一元二次方程的实际应用精讲精练(含答案)-
(2016)一元二次方程应用题
一元二次方程应题精讲精练1．（2014•衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．2．（2014•咸宁）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．3，某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?4,农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．5．（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？6．（2014•南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元,（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x7，参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?8初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?作业1．（2015•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=35002．（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5 3．（2015•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% 4．（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．5.（2015•十堰）已知关于x 的一元二次方程22(23)20x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12x x 、，且满足221212x x 31|x x |+=+，求实数m 的值．6．（8分） 如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m ．①鸡场的面积能达到150m 2吗？②鸡场的面积能达到180m 2吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．7．（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？8．（2014•淮安）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．。
人教版九年级上册数学：《解一元二次方程》精讲精练(含答案)
一、基础知识（一）韦达定理对于一元二次方程，当鉴别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥ 0 时，则两根的关系为：；，根与系数的这类关系又称为韦达定理。
分析：它的逆定理也是建立的，即当，时，那么则是的两根。
二、重难点分析本课教课要点：韦达定理应用一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为宽泛，在中学数学中据有深重要的地位，也是数学学习中的要点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还经常要求同学们熟记一元二次方程根的鉴别式存在的三种状况，以及应用求根公式求出方程的两个根，从而分解因式，即。
此题教课难点：韦达定理逆定理依据韦达定理逆定理推测推测一元二次方程的系数，是学习难点，需要在学习过程中，依据，，判断则是的两根。
典例精析：例 1．已知对于的方程（1）有两个不相等的实数根，且对于的方程（ 2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？在同时知足方程（1），（ 2）条件的的取值范围中挑选切合条件的的整数值。
【答案】解：∵方程（ 1）有两个不相等的实数根，【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系例 2．不解方程，鉴别方程两根的符号。
【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系三、感悟中考1．（ 2014 年甘肃白银）已知、是方程的两个实数根，求的值。
【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系2．（ 2014 年黑龙江大庆）已知双方程和起码有一个同样的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
【答案】解：设双方程的同样根为，依据根的意义，有【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系四、专项训练。
（一）基础练习1. 假如对于的方程的两根之差为2，那么。
2．已知对于的一元二次方程两根互为倒数，则。
【答案】2【分析】3．已知对于的方程的两根为，且，则。
4．已知是方程的两个根，那么：；；。
一元二次方程专题讲解,知识点归纳,典型例题精讲精练
第二章 一元二次方程专题1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如02=++c bx ax ，（0≠a ）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程02=++c bx ax 才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【例题精选】例1 方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．5、3、﹣2B ．5、﹣3、﹣2C ．5、3、2D ．5、﹣3、2【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【解答】解：5x 2﹣2＝﹣3x 整理得：5x 2+3x ﹣2＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣2．故选：A ．例2（2019秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝B．ax2+c＝0C．a2x﹣3x＝x（1﹣x）D．x（x2﹣1）＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．例3 （2019秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1B．2C．3D．﹣2【分析】将x＝1代入方程可得关于c的方程，解之可得．【解答】解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．【随堂练习】1．（2021•潜江模拟）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1B．2x2﹣y+1＝0C．x2+2x＝0D．x2﹣＝0【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2020秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0B．a≠1C．a＞1D．a≤2【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得a≠1．故选：B．3．（2021•武汉模拟）方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和2B．3和﹣2C．3和﹣1D．3和1【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣2，故选：B．2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.【例题精选】例1（2020•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；例2（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．2．（2020秋•市中区期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，故选：C．3 配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例题精选】例1（2020•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2‒6x＝8，x2‒6x+9＝17，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．例2（2019秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【随堂练习】1．