2014年五年级暑假第9讲-完全平方数(教师版)
《完全平方公式》第二课时参考教案
《完全平方公式》第二课时参考教案第一篇：《完全平方公式》第二课时参考教案1.8 完全平方公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.(二)能力训练要求1.在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.2.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感与价值观要求1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.●教学重点1.巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学难点1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学方法活动探究法.●教具准备投影片四张第一张：提出问题，记作(§1.8.2 A)第二张：分糖游戏，记作(§1.8.2 B)第三张：例2，记作(§1.8.2 C)第四张：例3，记作(§1.8.2 D)●教学过程/ 7Ⅰ.创设情景，引入新课［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：出示投影片(§1.8.2 A)一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a －2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一个“分糖游戏”.出示投影片(§1.8.2 B)一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖.第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.2 / 7由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(§1.8.2 C)［例2］利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)1972.如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809 ［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片§1.8.2 D)［例3］计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机/ 7会.解：(1)方法一：(x+3)2－x2 =x2+6x+9－x2——运用完全平方公式 =6x+9 方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3 =6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6 =15x+19 ［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy 把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40 Ⅲ.随堂练习1.(课本P45)利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2 =10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］/ 7=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－9 2.试一试，计算：(a+b)3分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使运算简便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3 3.已知x+1=2,求x2+xx1x2x的值.解：由x+1=2,得(x+1)2=4.x2+2+1x2=4.所以x2+1x2=4－2=2.Ⅳ.课时小结［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.…… Ⅴ.课后作业1.课本P45，习题1.14.Ⅵ.活动与探究Λ9×999Λ9+199Λ9 化简9991424314243123n个n个n个［过程］当n=1时，9×9+19=102 当n=2时，99×99+199=104 当n=3时，999×999+1999=106 ……于是猜想：原式=102n/ 7［结果］原式=(10n－1)(10n－1)+(2×10n－1)=(10n－1)2+2×10n－1 =102n－2×10n+1+2×10n－1 =102n ●板书设计§1.8.2 完全平方公式(二)一、糖果游戏(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.结果：(a+b)2≠a2+b2二、例题讲解例2.利用完全平方公式计算(1)1022(2)1972 例3.计算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●备课资料参考练习1.选择题(1)下列等式成立的是()A、(a－b)2=a2－ab+b2 B、(a+3b)2=a2+9b2 C、(a+b)2=a2+2ab+b2 D、(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)－(3a+b)计算结果是()A.8(a－b)2 B.8(a+b)2 C.8b2－8a2 D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是()A.－25x4－16y4 B.