2020版 课后限时集训25 平面向量的基本定理及坐标表示
考点25 平面向量基本定理及坐标表示-2020年领军高考数学(理)一轮必刷题(解析版)
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，()()()2sin 2sin cos 2tan 1221432sin cos sin cos tan 121x x x x x x x x x π⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭====----，故答案为32．10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：2226810+=+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ， 则()()32423332x x y y -=---=-⎧⎪-⎨-⎪⎪⎪⎩，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影． 【答案】（1）()16,16--；（2）2- 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影4222⋅-==-a b b ． 17、已知向量2222⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，m ，()sin ,cos x x =n ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n 的夹角为3π，求sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即22sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =． （2）由题意可得1=m ，1=n ，22sin cos 22x x ⋅=-m n ， 而由m ，n 的夹角为3π可得1cos 32π⋅==m m n n ，因此有()21sin cos 2x x -=，则1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？【答案】（1）2133OP OA OB =+；（2）1013λ=． 【解析】（1）由题意得13AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴2133OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。
平面向量基本定理及坐标表示
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
[熟记常用结论] 1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐 标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3. 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2 －y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx21＝yy12.( × ) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )
题组二 教材改编 2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x，6－y)， 即14＝＝65－－yx，， 解得yx＝＝51.，
边上一点，B→C＝3E→C，F 为 AE 的中点，则B→F＝( )
A.23A→B－13A→D C．－23A→B＋13A→D
B.13A→B－23A→D D．－13A→B＋23A→D
解析：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，
2020年高考数学专题复习平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ＝(－1，2)，b ＝(1，0)，则向量3a＋b 等于( )A ．(－2，6)B ．(－2，－6)C ．(2，6)D ．(2，－6)解析：选A.3a ＋b ＝3(－1，2)＋(1，0)＝(3×(－1)＋1，3×2＋0)＝(－2，6)，故选A.(2019·金华模拟)如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D.选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ，无解；选项D ，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．(2017·高考山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3. 答案：－3在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN →＝3NC →，所以AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，又因为AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD →－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB→＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →.解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2019·温州七校联考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°.若向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b B ．－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22b D ．2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22b 解析：选B. 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1，0)，B (0，0)，C (0，1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫22，1＋22，所以AB →＝(－1，0)，AC →＝(－1，1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22，则AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b ，故选B.2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值是________．解析：法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝13－16＝－2.法二：如图，AD →＝2AE →，EF →＝mAB →＋nAD →，所以AF →＝AE →＋EF →＝mAB →＋(2n ＋1)AE →，因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以mn＝－2.答案：－2平面向量的坐标运算已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( )A ．(－2，7)B ．(－6，21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)． 2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).因为AC →＝λAM →＋μBN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：85平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题.主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题.角度一 利用两向量共线求参数(2019·浙江省名校联考)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值是( )A ．2 2B ．3 2C ．32＋2D ．22＋3【解析】 已知a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a ∥b ，则m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝m ＋n m ＋2m ＋2n n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22，当且仅当n m ＝2mn时取等号，故1m ＋2n的最小值是3＋22，故选D.【答案】 D角度二 利用两向量共线求向量坐标已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.【解析】 由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7).【答案】 (4，7)角度三 三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2).因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充分必要条件.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式.易错防范(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的.(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.(3)两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.[基础达标]1.已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .2.