（2021•泸县模拟）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2【解答】解：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．故选：D．2．（2020秋•郁南县期末）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．3．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．4．（2020秋•费县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝11C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝11【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．4 公式法1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.【例题精选】例1（2019秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A．B．C．D．【分析】根据求根公式即可求出答案．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．例2（2019秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y＝﹣2或y＝；【随堂练习】1．（2020秋•北海期末）用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．（2020秋•普宁市期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．3．（2020秋•市北区期末）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝＝，所以x1＝，x2＝．4．（2021春•三水区校级月考）解方程：2x2﹣10x＝3．【解答】解：2x2﹣10x﹣3＝0，△＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）＝124，x＝＝，所以x1＝，x2＝．5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【例题精选】例1 （2019春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．例2（2019秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）【分析】（1）先写出a，b，c的值，再计算△，然后用公式法求解即可；（2）先将原方程右边的移到左边，然后利用因式分解法进行分解即可．【解答】解：（1）∵x2+x﹣3＝0∴a＝1，b＝1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0∴x＝＝∴x1＝，x2＝．（2）∵（2x+1）2＝3（2x+1）∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0∴（2x+1）（2x﹣2）＝0∴2x+1＝0或2x﹣2＝0∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，属于基本计算能力的考查，难度不大．【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，故选：B．2．（2020秋•南充期末）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（）A．1B．2C．1和2D．﹣1和﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选：C．3．（2020秋•鼓楼区期末）方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝0，x2＝1【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．4．（2020秋•濮阳期末）方程x（x+3）＝0的解是（）A．x1＝x2＝﹣3B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3，故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，﹣x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：B．2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；故选：B．3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5B．a≥1C．a＞1且a≠5D．a≥1且a≠5【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，解得：a≥1且a≠5，故选：D．二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，∴3x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，∴a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴原式＝4﹣2＝2．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵m是方程的一个实数根，∴m2+（m+3）m+m+1＝0．整理得：2m2+4m+1＝0解得：m＝．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；分解因式得：x（3x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝；（2）（x﹣1）2＝4；开方得：x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2+2x﹣5＝0，配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝2.5；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15方程整理得：x2+x﹣3＝0，a＝1，b＝1，c＝﹣3∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，∴x＝；解得：x1＝，x2＝．6 根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【例题精选】例 1 （2020•鼓楼区一模）已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2＝________，x 1x 2＝__________．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x 1+x 2和x 1x 2的值．【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣＝﹣2，x 1x 2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．例2（2020•泰兴市一模）一元二次方程x 2﹣4x +2＝0根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个正根C ．有一个正根，一个负根D ．有两个负根【分析】先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容得出即可．【解答】解：x 2﹣4x +2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x 1+x 2＝4＞0，x 1•x 2＝2＞0，∴有两个正根，故选：B ．【随堂练习】1．（2020秋•鄂州期末）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020秋•遂宁期末）若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1•x2的值等于（）A．1B．C．D．【解答】解：方程化为4x2﹣5x+1＝0，根据题意得x1•x2＝．故选：B．3．（2020秋•东台市期末）方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（）A．﹣6B．5C．﹣5D．1【解答】解：设方程的两根是x1、x2，那么有x1+x2＝﹣＝﹣（﹣5）＝5．故选：B．