－25x4+40x2y2－16y4 C.25x4－16y2 D.25x4－40x2y2+16y4(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是()/ 72A.(x2y2－1)2 B.(x2y+1)2 C.(x2y－1)2 D.(－x2y－1)2 2.填空题(1)(4a－b2)2=.(2)(－1m－1)22=.(3)(m+n+1)(1－m－n)=.(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,则A= ,B=.(5)(a+2b)2－=(a－2b)2.3.用乘法公式计算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.已知,a+b=8,ab=24.求12(a2+b2)的值.5.已知x+1=4,求证x2+ 1xx2.6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.答案：1.(1)C(2)C(3)B(4)C 2.(1)16a2－8ab2+b4(2)1m24+m+1(3)1－m2－2mn－n2(4)－b2 b4(5)8ab 3.(1)998001(2)1 4.8 5.14 6.－2 7 / 7 第二篇：完全平方公式教案学习周报专业辅导学生学习完全平方公式在代数、几何中的两点运用完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.一、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.有一类例1 已知a2+b2=1,a-b=分析：要求(a+b)4，直接求12，求(a+b)4的值.a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(a+b)2，结合题目条件a2+b2=1，只需求出ab值.解：把a-b=a-2ab+b2212=两边同时平方，得34又因为a2+b2=1，所以2ab=a+2ab+b4222=1+491634 即(a+b)=74所以(a+b)=.22例3 已知x-3x+1=0，求（1）x+1x2；（2）x+1x41x4.分析：观察所求代数式的特征，x+21x2可由x+1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x-3x+1=0求出代数式x+的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想.解：把x-3x+1=0两边同时除以x，得x-3+1x=0，即x+1x=3.2把x+21x=3两边同时平方，得1x+1x2x+2⋅x⋅=9，即 x+21x2=7学习周报专业辅导学生学习再把x2+421x2=7两边同时平方，得1x2x+2⋅x⋅+1x21x4=49，即x+441x144=47.=47.所以（1）x2+（2）x+=7；x二、利用完全平方式判断三角形形状例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请你判断这个三角形是什么三角形.分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0两边同时乘以2，整理可得(a2-2ab+b22)+(a2-2ac+c22)+(b2-2bc+c2)=0所以(a-b)+(a-c)+(b-c)=02因为(a-b)≥0，(a-c)≥0，(b-c)≥0 222所以(a-b)=0，(a-c)=0，(b-c)=0 222所以a=b,a=c,b=c 即a=b=c.所以这个三角形是等边三角形.例5 已知a,b,c是∆ABC的三边长，且a+2b+c-2b(a+c)=0，判断∆ABC222的形状.分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.解：由a+2b+c-2b(a+c)=0变形，得 222(a2-2ab+b22)+(b2-2bc+c2)=02所以(a-b)+(b-c)=0因为(a-b)≥0，(b-c)≥0 学习周报专业辅导学生学习所以(a-b)=0，(b-c)=0 22所以a=b,b=c 即a=b=c 所以∆ABC是等边三角形第三篇：完全平方公式教案人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案一、复习旧知探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．二、探究新知1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。
小学五年级奥数 完全平方数(二)
本讲主线1. 完全平方数的约数个数2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数【例1】(★★)不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少个？【知识要点屋】1、约数个数:⑴分解质因数到指数形式.⑵约个等于指数＋1连乘.2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b)，. 【例2】(★★)10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少个？【例3】(★★★)一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关.