2.6两个重要极限
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2.6 两个重要极限
2
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
两个重要极限
x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
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1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限分析
两个重要极限分析关于两个重要极限分析两个重要极限是很重要的知识点，这个的知识点要怎么证明呢?证明的过程是的呢?下面就是店铺给大家整理的两个重要极限的证明内容，希望大家喜欢。
两个重要极限教案教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则;并会利用它们求极限;2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法;教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I：如果数列满足下列条件：(i)对 ;(ii) 那么，数列的极限存在，且。
证明：因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有：，即，所以。
准则I′如果函数满足下列条件：(i)当时，有。
(ii)当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
第一个重要极限：作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。
证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，(因为，所以上不等式不改变方向)当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切两个重要极限的介绍第一个重要极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。
先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。
(ii)又令，所以，即对，又对所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即注1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。
最新(两个重要极限)教案资料
定义1：设有数列 ，如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调增加数列；
定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
两个重要极限
§2.6 两个重要的极限
两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x
复合形式 :
sin ( x) 若有 lim ( x) 0, 则有 lim 1 ( x)
说明： 上式中分母的变量与分子中正弦符号后面的变
量在形式上必须是一样的, 在 x 的变化过程中,
0 呈“ 0
” 型未定式.
x 1
1 x 1
e
(1 型 )
常用等价无穷小:
当 x 0时， sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e 1 ~ x
x
1 2 1 cos x ~ x 2 a (1 x) 1 ~ a x (a 0)
tan 2 x 例1 求 lim . x 0 1 cos x
1 x lim (1 ) e x x
复合形式：
lim (1 x) e
x 0
1 x
1 ( x) 若有 lim ( x) , 则有 lim[ 1 ] e. ( x)
若有 lim ( x) 0, 则有 lim[ 1 ( x)]
1 ( x)
x0
1 cos 2 x ( 2) lim ; x 0 x sin x
x 1 cos x
;
sin 3 x (4)lim ; x 0 3
sin( x 2) (5)lim ; x2 x2
1 (6) lim x sin . x x
1 n （2） lim (1 ) e n n
x 求 lim 2 x x 1
2 x
x2 x x （提示：2 ） x 1 x 1 x 1
两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x
复合形式 :
sin ( x) 若有 lim ( x) 0, 则有 lim 1 ( x)
说明： 上式中分母的变量与分子中正弦符号后面的变
量在形式上必须是一样的, 在 x 的变化过程中,
0 呈“ 0
” 型未定式.
x 1
1 x 1
e
(1 型 )
常用等价无穷小:
当 x 0时， sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e 1 ~ x
x
1 2 1 cos x ~ x 2 a (1 x) 1 ~ a x (a 0)
tan 2 x 例1 求 lim . x 0 1 cos x
1 x lim (1 ) e x x
复合形式：
lim (1 x) e
x 0
1 x
1 ( x) 若有 lim ( x) , 则有 lim[ 1 ] e. ( x)
若有 lim ( x) 0, 则有 lim[ 1 ( x)]
1 ( x)
x0
1 cos 2 x ( 2) lim ; x 0 x sin x
x 1 cos x
;
sin 3 x (4)lim ; x 0 3
sin( x 2) (5)lim ; x2 x2
1 (6) lim x sin . x x
1 n （2） lim (1 ) e n n
x 求 lim 2 x x 1
2 x
x2 x x （提示：2 ） x 1 x 1 x 1
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
微积分课间2.6 两个重要的极限
t →0
14/17
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
11/17
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
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三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
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(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
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存在, 那末 lim f (x) 存在, 且等于A .
x→x0 (x→∞)
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例1 求 lim (
n→∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 <
1 n +n
2
).
解
∵
n n +n
2
<
1 n +1
2
+⋯+
= 1,
n n +1
2
n +n
2
,
又 lim
n n2 + n
n→∞
n→ ∞
lim
由夹逼定理得
A 2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 . 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 + 13 1 − 13 , A= 2 2
(舍去) 舍去)
∴ lim xn =
n→∞
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二、两个重要极限
sin x =1 (1) lim x→0 x
π 设单位圆 O, 圆心角 ∠AOB = x, ( 0 < x < ) 2
C B
o
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1 x lim 可以证明 (1+ ) = e. x→∞ x
lim 同时还有 (1+ x) = e.