7增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) 【例题精选】例1 （2020•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：（1﹣x ）2＝0.25，解得：x ＝0.5＝50%或x ＝1.5（舍去）答：该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．例2（2019秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a %后，售价为64元，则a 的值为（ ）A ．10B ．20C ．23D ．36【分析】可先用x 表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于x 的方程．【解答】解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a %＝100（1﹣a %）；当药品第二次降价x 后，其售价为100（1﹣a %）2．∴100（1﹣a %）2＝64．解得：a ＝20或a ＝﹣180（舍去），故选：B ．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于64即可．【随堂练习】1．（2021•长丰县模拟）一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝100B．60（1+2x）＝100C．100（1﹣x）2＝60D．100（1﹣2x）＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得100（1﹣x）2＝60．故选：C．2．（2020秋•孟津县期末）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48B．36（1+x）2＝48C．36（1﹣x）2＝48﹣36D．48（1﹣x）2＝36【解答】解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：B．3．（2020秋•金台区期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．8、利润问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数【例题精选】例1 （2020•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．例2 （2019秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）可直接根据每件的利润×销售量＝总利润，求出结果；（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．答：商场每天销售这种衬衫可以盈利1008元．（2）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元，根据题意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x1＝10，x2＝20，答：每件衬衫降价10元或20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意找出题中的等量关系每件的利润×销售量＝总利润．【随堂练习】1．（2020秋•福州期末）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680【解答】解：设售价应涨价x元，则：（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680，故选：A．2．（2020秋•宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．3．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．【解答】解：由题意可得，（40﹣x）（20+2x）＝1250，故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．4．（2021春•长兴县月考）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为80元，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣的售价应为多少元？【解答】解：设每件衬衣降价x元，则每件衬衣的售价为（80+50﹣x）元，每件衬衣盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（30+）＝（30+2x）件，依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，又∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝25，∴80+50﹣x＝105（元）．答：每件衬衣的售价应为105元．9 其他问题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).【例题精选】例1 （2019秋•斗门区期末）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，依题意，得：x（16﹣2x）＝30，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，16﹣2x＝10＞8，不合题意，舍去；当x＝5时，16﹣2x＝6．答：生物园的长为6米，宽为5米．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，依题意，得：y（16﹣2y）＝35，整理，得：2y2﹣16y+35＝0．∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0，∴原方程无解，∴不能围成面积为35平方米的生物园．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例2 （2020•德阳模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．【随堂练习】1．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000B．（50+2x）（40+2x）＝3000C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000D．（50+x）（40+x）＝3000【解答】解：设边框的宽为xcm，所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，故选：B．2．（2020秋•大余县期末）如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（）A．5米B．1米C．2米D．3米【解答】解：设该小道的宽为x米，依题意得（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．即：该小道的宽为1米．故选：B．3．（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故选：D．综合练习一．解答题（共7小题）1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，依题意，得：（1+x）2＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400（舍去），a2＝40答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，解得：x＝10，或x＝190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．整理，得3x2﹣85x+350＝0．解得，x1＝5，x2＝．∵＞30（不合题意，舍去），∴x＝5．答：小道进出口的宽度应为5米．5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式．（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），＝﹣3x2+30x；（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，解得x1＝7，x2＝3，当x＝7时30﹣3x＝9＜15当x＝3时30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）答：AB为7m．7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）（1）EF＝（30﹣2x）cm，GH＝（20﹣x）cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．。
人教版数学一元二次方程及其应用精讲精练