设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B.因为a与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.3.已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD →＝( ) A ．(1，3) B ．(3，3) C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6).由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3).4.(2019·温州瑞安七中高考模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．－8B ．－4C ．4D ．2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c ＝(－1，－3)，a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)；因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 解得λ＝－2，μ＝－12，故λμ＝4.5.已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA→＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.6.(2019·金华十校联考)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A ．3－1B ．11－1C ．3＋1D ．11＋1解析：选A.设点P (x ，y )，动点P 满足|CP →|＝1可得x 2＋(y ＋2)2＝1. 根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝（x ＋2）2＋（y ＋1）2，表示点P (x ，y )与点Q (－2，－1)之间的距离.显然点Q 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得QC ＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为QC－1＝3－1，故选A.7.已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cosθ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π48.设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________.解析：易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤18，即ab 的最大值为18.答案：189.(2019·台州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )且a ∥b ，则tan A ＝________.解析：a ∥b ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin Acos A＝ 2. 答案： 210.如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且AD →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.解析：因为∠DEB ＝∠ABC ＝45°， 所以AB ∥DE ，过D 作AB ，AC 的垂线DM ，DN ， 则AN ＝DM ＝BM ＝BD ·sin 45°＝2， 所以DN ＝AM ＝AB ＋BM ＝2＋2， 所以AD →＝AM →＋AN →＝2＋22AB →＋22AC →，所以λ＝2＋22，μ＝22，所以λ＋μ＝1＋ 2. 答案：1＋ 211.已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？解：由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ， CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.12.(2019·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，且|DM |＝1，|DN |＝2，∠MDN ＝π3.(1)试用向量AB →，AD →表示向量DM →，DN →； (2)求|AB →|，|AD →|；(3)设O 为△ADM 的重心(三角形三条中线的交点)，若AO →＝xAD →＋yAM →，求x ，y 的值. 解：(1)如图所示，DM →＝DA →＋AM →＝12AB →－AD →； DN →＝DC →＋CN →＝AB →＋12CB →＝AB →－12AD →.(2)由(1)知AD →＝23DN →－43DM →，AB →＝43DN →－23DM →，所以|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23DN →－43DM →2＝43， |AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43DN →－23DM →2＝2313. (3)由重心性质知：AO →＋DO →＋MO →＝0，所以有：0＝xAD →＋yAM →＋OA →＝x (AO →－DO →)＋y (AO →－MO →)－AO →＝(x ＋y －1)AO →＋(－x )DO →＋(－y )MO →. 所以(x ＋y －1)∶(－x )∶(－y )＝1∶1∶1⇒x ＝y ＝13.[能力提升]1.(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P三点共线.所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5. 2.设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6，1]B ．[4，8]C ．(－∞，1]D ．[－1，6]解析：选A.由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos2α＋2sin α，又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos 2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m ≤2，将λ2＝(2m －2)2代入上式，得－2≤(2m －2)2－m ≤2，得14≤m ≤2，所以λm ＝2m －2m ＝2－2m∈[－6，1].3.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________________.解析：由题意得AB →＝(－3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案：m ≠544.(2019·浙江名校新高考研究联盟联考) 如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝12AB ＝1，F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ︵上变动，E 为圆弧DE︵与AB 的交点，若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________.解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34； 设P (cos α，sin α)(0°≤α≤60°)，因为AP →＝λED →＋μAF →，所以(cos α，sin α)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34.所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－12λ＋74μ，sin α＝32λ＋34μ，所以2λ－μ＝3sin α－cos α＝2sin(α－30°)， 因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1]5.(2019·嘉兴模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线. 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2).因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，且有公共点A ， 所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线. 6.已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1).(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值. 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m ).因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →. 所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.。
2020年高考数学一轮复习考点25平面向量基本定理及坐标表示必刷题理含解析
