九年级数学定义、命题、公理、定理、证明;全等复习华东师大版知识精讲

九年级数学定义、命题、公理、定理、证明；全等复习华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 定义、命题、公理、定理、证明；2. 全等复习知识点回顾：一. 定义：能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义。

注意：定义必须严密，一般避免使用含糊不清的术语。

二. 命题：判断正确或错误的句子叫做命题。

正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果……那么……”的形式。

三. 公理：正确性是人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。

常见公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等；四. 定理：正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。

【典型例题】例1. 指出下列句子哪些是定义。

（1）同位角相等，两直线平行（2）若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直 （3）大于直角而小于平角的角叫做钝角 （4）两点之间线段最短（5）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等解：（2）（3）是定义；（1）（4）（5）不是定义。

例2. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？ （1）连结AB （2）对顶角相等（3）如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等 （4）若a b 22，则a>b解：（2）（3）（4）是命题，其中（2）是真命题，（3）（4）是假命题例3. 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论。

（1）直角都相等（2）末位数是5的整数能被5整除 （3）三角形的内角和是180 （4）同角的余角相等（5）不相等的角不是对顶角 （6）内错角相等，两直线平行 解析：略例4. 如图，AB ＝CB ，BE ＝BF ，∠=∠12，求证：AE ＝CFF EA C2B 1证明： ∠=∠12∴∠+∠=∠+∠12FBE FBE∴∠=∠ABE CBF 在∆ABE 和∆CBF 中AB CB ABE CBF BE BF =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆ABE CBF AE CF例5. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上一点，∠=∠12，∠=∠34，求证：∠=∠56DA E CB 6 1 2 3 45证明：在∆DAC 和∆BAC 中∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪1234AC AC∴≅∴=∆∆DAC BAC CD CB在∆DCE 和∆BCE 中DC BC CE CE =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪43∴≅∴∠=∠∆∆DCE BCE56例6. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，DE 、DF 分别与两边交于E 、F 两点，且∠=EDF 45 ，求∆BEF 的周长。

A E BFM解：延长BC 到M ，使CM AE =，连DM 正方形ABCD ，∴∠=∠=A BCD 90 在∆DAE 和∆DCM 中AD DC A DCM AE CM =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∆∆DAE DCM∴==∠=∠DE DM AE CM ,,12∠=EDF 45∴∠=∠+∠=∠+∠=FDM 231345在∆EDF 和∆MDF 中ED MD EDF FDM DF DF =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆EDF MDF EF FM∴∆BEF 周长为BE BF EF BE BF FM BE BF FC AE ++=++=+++=2例7. 如图，在等腰直角三角形∆ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 为BC 上的一点，且PB PD =，DE AC ⊥，垂足为E （1）求证：PE BO =（2）设AC a =2，AP x =，四边形PBDE 的面积是y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围APOEB C证明：（1） Rt ABC ∆中，O 是斜边AC 的中点 ∴∠=BOA 90 ，∠=C 45 ，∠=OBC 45 DE AC ⊥，∴∠=DEA 90PB PD =，∴∠=∠PBD PDB∴∠=∠-∠=∠-PBO PBD OBC PBD 45 ∠=∠-∠=∠-DPC PDB C PDB 45 ∴∠=∠PBO DPC 在∆BOP 和∆PED 中∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪PBO DPE BOP DEP BP PD∴≅∴=∆∆BOP PED PE BO（2） AC a AP x ==2,∴==∴=-==-=AO OB aPO a x DE PO a x EO x,∴=+y S S PBO BOED ∆梯形=-+-=-++<<12122121212022a a x x a x x ax a x a ()()()例8. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠=DBC 45，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD ＝4，BC ＝8，求： （1）BE 的长（2）∠CDE 的正切值C分析：折痕是EF ，则点B 、D 关于EF 轴对称，EF 是线段BD 的中垂线 解：（1） 翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕EF∴=BE DE∠=DBC 45，∴∠=BDE 45 ∴⊥DE BC等腰梯形ABCD ，AD BC ==48，∴=-=CE BC AD 122() ∴=-=-=BE BC CE 826 （2） BE DE =，∴=DE 6 ∠=DEC 90∴∠===tan CDE EC DE 2613例9. 在∆ABC 中，∠=ACB 90，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①∆∆ADC CEB ≅；②DE AD BE =+（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