人教版数学一元二次方程及其应用精讲精练一、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．例1．下列是一元二次方程的有（ ）个． ①240x =；②()200++=≠ax bx c a ；③223(1)32x x x -=+；④2120x -=． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．例2．关于x 的一元二次方程21x =的根是（ ）A ．1x =B ．11x =，21x =-C ．1x =-D ．121x x ==三、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．注意： △≥0⇔方程有实数根.例3．一元二次方程2310x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a cx x a b x x 2121=⋅-=+，．例4．方程22x －5x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞258B ．m ＜258C ．m ≤258D ．m ≥2581．方程()50x x -=的根是（ ）A ．5B ．-5，5C ．0，-5D ．0，52．若0x =是一元二次方程2240x b ++-=的一个根，则b 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．43．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为（ ）A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2 500050001500017500x x ++++=4．判断关于x 的方程()2110kx k x -++=（k 是常数，1k <）的根的情况（ ）A ．存在一个k ，使得方程只有一个实数根B ．无实数根C ．一定有两个不相等的实数根D ．一定有两个相等的实数根5．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()2601285x +=B ．()2601285x -=C ．()()2601601285x x +++=D ．()()260601601285x x ++++=6．已知关于x 的一元二次方程230x x c +-=没有实数根，即实数c 的取值范围是________．7．已知关于x的一元二次方程2(21)20+++-=有两个不相等的实ax a x a数根，则a的取值范围是______．8．解下列方程：（1）2x2+7x+3=0（用配方法）．（2）5（x+3）2=x2﹣9．10．某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？（2）若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？。
一元二次方程综合运用(含答案解析)
一元二次方程综合运用1.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若满足，求a 的值. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-2（a-1）x+a 2-a-2=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（a-1）]2-4（a 2-a-2）＞0，解得：a ＜3，∵a 为正整数，∴a=1，2；（2）∵x 1+x 2=2（a-1），x 1x 2=a 2-a-2，∵x 12+x 22-x 1x 2=16，∴（x 1+x 2）2-x 1x 2=16，∴[-2（a-1）]2-3（a 2-a-2）=16，解得：a 1=-1，a 2=6，∵a ＜3，∴a=-1．2.已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值. 解：（1）证明：∵，∴，.∴无论取何值此方程总有两个实数根.（2）由（1）知：原方程可化为，∴，， 02)1(222=--+--a a x a x 21,x x 21,x x 16-212221=+x x x x x (3)(2)(1)x x p p --=+p 1x 2x 222121231x x x x p +-=+p (3)(2)(1)x x p p --=+22560x x p p -+--=22(5)4(6)p p ∆=----22252444441p p p p =-++=++22(21)0p =+≥p 22560x x p p -+--=125x x +=2126x x p p =--又，∴，∴， ，∴，∴.3.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1•x 2满足3x 1=|x 2|+2，求m 的值．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m ≥0，解得：m ≤5，∴m 的取值范围为m ≤5．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=6①，x 1•x 2=m+4②．∵3x 1=|x 2|+2，当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③，联立①③解得：x 1=2，x 2=4，∴8=m+4，m=4；当x 2＜0时，有3x 1=﹣x 2+2④，联立①④解得：x 1=﹣2，x 2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m 的值为4．4.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2， 222121231x x x x p +-=+221212()331x x x x p +-=+22253(6)31p p p ---=+2225183331p p p -++=+36p =-2p =-即4=8（m﹣1），解得：m=．∵m=＜2，∴符合条件的m的值为．5.已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，△（m﹣1）2≥0，△△=（m﹣1）2+8＞0，△原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，△x1+x2=m﹣3 x1•x2=﹣m△AB=|x1﹣x2，△AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，△当m=1时，AB2有最小值8，△AB有最小值，即AB==26.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．解：（1）①方程有两个不相等的实数根，①①=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，解得：k＞﹣；（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，①x1+x2=﹣3，x1x2=1，①x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．7.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．8.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．解：（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴+=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10， ∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10，∴m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1或m=310.关于x 的一元二次方程01)12(22=++++k x k x 有两个不等实根1x 、2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x 、2x 满足2121x x x x ⋅-=+，求k 的值． 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴034)1(4)12(22>-=+-+=∆k k k ， 解得：43>k ． （2）由根与系数的关系，得)12(21+-=+k x x ，1221+=⋅k x x ． ∵2121x x x x ⋅-=+，∴)1()12(2+-=+-k k ，解得：0=k 或2=k ， 又∵43>k ， ∴2=k ．。
一元二次方程根与系数关系及应用题 (讲义及答案)