开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后,, ,个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问：第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级)200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；, ___ .1【例4】(★★★)学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结1、A＝a2, 质因数成对出现.2、完全平方数, 约数个数一定奇数个.3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4.完全平方数除以3只能余0、1.完全平方数除以4只能余0、1.能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？【今日讲题】例2, 例3, 例5【讲题心得】_____________________________________________________________________________________.【家长评价】________________________________________________________________________________________________________________________________.2。
完全平方数
证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a2+5a+1)+5 (10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a2+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a2+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数 1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的 个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6， 则它的十位数字一定是奇数。
[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的 前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界 邀请赛试题)。 解：设此数为
此数为完全平方，则 必须是11的倍数。因此11 ︱a + b，而a,b为0,1,2,…，9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),…(9,2)等8组可能。
(三)范例 [例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数， 求此数。 解：设此自然数为x，依题意可得
(m,n为自然数) (2)-(1)可得: n2-m2=89 n2=x+44=m2+45+44>m2 ∴n>m (n-m)(n+m)=89 但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是n-m=1,n+m=89. 解之，得n=45。代入(2)得x=452-44=1981。 故所求的自然数是1981。
第二讲 完全平方数
第二讲 完全平方数定理1 完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．逆否命题：个位数是2,3,7,8（52k ±型）的整数一定不是完全平方数．定理2 一个奇数的平方的十位数是偶数．逆否命题：定理3 如果一个完全平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数．定理4 奇数的平方仍然是奇数，并且被4除余1，偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除． 推论１ 两个整数的平方和被4除的余数只能是0,1,2．即一个整数被4除余3，这个数一定不能表示成两个整数的平方和．推论2 两个整数的平方差被4除的余数只能是0,1,3．即一个整数被4除余2，这个数一定不能表示成两个整数的平方差．推论3 两个奇数的平方和一定不是完全平方数．定理5 凡是不能被3整除的整数的平方被3除余1，凡是3的倍数的平方一定能被3整除． 定理6 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数．定理7 一个正整数是完全平方数的充分且必要条件是它的约数个数一定是奇数．结论：若整数a 是下列情况之一，则一定不是完全平方数：（1）个位数是2，3，7，8的数；（2）个位数和十位数都是奇数的数；（3）个位数是6，十位数是偶数的数；（4）被4除余数是2或3的数；（5）被8除余数是2，3，5，6，7的数；（6）被3除余数是2的数；（7）在相邻两个完全平方数之间的数；（8）所有约数的个数是偶数的数．例1：如果2()f x x x =+，证明方程4()()f a f b =没有正整数解a 和b ．【分析】设a 、b 是方程4()()f a f b =的正整数解，则2244a a b b +=+，22440a a b b +--=解得：a =2222121(1)b b b b b b <++<++=+，所以21b b ++不是完全平方数，则a N *∉，得证．例2：设a 与b 为任意给定的整数，试证明方程210530x ax b +++=和210530x ax b ++-=都没有整数根．【分析】求根得：1,25x a =-22553a b -±不是完全平方数，因为2225535(5)3a b a b -±=-±，而25(5)a b -的个位数字为0或5，所以25(5)3a b -±的个位数字为2,3,7,8，由定理1知22553a b -±不是不是完全平方数．例3：求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数．