M NA B图1ED CMCDA BEN图2MCEA BN图3D解：（1）①∠=∠=ADC ACB 90 ∴∠+∠=CAD ACD 90∴∠+∠=BCE ACD 90∴∠=∠CAD BCEAC BC =，∠=∠=ADC CEB 90∴≅∆∆ADC CEB ② ∆∆ADC CEB ≅∴=CE AD ，CD BE = ∴=+=+DE CE CD AD BE （2） ∠=∠=ACB CEB 90∴∠+∠=∠+∠=ACD BCE CBE BCE 90 ∴∠=∠ACD CBEAC BC ADC CEB =∠=∠=，90 ∴≅∆∆ACD CBE∴==CE AD CD BE ， ∴=-=-DE CE CD AD BE （3）略例10. 已知，如图，在∆ABC 中，AD 为BC 的中线，E 为AC 上一点，BE 和AD 交于F ，若AE ＝EF ，求证：AC BF =证法1：延长AD 到M ，使DM AD =，连BMC在∆ADC 和∆MDB 中AD DMADC BDM DC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∆∆ADC MDB∴=∠=∠AC BM M ，1 AE EF =∴∠=∠，12 ∠=∠∴∠=∠233，M ∴=∴=BF BM BF AC ，证法2：延长FD 到N ，使DN ＝FD ，连CNC在∆BFD 和∆CND 中FD DNBDF CDN BD DC =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∆∆BFD CND∴=∠=∠BF CN N ，3 AE EF =∴∠=∠，12∠=∠23 ∴∠=∠1N ∴=CN AC ∴=BF AC小结：加倍中线是解决中线问题的常见方法。

例11. 如图，∆ABC 中，AB AC =，在AB 上取点D ，在AC 的延长线上取点F ，使BD ＝CF ，连结DF 交BC 于点E ，求证：DE ＝FE证法1：过D 作DM//AC ，交BC 于M AB AC B ACB =∴∠=∠， ∴∠=∠∴=B DMB BD DM ， BD CF CF DM =∴=， ∴∠=∠DME ECF 在∆DME 和∆FCE 中∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪DEM FEC DME FCE DM CF∴≅∴=∆∆DME FCEDE FE证法2：过F 作FN//AB 交BC 延长线于N 证∆∆BDE NFE ≅证法3：过D 作DH BC ⊥于H ，FK BC ⊥交BC 延长线于K 证∆∆DHE FKE ≅例12. 已知，如图，∆ABC 中，AB ＝AC ，∠=A 108 ，∠=∠12，求证：AC CD BC +=B E C证明：在BC 上截取BE AB =，连结DEBE AB BD BD =∠=∠=，，12∴≅∴∠=∠=∆∆BDE BDABED A 108∴∠=-==CED AB AC18010872∴=∠=∠BE AC ABC C ，∠+∠+∠=ABC A C 180 ∴∠=C 36同理∠=CDE 72∴∠=∠CDE CED ∴=CD CE∴=+=+BC BE CE AC CD例13. 已知，如图∆ABC 中，∠=BAC 90，AB ＝AC ，D 是AC 的中点，AE BD ⊥交BC 于E ，求证：∠=∠ADB CDECE DA B证明：作AF 平分∠BAC 交BD 于FB∠=∴∠=∠=BAC BAF CAF 9045， 且∠+∠=ABC C 90AB AC ABC C =∴∠=∠， ∴∠==∠=∠C BAF CAF 45 AE BD ⊥，∴∠+∠=190ADB 同理∠+∠=290ADB∴∠=∠12在∆ABF 和∆CAE 中∠=∠21，AB AC BAF C =∠=∠， ∴≅∆∆ABF CAE ∴=AF CE在∆ADF 和∆CDE 中AF CE CAF C AD DC =∠=∠=，，∴≅∆∆ADF CDE ∴∠=∠ADB CDE例14. 已知，如图四边形ABCD 中，AB>CD ，AC 平分∠BAD ，若∠+∠=B D 180，求证CD ＝CBB证明：作CE AD ⊥，CF AB ⊥，垂足分别为E 、F 则∠=∠=DEC BFC 90AC 平分∠BAD∴=∠+∠=∠+∠=CE CFCDE ADC B ADC180180，∴∠=∠CDE B在∆CDE 和∆CBF 中∠=∠∠=∠=CDE B DEC BFC CE CF ，， ∴≅∆∆CDE CBF ∴=CD CB说明：此题还可添下面辅助线去证： （1）在AB 上截取AN ＝AD ，连结CN（2）延长AD 到M ，使AM ＝AB ，连结CM【模拟试题】1. 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，若∠=ABE 20 ，则∠=ACD ________AD EOB C2. 如图，∆∆ABC AED ≅，AE ＝AB ，AC ＝AD ，若AE AC ⊥，且∠=DAC 30 ，则∠=BAD ________A EB D C3. 如图，已知AC ＝BD ，要使∆∆ABC DCB ≅，只需增加的一个条件是________D AB C4. 把下列的命题改写成“如果……那么……”的形式 （1）等角的补角相等（2）两邻补角的平分线相互垂直5. 已知，如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 为AC 上的点，求证：BE ＝DEDA E CB6. 如图，∠=ABC 90，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：EF ＝CF －AEAEDFB C⊥且交∠CBE 7. 已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN DM的平分线于N=吗？为什么？（1）MD MN（2）若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”是否成立？若成立，给予证明，若不成立，说明理由。