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）➢ 课前预习1. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，请你用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式．2. 已知x 1+x 2=5，x 1·x 2=6，请利用完全平方公式及分式运算知识求解下列各式的值．（1）x 1-x 2； （2）1211x x +；（3）x 12-x 22．➢ 知识点睛1. 从求根公式中我们发现x 1+x 2=________，x 1·x 2=__________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是____________． 2. 一元二次方程应用题的常见类型有：①__________；②__________；③_________；④_________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．双循环制 例如：每两队之间都进行两场比赛 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3. 应用题的处理思路：①理解题意，梳理信息； ②建立数学模型； ③求解验证，回归实际．➢ 精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x =4的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22.若12x =x 2+ax +1=0的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程x 2+2x +a -1=0有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +a =0的两实数根x 1，x 2满足x 1·x 2+x 1+x 2＞0，则a 的取值范围为__________．5. 若x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）x 12+x 22；解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____， ∵Δ=b 2-4ac= =______0∴x 1+x 2= ，x 1·x 2= ．（1）原式= （2）原式= = = = =（3）|x 1-x 2|．6.已知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且2212121 8x x x x+=-，求实数m的值．7.某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289(1-x)2=256 B．256(1-x)2=289C．289(1-2x)=256D．256(1-2x)=2898.为了做好“精准扶贫”，某市2016年投入资金1 200万元用于异地安置，此后投入资金逐年增加，2016年到2018年，该市投入异地安置资金的总金额达5 700万元．设该市投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．1 200(1+x)2=5 700B．1 200(1+2x)=5 700C．1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 700D．1 200+1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 7009.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________个人．10.2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．1(1)3802x x-=B．x(x-1)=380C．1(1)3802x x+=D．x(x+1)=38011.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人12.如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32=32C．(10-x)(6-x)=32 D．10×6-4x213.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？14.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_______元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】解：15. 某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？ 【分析】16. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x 元时宾馆当天的利润为10 890元，则有（ ）A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【参考答案】 ➢ 课前预习1. 有实数根的条件：b 2-4ac ≥0；求根公式：2b x a-±=（b 2-4ac ≥0）2. （1）原式=±1；（2）原式=56；（3）原式=±5．➢ 知识点睛1. b a -；ca；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理；Δ≥02. ①增长率型；②双循环制；③面积型；④经济型➢ 精讲精练1. D2.2；-4 3. 1＜a ≤2 4. -2＜a ≤15. 解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3， ∵Δ=b 2-4ac =42-4×2×(-3) =40 ＞0∴x 1+x 2=-2，1232x x ⋅=-．1212123243x xx x +=-=-=（）原式（2）7；（36. （1）78m >且m ≠1； （2）m =5． 7. A 8. D9.1010.B11.C12.B13.水渠应挖1 m宽．14.（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．15.每件售价定为12元时，才能使每天的利润达到640元．16.C。
2019-2020学年中考复习：人教版一元二次方程专题精讲精练(含答案解析)
2019-2020学年中考复习：一元二次方程专题精讲精练（含答案解析）1如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.【答案】解: 由已知得，正五边形周长为5（217x +）cm ，正六边形周长为6（22x x +）cm .…2分因为正五边形和正六边形的周长相等，所以22517=2x x x ++（）6（）. ………………3分 整理得212850x x +-=, 配方得2+6=121x （），解得12=5=x x ，-17(舍去).………6分 故正五边形的周长为25517=⨯+（）210(cm ). …………………………………………7分 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm .答：这两段铁丝的总长为420cm . ……………………………………………8分2. 关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2。
（1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。
【答案】解：∵（1）方程有实数根 ∴⊿=22-4（k +1）≥0 解得 k ≤0K 的取值范围是k ≤0（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=-2, x 1x 2=k +1x 1+x 2-x 1x 2=-2,+ k +1由已知，得 -2,+ k +1＜-1 解得 k ＞-2 又由（1）k ≤0∴ -2＜k ≤0∵ k 为整数 ∴k 的值为-1和0.3. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？ 小明的解法如下：解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有()3x +株，平均单株盈利为()30.5x -元，由题意，得()()330.510x x +-=.化简，整理，的2320x x -+=. 解这个方程，得121, 2.x x ==答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系： 请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。
北师大版九年级数学上册专题训练题及答案(五) 一元二次方程的实际应用