【分析】设矩形边长为,x y ，对角线长为z ，且,,x y z N *∈，则本题即为：若整数,,x y z 满足222x y z +=，则6|xy .①首先证明,x y 中至少一个是偶数．否则，若,x y 都是奇数，则22x y +为42k +（或82k +）型数，与结论（4）（或结论（5））矛盾，故,x y 中至少一个是偶数；②下再证明,x y 中至少一个是3的倍数．否则22,x y 皆为31k +型数，22x y +为32k +型数，但2z 不可能为32k +型（由结论（6）），所以,x y 中至少一个是3的倍数．又(2,3)1=，得证． 例4：求证：没有整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=．【分析】假设存在整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=，即2286a b c +=+．若a ,b 均为奇数，则22a b +为82k +型数，而等式右边为86c +，矛盾；若a ,b 均为偶数，则22a b +为4的倍数，而86c +不是4的倍数，矛盾；若a ,b 一奇一偶，则22a b +为奇数，而86c +是偶数，仍然矛盾，得证．例5：求22222a b c a b ++=的所有整数解．（1）若0c =，则2222a b a b +=，可知a b b a 且，所以a b =，即有2240a b a a +=⇒=或a =a Z ∈，所以0a b c ===满足方程．（2）若0c ≠，先证明0a ≠，0b ≠．否则，若0a =，则220b c +=．所以0b c ==与0c ≠矛盾．同理，若0b =，矛盾．①若c 为奇数，显然a b 、不同为偶数，当a b 、同为奇数，由于222,,a b c 同为41k +型，则222a b c ++为43k +型，而22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为42k +型，22a b 为4k 型，矛盾．故若c 为奇数，方程无整数解．②若c 为偶数，当a b 、同为奇数，222a b c ++为42k +型，22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为41k +型，22a b 为4k 型，矛盾．当a b 、同为偶数，则a b c 、、全为偶，不妨设2m a α=⋅，2n b β=⋅，2t c γ=⋅，其中αβγ、、为奇数，*m n t N ∈、、，于是22222222222222m n t m n αβγαβ+⋅+⋅+⋅=⋅⋅首先不可能有m n t ==，否则222222222()2(2)m m m αβγαβ++=⋅⋅，222αβγ++=2222m αβ⋅⋅，左奇右偶，矛盾．所以m n t 、、不可能全相等． 下证m 不可能是m n t 、、中最小的，否则两边同除以2m，得 22222n m αβ-+⋅+22222222t m n γαβ-⋅=⋅⋅，左奇右偶，矛盾．同理，n 不可能是m n t 、、中最小的．故t 最小，但222222222222222m t n t m n t αβγαβ--+-++=，仍有左奇右偶，矛盾． 例6：求一个三位数，使它等于2n ，并且各位数字之积等于1n -．设210010A n a b c ==++，其中,,a b c 为0,1,2, ,9中的某个数字，且0,2,3,7,8a c ≠≠．由条件，有：1abc n =-，显然0c ≠，否则1n =，A 不是三位数．若c 为偶数，则1abc n =-为偶数，n 为奇数，2n 也为奇数，矛盾．所以 1,9,5c =，下面只需在三位完全平方数中逐一筛查，得361A =．例7：求证：任意六个连续正整数的积不可能是一个整数的立方．【分析】首先证明对任意7n ≥且n N ∈，有33(3)(4)(6)(4)n n n n n +<++<+ 3(4)(6)(3)n n n n ++-+23270n n =-->，3(4)(4)(6)n n n n +-++22(1232)n n =++2(4)(8)0n n =++>设相邻6个正整数为,1,2,3,4,5a a a a a a +++++，则(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a a +++++[(5)][(1)(4)][(2)(3)]a a a a a a =+++++222(5)(54)(56)a a a a a a =+++++.设25n a a =+，则6n ≥.当6n =时，61012720⨯⨯=不是一个整数的立方；当7n ≥时，由引理可知2322223(53)(5)(54)(56)(54)a a a a a a a a a a ++<+++++<++，而相邻两个立方数之间不可能有完全立方数，得证.※例8：求使23m n +为完全平方数的所有正整数m 、n ．【分析】设223m n x =+，则2x 必为奇数，且不能被3整除，于是2x 为31k +型，则2m也31k + 为型．当m 为奇数时，设21m t =+，则2122242(31)m t t t +==⋅=⋅+，由二项式定理知：(31)t +被3除余1．所以2m 为32k +型，矛盾．从而m 为偶数，设2m s =，则 2223s n x +=，因为2x 被4除余1，而242s ．所以3n 被4除余1．若n 为奇数，设21n k =+，则213393(81)k k k +=⋅=+，因为(81)k k +为4+1型．所以213k +为43k +型 ，矛盾．故n 为偶数，设2n q =，则22223s q x +=，22(3)(3)s q q x x =+-，所以3q x +与3q x -都是2 的幕的形式．