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则__________．【解析】因为向量，()cos ,1x =b ，∥a b ，，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则，据此可知：．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝PA →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．【解析】5AB =，∴与向量AB 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且，则点P 的坐标是____________．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故，设(),P x y ，则，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2）． 【解析】（1），．（2）向量a 在b 方向的投影．17、已知向量，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2，而由m ，n ，因此有，则．18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （13，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？【答案】（1）；（2【解析】（1）由题意得1AP AB =，∴，∴．（2）由题意知．∵AP AB λ=，∴，∴．∵OP AB ⊥，∴，∴，。
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC旳中点，已知AM =c， AN =d，试用c，d表达AB ，AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度，可换一 种角度，由 AB、AD表达 AM、AN ，进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程，经过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t旳取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应旳实数t;若不能，请阐明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第 二象限， 则 x＜0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
2020届高考数学一轮复习 第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
教师备用例题
例 3 [配合例 2 使用][2018·南 方形 ABCD 中,P 为 DC 边上的
教师备用例题
[解析] 以 A 为原点,分别以 AB 设正方形 ABCD 的边长为 2,则
谢谢
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)C [解析] (1)根据平面向量基本
课堂考点探究
[总结反思] (1)应用平面向量基 三角形法则进行向量的加、减
课堂考点探究
变式题 (1)[2018·南充三诊] 已 点 E,F 分别是 DC,BC 的中点
课堂考点探究
变式题 (1)[2018·南充三诊] 已 点 E,F 分别是 DC,BC 的中点
教师备用例题
【备选理由】 例1为平面向量 入参数,建立方程并结合基本不
教师备用例题
例 1 [配合例 1 使用] [2018·
教师备用例题
[解析] 如图,连接 AG.∵M,N 是△ABC 的重心,∴������������=13(������������+
教师备用例题
例 2 [配合例 1 使用] [2018· 已知平面直角坐标系内的两个
2.[教材改编] 已知向量 e1,e2 实数 x,y 满足
课前双基巩固
3.[教材改编] 已知 O 为坐标
2
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知向量
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:忽视平面向量基本定
课前双基巩固
5.给出下列三个向量: a= 1 , 3 ,b=(1,-3),c=(-2,6).从
课前双基巩固
课堂考点探究
变式题 (1)设向量������������=(1,4), ������������=(-3,4),������������=(1,0),则( )
2020版高考数学一轮复习课后限时集训25平面向量的基本定理及坐标表示理含解析新人教A版
课后限时集训(二十五) 平面向量的基本定理及坐标表示(建议用时：40分钟)A 组 基础达标一、选择题1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．]2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)A [∵3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．故选A.]3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D [由题意可知a 与b 不共线，即3m －2≠2m ，∴m ≠2.故选D.]4．(2018·东北三校二模)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，若(a －b )∥(2a ＋tb )，则t ＝( )A ．0B.12C ．－2 D ．－3C [由题意得a －b ＝(2，－1)，2a ＋tb ＝(2－t,2＋2t )．因为(a －b )∥(2a ＋tb )，所以2×(2＋2t )＝(－1)×(2－t )，解得t ＝－2，故选C.]5.(2019·成都诊断)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，＝x ＋OP → OA →y ，且＝2，则( )OB → BP → PA →A ．x ＝，y ＝B ．x ＝，y ＝23131323C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝14343414A [由题意知＝＋，且＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x ＝OP → OB → BP → BP → PA → OP → OB → 23BA → OB → 23OA → OB →23OA → 13OB → ，y ＝.]23136．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，AB →＝b ，则＝( )AC → A D →A ．a －b 12B.a －b 12C ．a ＋b 12D.a ＋b 12D [连接C D(图略)，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得C D∥AB 且＝＝a ，C D → 12AB → 12所以＝＋＝b ＋a .]A D → AC → C D →127．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝，|OC |＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )π4OC → OA → OB →A ．2 B.22C ．2 D ．42A [因为|OC |＝2，∠AOC ＝，所以C (，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝π422OC → OA → OB →22λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.]22二、填空题8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且＝2，点Q 是AC 的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则BP → PC → PA → PQ →＝________.BC →(－6,21) [＝－＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以＝2＝(－6,4)，＝＋AQ → PQ → PA → AC → AQ → PC → PA →＝(－2,7)，因为＝2，所以＝3＝(－6,21)．]AC → BP → PC → BC → PC →9．已知△ABC 和点M 满足＋＋＝0，若存在实数m 使得＋＝m 成立，则m ＝________.MA → MB → MC → AB → AC → AM →3 [由已知条件得＋＝－，M 为△ABC 的重心，∴＝(＋)，即＋＝3，则m ＝MB → MC → MA → AM → 13AB → AC → AB → AC → AM →3.]10．如图，已知▱ABC D 的边BC ，C D 的中点分别是K ，L ，且＝e 1，＝e 2，AK → AL →则＝________；＝________.(用e 1，e 2表示)．BC → C D →－e 1＋e 2 －e 1＋e 2 [设＝x ，＝y ，则＝x ，＝－y .23434323BC → C D → BK → 12D L →12由＋＝，＋＝，AB → BK → AK → A D → D L → AL →得Error!①＋②×(－2)，得x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－(e 1－2e 2)＝－e 1＋e 2，12232343所以＝－e 1＋e 2.BC →2343同理可得y ＝(－2e 1＋e 2)，23即＝－e 1＋e 2.]C D →4323B 组 能力提升1．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2B [以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，因为a ＝xe 1＋ye 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则Error!解得Error!故a ＝－2e 1＋e 2.]2．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段C D 上(与点C ，D 不重合)，BC → C D →若＝x ＋(1－x )，则x 的取值范围是( )AO → AB → AC →A. B.(0，12)(0，13)C. D.