等比数列：3 ， 5 ，9 ，17 ，_____ ……_________1 , 3 , 7 , 15 , _____ ……_________0 , 2 ， 6 ，14 ，_____ ……________( 2 )●1 ，4 ，9 ，16 ，_____ ……________2 ，5 ，10 ，17 ，_____ ……________0 , 3 , 8, 15 , _____ ……_________【尝试三】5、(1)有一列数：1234251017⋅⋅⋅，，，，,那么第5个数是______, 第n个数为______(2)有一列数：1234251017--，，，，…，那么第5个数是____，第n个数为_____(3)有一列数1234251017⋅⋅⋅，-，，-，,那么第5个数是_____, 第n个数为______(4)填空：111111,,,,,,______n2310152635⋅⋅⋅，第个数为________通项公式：a n=a1+(n-1)d【a n是第n个数，a1为第一个数，d为公差（固定差）】当差为固定值d时，其通项公式一定与dn±m有关。

通项公式：a n=a1·q n-1【a n为第n个数，a1为第一个数，q为公比（固定比）】【练 习】 一组按规律排列的式子：2b a ，52b a -，83b a，114b a -，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个数为 （n 为正整数）．【探 究】 1．题．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A,B,C,D.请你按图中 箭头所指方向（即A ⇒B ⇒C ⇒D ⇒C ⇒B ⇒A ⇒B ⇒C ⇒…的方式）， 从A 开始数连续的正整数 1,2,3,4,…，（表格备用）（1）请把字母A 所对应的数值按顺序排列出来，并寻找其中的规律？你能表示第n 个（n 为正整数）A 出现时它所对应的数吗？（2）请把字母D 所对应的数值按顺序排列出来，并寻找其中的规律？ 你能表示第n 个（n 为正整数）D 出现时它所对应的数吗？（3）请把字母B 第2n 次（n 为正整数）出现时所对应的数值排列出来，并寻找其中的规律？你能表示第2n 次B 出现时它所对应的数吗？（用含n 的代数式表示）若字母B 第2n+1次（n 为正整数）出现时所对应的数值排列出来，并寻找其中的规律？你能表示第2n+1次B 出现时它所对应的数吗？(用含n 的代数式表示）（4）你认为字母C 第2n 次出现时所对应的数是：_______________(用含n 的代数式表示）字母C 第2n+1次出现时所对应的数呢？_______________(用含n 的代数式表示）2题 观察下列式子:第1个式子: 52 -42 = 32， 第2个式子: 132 -122= 52， 第3个式子: 252 -242= 72，⋯⋯按照上述式子的规律, 第5个式子为 ( ) 2-( ) 2 =112;第n 个式子为 (n 为正整数). 答案：61，60，(2n 2+2n +1) 2-(2n 2+2n ) 2 =(2n +1)2.6、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○……，…，()()21221112,22213,2__________,_______SS+==+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅从第1个球起到第2011个球止，共有实心球________个。

7、观察下列算式：用你所发现的规律写出89的末位数字是________【练习】下面是按一定规律排列的北京2008奥运28项比赛项目中的五项比赛项目的图标(如图)，按此规律画出的第2011个图标应该是__________（请在横线上写出符合题意的运动项目的名称）．二、图形规律举例1、观察下表，填表后再解答问题：（1）完成下列表格序号 1 2 3 ……n图形……●的个数……☆的个数……（2）求出第________个图形中的“●”的个数与“☆”的个数相等。

2、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。

(1)用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；3、正方形A1B1C1O,A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，如右图所示放置。

点A1，A2，A3，,…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是_________【练习】1如图，图○1，图○2，图○3，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字，则第○n个“山”字中的棋子的个数是__________________2如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．34 如图，取第一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到1234567922,24,28,216,232,264,2128,2256========第三个正方形，按此方法继续下去， 则第四个正方形的周长和面积分别是______ , ．第n 个正方形的周长和面积分别为____________ ，______________5 如图，直线y ＝3x ，点A 1坐标为(1，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1， 以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去， 点A 5的坐标为(_______，_______)． A (2,0) B （16，0） C (14,0) D (20,0)6 如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形 A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝________．7 在反比例函数10y x=()0x >的图象上,有一系列点1A 、2A 、3A …、n A 、1n A +， 若1A 的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过 点1A 、2A 、3A …、n A 、1n A +作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示， 将图中阴影部分的面积从左到右依次记为1S 、2S 、3S 、n S ，则1S =__________,1S +2S =___________, 1S +2S +3S +…+n S =_________.(用n 的代数式表示)8 如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C1的面积。

然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了 正△A 2B 2C 2的面积。

用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3 的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是____________,第n 个 正三角形的面积为__________9 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律， 则第6个大三角形中白色三角形有 个 ．第 n 个大三角形中白色三角形有___________________个。

10 如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正 方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为 __________。

第n 个正方形A n B n C n D n 的面积为____________________11 如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设 △211B D C 的面积为1S ，△322B D C 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面 积为n S ，则2S =_____；n S =_________（用含n 的式子表示）．12 如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然1 2 3 4 6 n第6题A B CA 1A 2A 3B 1B 2 B 3 第1个第2个第3个B AC D第16题图A 1 A2后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

13 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形， 称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形， 共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再 剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...， 根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) A. 669 B. 670 C.671 D. 67214 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为12 ；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n +1）的一条腰长为_____________________．1516 如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， 得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……； ∠A 2010BC 与∠A 2010CD 的平分线相交于点A 2011，得∠A 2011 ．则∠A 2011＝__________________(用含α的代数式表示)17 两个反比例子函数y ＝x 3，y ＝x6在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，……，P 2010在反比例函数y ＝x6图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，……，x 2010，纵坐标分别是1，3，5， …，共2010个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，……，P 2010分别作y 轴的平行线，与y ＝x3 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），……，Q 2010（x 2010，y 2010）， 则y 2010＝_______________。