设32q a x +=，则232q s a x --=，解得：121322q a s a ---=-，左奇，所以212121021s a s a s a --=⇒--=⇒=+，12232121q a s --=-=-，所以22231s q -=+，若q 为奇数.2212231(31)(33+1)s q q q ---=+=+-+ ……，242s -∴=1233q q ---+……1+，若1q >，上或右偶右奇，矛盾，1q ∴=，2421s -∴=，2,3,24s a m s ====，22n q ==，即422235+=课后练习：1．证明125n +型的数不可能是完全平方数．2．证明(1)n n +不是完全平方数．3．当22d n （表示d 整除22n ），n 和d 是正整数时，求证2n d +不是完全平方数．4．求证：任意相邻的四个正整数之积不是完全平方数．5．证明对所有正整数n ，22n n ++不可能被15整除．6．求证：两位或两位以上的平方数，至少含有两个不同的数字．7．求证：对于数31n N =+（1）当n 为偶数时，N 能被2整除；（2）当n 为奇数时，N 能被22整除；（3）不论n 为奇数还是偶数，它不能被2的更高次幂整除．8．求证：对任意的正整数n 、k ，622411k k nn ++不是完全平方数． ※9．求证：若整数a ，b ，c 满足222a b c +=，则a ，b ，c 至少有一个是5的倍数．※10．求证：相邻四个正整数的四次幂的和不可能是另一个正整数的四次幂．※11．已知a ，b 为正整数，当22a b +被a b +除时，所得的商为q ，余数为r ，求所有的正整数a 和b ，使得21977q r +=．《完全平方数》课后练习参考答案1．因为1253(41)2n n +=++，而32k +型的数不可能是完全平方数．2．由于222221(1)n n n n n n <+<++=+，所以2(1)n n n n +=+不是完全平方数．3．由于22d n ，则22n md =，其中m 是整数．若2n d +是完全平方数，设22n d x +=，则22222m n m d m x +=，222222m n n m m x +=，2222(2)n m m m x +=．如果上式成立，22m m +应为完全平方数，然而2222(1)m m m m <+<+，所以22m m +不可能是完全平方数，于是产生矛盾．4．设相邻四个整数为m ，1m +，2m +，3m +，则(1)(2)(3)A m m m m =+++ 22(31)1m m =++-．因为2222(3)(31)m m A m m +<<++，所以A 不是完全平方数．5．假定22n n ++能被15整除，设2215n n k ++=，22150n n k ++-=，n =607k -的个位数是3，所以607k -不是完全平方数，所以n 不可能是整数．6．由于完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．（1）若平方数的个位数是1，5，9，则它的十位数是偶数，显然有两位数字不同；（2）若平方数的个位数是6，则它的十位数是奇数，也是两位数字不同；（3）若平方数的个位数是0，若它的十位数不是0，则已有两位数字不同，若它的十位数是0，则百位，千位，…至少有一位不是0，否则与已知二位或二位以上数字相矛盾；（4）若平方数的个位数字是4，它的十位数是偶数．若十位数不是4，则已有两位数字不同；若十位数字是4，而百位，千位，…有一位不是4，则也有两位数字不同．若各位数字都是4，则4444111=⨯ ．由于11…1不是完全平方数（否则，若是完全平方数，由位数是1，十位数应是偶数，这是不可能的），而4是完全平方数，显然它们的积4111444⨯= 不是完全平方数．由（1）（2）（3）（4）可知，两位或两位以上的完全平方数一定有两个数字不同．7．由于3n 是奇数，而任何奇数的平方被8除1．（1）当n 为偶数时，设2n m =，由于223131(3)1(81)1n m m M +=+=+=++，其中M 是整数．于是312(41)n M +=+．所以n 为偶数时，31n +能被2整除；（2）当n 为奇数时，设21n m =+，由于2123133313(81)1n m m a M ++=+=⋅+=++ 4(61)M =+，所以n 为奇数时，31n +能被242=整除；（3）由（1）（2），41M +和61M +都是奇数，所以31n +不可能被2的更高次幂整除．8．设2k t n =，设原式为A ，则32411A t t =++22(2)92t t =+++，若t 能被3整除，则22(2)t t +能被3整除，于是A 为32m +型．若t 不能被3整除，则22t +能被3整除，于是A 也为32m +型．因为32m +型的数不可能是完全平方数，所以A 不是完全平方数．9．首先证明一个不能被5整除的整数的平方一定是51k ±型．这是因为一个不能被5整除的整数可表为51m ±，52m ±型．而22(51)5(52)1m m m ±=±+，22(52)5(541)1m m m ±=±+-．下面证明本题．假定a ，b ，c 中任何一个都不是5的倍数，则2a ，2b ，2c 一定都是51k ±型．（1）若2a 和2b 都是51k +型或都是51k -型，则222a b c +=是52k ±型．但能被5整除的数的平方为5k 型，不能被5整除的数的平方为51k ±，于是2c 不可能为52k ±型，即产生矛盾；（2）若2a 和2b 中一个是51k +型，另一个是51k -型，则22a b +是5k 型，此时c 能被5整除，与假定不符．所以a ，b ，c ，中至少有一个是5的倍数．10．注意到奇数的平方为41k +型，则奇数的四次方也为41k +型，而偶数的四次方为4k 型． 由于相邻四个整数的四次幂的和是两个奇数和两个偶数的四次幂的和，因而是42k +型；但42k +型的数不可能是一个整数的四次幂．11．由0r ≥及21977q r +=知21977q ≤，44.4q ≤=…，这样q 和r 的取值只能是(44,41)，(43,128)，(42,213)，…另一方面：22()a b a b q r +=++，r a b <+， 则：222222()()11()2()2()22a b a b a b a b r a b a b a b +++=≥=+>+++．