专题训练(五) 一元二次方程的实际应用类型1 增长率问题1．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为( )A．x2＝21% B．(x－1)2＝21%C．(1＋x)2＝21% D．(1－x)2＝21%2．(珠海中考)白溪镇有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，达到82.8公顷．(1)求该镇至绿地面积的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，该镇绿地面积能否达到100公顷？A．21 cm2 B．16 cm2C．24 cm2 D．9 cm2A．5米 B．3米C．2米 D．2米或5米5．如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2 km2，则x的值为________．6．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?类型3 销售利润问题7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为________________________________________________________________________．9．(淮安中考)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是____________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？10．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？参考答案1．C2.(1)设至绿地面积的年平均增长率为x ，依题意有57.5(x ＋1)2＝82.8.解得x 1＝－2.2(舍去)，x 2＝0.2＝20%.3.B4.C5.4或56.设矩形温室的宽为，根据题意，得(2.7.(40－x)(20＋2x)＝1 2008.39.(1)(100＋200x)(2)设这种水果每斤的售价降价x 元，则(2－x)(100＋200x)＝300.解得x 1＝1，x 2＝12. 当x ＝1时，每天的销量为300斤；当x ＝12时，每天的销量为200斤． 因为为保证每天至少售出260斤，所以x 2＝12不合题意，应舍去． 此时每斤的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．10.(1)设学生纪念品的成本为x 元，根据题意，得50x ＋10(x ＋8)＝440.解得x ＝6.∴x ＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x －6)(400＋100x)＋(4－6)[1 200－400－(400＋100x)]＝2 500. 整理，得x 2－2x ＋1＝0.解得x 1＝x 2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．不用注册，！。
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5.实际问题与一元二次方程[学习目标]1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.[预习导引]在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?与同伴交流自己的想法.[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.[知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点:一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.如:一个三位数abc可表示为连续两个偶数可表示为连续两个整数可表示为这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公式表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 nn+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n)2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相(4)解:就求出所列方程的解. (5)答:书写答案,的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.3.如何探求应用问题中的等量关系.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢?(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系.②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实际经验中发现等量关系.[名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。
化简,整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为248621=⨯⨯.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x 2+3x －4=0 解这个方程得:x 1=1,x 2=－4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.例3.如图所示,△ABC 中,∠B=90°,点P 从 A 点开始沿AB 边向点B 以2厘米/秒的速度移动,点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动.(1)如果P,Q 分别从A,B 同时出发,经几秒钟,使△PDQ 的面积等于8厘米2?(2)如果P,Q,分别从A,B 同时出发,并且P 到B 点又继续在BC 边上前进,Q 点到达C 点后又继续在CA 边上前进,经过几秒钟,使△PCQ 的面积等于12.6厘米2?[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力.[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.解(1)如图所示,设经过x 秒,使得△PBQ 的面积为8厘米2,则PB 的长度为(6－x)cm,BQ 的长度为2xcm,根据题意可列方程得:82)6(21=⋅-x x ， 解之得:x 1=2,x 2=4 经过 2秒,点P 到离B 点4cm 处,点Q 到离B 点的4cm 处；经过4秒，点P 距离B 点2cm 处,点Q 到距离B 点8cm 处.即经过2秒或4秒,△PBQ 面积为8cm 2. (2)设经过y 秒,点P 移到BC 上,且有CP=(14－y) cm,点Q 移到CA 上,且有CQ=(2y －8) cm,作PD ⊥AC 于D.(如图) AC=10862222=+=+BC AB 由△CPD ∽△CAB 得10614==-AC AB y PD ∴PD=10)14(6y -. 根据题意可列方程：6.1210)14(6)82(21=-⋅-y y 解这个方程得：y 1=7,y 2=11当y=7时，点P 在BC 上距C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 面积为12.62。
当y=11时，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14>10，点Q 已不在CA 上，即此解不存在 ∴y=7 即经过7秒钟，△PCQ 的面积为12.6厘米2.[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?[命题意图]本例考查经营销售问题.[解析]设每玩具涨价x 元,则售价为(40－x)元,每一只玩具的利润为(40+x －30)元,销售的件数为(600－10x)件,根据总利润为12000元列出方程.[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量..解:设每件玩具涨价x 元，根据题意可列方程：(40+x －30)(600－10x)=12000解之，得：x 1=20,x 2=30 检验知x 1=20,x 2=30均符合题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。