x→0
1 1 1t x 证明 令 t = , lim(1+ x) = lim(1+ ) = e. t →∞ t x x→0
1 x
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1 例7 求 lim (1 − )x . x→ ∞ x 解
类似地, 类似地
x n +1 = 1 + 1 +
1 1 (1 − ) +⋯ 2! n+1 1 1 2 n−1 )(1 − )⋯ (1 − ) + (1 − n! n+1 n+2 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )⋯ (1 − ). + (n + 1)! n+1 n+2 n+1
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sin x = 1. x→0 x
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tan x . 例3 求 lim x→0 x →
sin x cos x = lim sin x 1 = 1 解 原式 = lim x→ 0 x cos x x→0 x →
sin 2x . 例4 求 lim x→0 sin 5x → 解
sin 2x 2x 2 = . 原式 = lim 2x 5 x→0 sin 5x 5x → 5x
§2.6 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限
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一、极限存在准则
1.夹逼定理 夹逼定理
x 准则Ⅰ 如果数列 n , yn 及 zn 满足下列条件: Ⅰ 满足下列条件: 准则
(1) yn ≤ xn ≤ zn (2) lim yn = a,
n→∞
(n = 1,2,3⋯ )
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r b) 一年结算 次, t年共结算 次, 每期利率为 ,则t年后的本利 一年结算n次 年共结算 年共结算nt次 则 年后的本利 n r nt 和为 A t= A0(1+ ) . n ~ A t 为b)中结果 At在n → ∞时的 c)计算连续复利时 t年后的本利和 计算连续复利时, 计算连续复利时 年后的本利和 中结果 极限 r nt ~ A t = lim A t = lim A 0 (1 + ) n→∞ n→ ∞ n n rt r = A 0 lim (1 + ) r = A 0ert n→∞ n
取 N = max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立 上两式同时成立,
即 a − ε < yn < a + ε , a − ε < zn < a + ε ,
当 n > N时, 恒有
a − ε < y n ≤ xn ≤ z n < a + ε ,
即 xn − a < ε 成立, ∴ lim x n = a.
显然 xn +1 > xn , ∴ {x n } 是单调递增的 ;
xn < 1 + 1 +
1 1 1 1 1 +⋯+ < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 = 3 − n −1 < 3, 2 2! n! 2 2
n→∞
∴ {xn } 是有界的 ; ∴ lim x n 存在.
1 ) 记为 lim(1+ )n = e (e = 2.71828⋯ n→∞ n
n→∞
1 1+ n n 1 = 1, = lim n 2 + 1 n→∞ 1 + 1 n2
= lim
1
n→∞
lim (
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 n +n
2
) = 1.
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例
证明 lim sin x = 0, lim cos x = 1.
x →0 x →0
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2.单调有界准则 单调有界准则 如果数列 xn满足条件 x1 ≤ x 2 ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ ,
x
D
A
作单位圆的切线 ，得∆ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x , ∆OAB的高为 BD , 的圆心角为 的高为
于是有 sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC,
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∴ sin x < x < tan x, 即 cos x <
上式对于 −
sin x < 1, x
π π < x < 0也成立. 当 0 < x < 时, 2 2
类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、 类似于连续复利问题的数学模型 在研究人口增长、林木生长、 在研究人口增长 设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义 具有重要的实际意义. 设备折旧等问题时都会遇到 具有重要的实际意义
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−1 1 − x −1 1 1 −x ) ] = lim (1 + 原式 = lim [(1 + ) = . x→∞ x→ ∞ e −x −x
例8 求 lim (
x→ ∞
3 + x 2x ) . 2+ x
解
1 x+ 2 2 1 −4 ) ] (1 + ) = e2 . 原式 = lim [(1 + x→ ∞ x+2 x+ 2
n→∞
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上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。
0 如果当x∈Uδ (x0 )(或x > M)时,有 (1) g(x) ≤ f (x) ≤ h(x),
(2) lim g(x) = A,
x→x0 (x→∞)
x→x0 (x→∞)
lim h(x) = A,
单调增加 单调减少 有界数列
单调数列
x1 ≥ x 2 ⋯ ≥ xn ≥ xn +1 ≥ ⋯ ,
| x n |≤ M(n = 1,2,⋯)
准则Ⅱ 准则Ⅱ
单调有界数列必有极限. 单调有界数列必有极限.
几何解释: 几何解释
x1
x 2 x 3 x n x n +1
A M
x
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例2 证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 (n重根式 )的极限存在 . 证
1 n lim(1+ ) = e n→∞ n
1 设 x n = (1 + )n n n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)⋯ (n − n + 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2 +⋯ + ⋅ n 1! n 2! n! n n
= 1+1+
1 1 1 1 2 n−1 (1 − ) + ⋯ + (1 − )(1 − )⋯ (1 − ). 2! n n! n n n
当 0 < sin x <| x |
x x 2 x2 < 2( ) = , 0 < 1 − cos x = 2 sin 2 2 2 ∴ lim sin x = 0
2
x→ 0 x→ 0
lim (1 − cos x ) = 0
x→0
∴ lim cos x = 1,
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
∴lim
n→∞
lim zn = a,
n→∞
x 的极限存在, 那末数列 n 的极限存在, 且lim xn = a .
证
∵ y n → a, z n → a ,
∀ ε > 0, ∃N1 > 0, N 2 > 0, 使得
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当 n > N1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
显然 xn +1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k +1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,