于是12q r >或112q r >-． 而43q ≤时，128r ≥，1632r q -≥>，所以不可能有43q ≤． 这样q 和r 的取值只能是44q =，41r =．此时有等式2244()41a b a b +=++，配方得 22(22)(22)1009a b -+-=．设22(22)x a =-，22(22)y b =-，则有221009x y +=．由于31.7y ≤= 以及2x 的个位数是0，1，4，9，6，5，从而2y 的个位数只是9，8，5，0，3，4．考虑到2y 是完全平方数，所以它的个位数只能是9，5，0，4．由于2x 和2y 在221009x y +=中的对称性，所以2x 和2y 的个位都不可能是1，6．这样x ，y 只能是0，2，3，5，7，8，10，12，13，15，17，18，20，22，23，25，27，28，30． 对应的2x 是0，4，9，25，49，64，100，144，169，225，289，324，400，484，529，625，729，784，900．由221009y x =-可取得相应的2y 值为1009，1005，1000，984，960，945，909，865，840，784，720，685，609，525，480，384，280，225，109．再考虑2x 和2y 的对称性，只能是上面两组数中共有的数才有可能满足221009x y +=，这种数只有784，225．于是22784225x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22225784x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即22(22)784(22)225a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(22)225(22)784a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 注意到a 和b 是正整数，解得：1 150 37a b =⎧⎨=⎩，22507ab=⎧⎨=⎩，333750ab=⎧⎨=⎩，44750ab=⎧⎨=⎩．。
《14.2.2_完全平方公式》.PPT课件
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
五年级数论完全平方数教师版
知识要点完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一.完全平方数的主要性质1、完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2、在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3、完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4、若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
二.一些重要的推论1、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2、一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3、自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4、完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5、完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6、完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7、凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-平方和公式: 22221+2+3++(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅=++÷完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=L ．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
小学数学精讲解析：完全平方数
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下()个球。
例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、 、22n ⨯。
五年级数学 --- 完全平方数(一)
【今日讲题】 例2，例3，例5，超常大挑战
【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________.
【家长评价】 ____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________.
【知识要点屋】
2、 完全平方数表:
(熟记)
12＝1 62＝36 112＝121 162＝256 212＝441
22＝4 72＝49 122＝144 172＝289 222＝484
32＝9 82＝64 132＝169 182＝324 232＝529
42＝16 92＝81 142＝196 192＝361 242＝576
本讲主线
完全平方数(一)
1．常见完全平方数及性质
2． 完全平方数的质因数
【知识要点屋】 1、 完全平方数的定义:
我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数. 如: 02＝0，12＝1，22＝4，…，112＝121，
122＝144 … 其中0，1，4，…，121，144，…叫做完全平方数.