[中考链接]例5.某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2010年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售 1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2013年三年合计纯收入达57000元,求2012年,2013年平均每年增长率是多少?[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)10100101)812111098131298(101_=⨯=+++++++++=x (千克)∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克) (2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800－7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000解得:x 1=－3.5(不合题意,应舍去)x 2=0.5=50%答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.[达标训练]一、选择题：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为 4.05元,则平均每次调价的百分率为A.9%B.10%C.11%D.12%2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出41,再用水加满,此时容器内酒精浓度为A.15%B.12.5%C.37.5%D.25%3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则 A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10004.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为cm2.A.84 B.109 C.144 D.420 5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为 A.28 B.82 C.28或82 D.不确定6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有人.A.11B.12C.13D.147.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是A.19%B.20%C.21%D.25%二、填空题：8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为.三、解答题：11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.14.我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2010年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数,到2013年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.15.生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170－2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?16.已知直角三角形周长为62 ,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按100A交费.(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A 度,则超过的部份应交电费多少元(用A表示)(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:月份用电量(度) 交电费总数(元)3 80 254 45 10值吗?试试看.19.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC吗?试试看.20.如图所示,客轮沿折线A－－－B－－－C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A－－B－C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E点A.在线段AB上B.在线段BC上C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350－10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?22.汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?[达标训练]答案提示1．B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.－11,－9或9,11 9.5 10.1.21a 元11.解:如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x 米,根据题意可列方程(162－2x)(64－4x)=9600, 整理为:x 2－97x+96=0 解之:x 1=1 x 2=96 . 而x 2=96不符合题意 ∴ x=1答:路宽为1米.12.解:2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2(舍去1+x=－1.2)∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元) 答:2001年预计经营总收入为1800万元.13.解:设垂直于墙的边长为x 米,则平行于墙的长为(91+2－2x)米,根据题意,得x(91+2－2x)=1080解之:x 1=24,x 2=22.5 经检验均符合题意.当x 1=24时,91+2－2x=45;当x 2=22.5时,91+2－2x=48米答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米. 14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x 平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, ∴x+26=191. 故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x 1=0.1 x 2=－3.1(不符合题意,应舍去)故平均每年增长的百分数为10%15.解:依据题意有(170－2x)x －(500+30x)=1750, 解之得x 1=25,x 2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.16.解:设直角边分别为a,b,根据题意有:a+b=6①,422=+b a ②,①2－②2得:2ab=1.∴2121=ab .答:此三角形面积为21.17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%).解得x 1=0.2,x 2=－2.2(不合题意应舍去). 答:这个百分数为20%. 18.解(1))90(100A A- (2)根据题意有2510)80(100=+-A A, 解之:A 1=50,A 2=30(不符合题意应舍去).故电厂规定的A 值为50度. 19.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC, ∴∠DBC=36°,在△CBD 与△CAB 中,∠C=∠C=72°,∠CBD=∠A=36° ∴△CBD ∽△CAB ∴BCCDAC CB =. ∴BC 2=AB·CD. 又∵BC=BD=AD, ∴AD 2=AC·CD,设AD=x, 则CD=(4－x) ∴x 2=4(4－x) 即x 2+4x －16=0. 解之: x 1=－2+52 5222--=x (不合题意应舍去)∴BC 的长为(252-)cm.20.(1)B (2)货轮从出发到两船相遇共航行了)63100200(-海里 提示:设货船从出发到两船相遇共航行了x 海里,过D 作DF ⊥CB 于F,连结DE,则DE=x AB+BE=2x ∵D 是AC 中点 ∴DF=100 ,EF=300－2x, ∴ x 2=1002+(300－2x)2. 21.解:设每件商品应售x 元,才能使商店赚400元, 根据题意,得(x －21)(350－10x)=400 解之得:x 1=25 x 2=31(不合题意应舍去). 当x 1=25时,350－10x=350－250=100.答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.22.解 1)设公司将每辆汽车日租金提高x 个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120－6x)=19380 即x 2－4x+3=0 解之得x 1=1 x 2=3 检验知x 1=1 x 2=3均符合题意.故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x 个10元,则公司每天出租的汽车为(120－6x)辆,则每天的租金总收入为(160+10x)(120－6x)=－60(x+16)(x －20)=－60(x 2－4x －320)=－60[x 2－4x+4－324] =－60(x －2)2+19440∴当x=2时,此时有最大值19440即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.。