版块一∶完全平方数的特点 【例1】 (★★)
某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵. 做完操 后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说: “5人一组分 组还多2人. ”老师马上说: “你一定算错了. ”你知道老师这样说的根 据吗？
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第九讲 完全平方数1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-平方求和公式：2222123......(1)(21)6n n n n ++++=++÷例题1【提高】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【精英】1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【分析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．例题2【提高】用六个2和若干个0组成的整数是否有可能是平方数？【分析】是3的倍数但不是9的倍数，所以不能。
【精英】下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【分析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．例题3【提高】【精英】把1~15这15个正整数排成一行，使得任何相邻两数之和为完全平方数。
【分析】8，1，15，10，6，3，13，12，4，5，11，14，2，7，9例题4【提高】已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
【分析】3223528237=⨯⨯，要使3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a 为2可以使3528a 是完全平方数，故a 至少为2．【精英】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【分析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．例题5【提高】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【分析】设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【精英】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．【分析】设这三个数从大到小分别为2A 、2B 、2C ，那么有()()80A B A B +-=，()()140A C A C +-=，因为1402257=⨯⨯⨯，A C +、A C -同奇同偶，所以有14A C +=，10A C -=或70A C +=，2A C -=，分别解得12A =，2C =和36A =，34C =，对于后者没有满足条件的B ，所以A 只能等于12，2C =，继而求得8B =，所以这三个数分别为12、8、2．例题6【提高】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．【分析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =，2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 即2a 至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．【精英】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【分析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235a b c ⨯⨯，由于它乘以2以后是完全平方数，即1235a b c +⨯⨯是完全平方数，则(1)a +、b 、c 都是2的倍数； 同理可知a 、(1)b +、c 是3的倍数，a 、b 、(1)c +是5的倍数．所以，a 是3和5的倍数，且除以2余1；b 是2和5的倍数，且除以3余2；c 是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a 、b 、c 的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为152024235⨯⨯．例题7【提高】【精英】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 【分析】设这个四位数为2abcd m =①，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=②由②-①得：233333()()n m n m n m =-=-+③将3333分解质因数，有3333311101=⨯⨯，其有()()()1111118+⨯+⨯+=个约数，但是有n m n m +>-，所以只有4种可能，即333313333311111130333101=⨯=⨯=⨯=⨯． 由于21000m abcd =≥，故30m >，所以()()260n m n m m +--=>； 又2(3)(3)(3)(3)10000n a b c d =++++<，所以100n <，故()()2200n m n m n ++-=<；一一检验，只有33101⨯满足1013360->且10133200+<，所以101n m +=，33n m -=，得34m =，原来的四位数为2341156=．例题8【提高】计算：3649648110000+++++【分析】原式2222678100=++++()22222222212310012345=++++-++++ 11100101201561166=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 33835055338295=-=【精英】222213519++++【分析】222213519++++ 2222222(12319)(2418)=++++-+++222119203941296=⨯⨯⨯-⨯+++（） 12470910196=-⨯⨯⨯ 2470285=-2185=练习1已知四个数35□2，3□57，3□36，□329，其中哪几个可以写成平方数？这几个平方数分别是几？【分析】3136＝562，5329＝732。
练习2证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【分析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．练习346305乘以一个自然数a ，乘积是一个整数的平方。
求最小的a 和这个整数。
【分析】3346305375=⨯⨯，a 的最小值为105，这个整数为2205练习4两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【分析】设这两个完全平方数分别是2A 和2B ，且2277A B -=，则两个完全平方数的和可以表示为2772B +，所以B 越大，平方和越大，B 越小，平方和越小，而()()77A B A B +-=，77711177=⨯=⨯，当77A B +=，1A B -=时，B 取得最大值38，此时两个完全平方数的和最大，为2965；当11A B +=，7A B -=时，B 取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．练习5已知(1×2×3×…×n)+3等于一个自然数的平方，试确定n 的值。
【分析】n 为1、3，当n 大于5时，个数数为3，不可能为平方数。
练习6 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．【分析】本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B 为1或3，6C =．由于CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A 为3或8．那么AB 可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．练习7有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【分析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．练习8称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ．【分析】依题有2123k a ++++=，即2(1)2k k a +÷=．因为k 与1k +是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数22a ⨯=相邻偶数．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“2相邻偶数”也互质，于是奇数2m =，22n =相邻偶数 (a m n =⨯)，而2a 为四位数，有3299a ≤≤，即3299m n ≤⨯≤，又2m 与22n 相邻，有712m ≤≤．当7m =时，249m =，相邻偶数为50时，5n =满足条件，这时22(75)1225a =⨯=，即1225N =； 当9m =时，281m =，相邻偶数为80和82都不满足条件；当11m =时，2121m =，相邻偶数为120和122都不满足条件．所以，1225N =．。