(－12，0)(－13，0)D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－BO → BC → 43AO → AB → BO → AB → BC → AB → AC →)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x )，且，不共线，于是有x ＝1－λ∈，AB → AB → AC → AO → AB → AC → AB → AC →(－13，0)即x 的取值范围是，选D.(－13，0)法二：∵＝x ＋－x ，∴－＝x (－)，即＝x ＝－3x ，∵O 在线段C D(不AO → AB → AC → AC → AO → AC → AB → AC → CO → CB → C D →含C ，D 两点)上，∴0＜－3x ＜1，∴－＜x ＜0.]133．已知A (－3,0)，B (0，)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，＝λ＋，3OC → OA → OB →则实数λ的值为________．1 [由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，OA → OB →3则＝(－3λ，)，OC →3由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，3－3λ即－＝－，所以λ＝1.]3333λ4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，OA → OB →2π3点C 在以O 为圆心的圆弧上运动．若＝x ＋y ，其中x ，y ∈R，则x ＋AB OC → OA → OB →y 的最大值为________．2 [以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所OA →示，则A (1,0)，B .(－12，32)设∠AOC ＝αα∈，[0，2π3]则C (cos α，sin α)．由＝x ＋y ，得Error!OC → OA → OB →所以x ＝cos α＋sin α，y ＝sin α，33233所以x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ，3(α＋π6)又α∈，[0，2π3]所以当α＝时，x ＋y 取得最大值2.]π3。
考点25 平面向量基本定理及坐标表示2020年领军高考数学(理)必刷题(原卷版)
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1．已知P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是A．(8, -6) B．(-8, -6) C．(-6, 8) D．(-6, -8)2．如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是A．B．C．D．3．△AB C中，点D在AB上，满足．若，则A．B．C．D．4．已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（）A．B．C．D．5．若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A．B．C．2 D．6．如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，是圆O的内接正三角形，当绕着圆心O旋转时，的最大值是（）A．B．C．D．8．已知中，，，若，则（）A．B．C．D．9．已知，点在线段上，且的最小值为1，则的最小值为( ) A．B．C．2 D．10．平行四边形中，是的中点，若，则( )A．B．2 C．D．11．设，向量，，且，则( )A．0 B．1 C．2 D．-212．在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A．B．C．D．13．若直线与函数，图像交于异于原点不同的两点，且点，若点满足，则( )A．B．2 C．4 D．614．在△中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．15．直角梯形中，，.若为边上的一个动点，且，则下列说法正确的是（）A．满足的点有且只有一个B．的最大值不存在C．的取值范围是D．满足的点有无数个16．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，且与的夹角为，，与的夹角为，若，则__________．17．在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF.设，则____________；＝____________.18．如图所示，在中，，是上的一点，若则，实数的值为________________．19．分别是的中线，若，且、的夹角为，则•=__________．20．已知正方形的边长为1，为面内一点，则的最小值为____________．21．在中，边上的中垂线分别交边于点;若，则______．22．已知，若，则的最小值为__________.23．已知正方形边长为，为边上一点，则的最小值为__________．24．若向量，，则的坐标是__________．25．已知向量，，．若，则________．。
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课后限时集训(二十五)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ，
1＝0无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1，
－2＝2λ无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1，
1＝－λ
无解；
选项D 中，e 1＋3e 2＝1
2(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，故选D.] 2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
B [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
2，μ＝－3
2，
∴c ＝12a －3
2b .]
3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →
＝b ，则BE →
等于( )
A ．b －1
2a B ．b ＋1
2a C ．a ＋1
2b D ．a －1
2b
A [BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .]
4．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)
D ．(－3，－4)
A [由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝1
2(－6,8)＝(－3,4)，故选A.]
5. (2019·开封模拟)已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →
同方向的单位向量是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35 A [AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB →
同方向的单位向量为AB →
|AB →|
＝⎝
⎛⎭⎪⎫3
5，－45，故选A.]
二、填空题
6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________． －2 [由题意得x 2－1×4＝0，解得x ＝±2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，此时a ，b 方向相同，不符合题意，舍去；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，此时a ，b 方向相反，符合题意．]
7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →
的坐标是________．
(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →
.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝7.
所以向量OB →
的坐标是(4,7)．]
8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 不能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．
m ＝5
4 [由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 不能构成三角形，则AB →，AC →共线，则－3×(1－m )＝1×(2－m )，解得m ＝5
4.]
三、解答题
9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →
，求点C 的坐标．
[解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →
＝(a －1，b －1)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →
.
∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC →＝2AB →
，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．
10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5
9，
n ＝89.
(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－16
13.
B 组 能力提升
1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →
＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →
等于( )
A ．(－2,7)
B ．(－6,21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
B [AQ →＝PQ →－P A →
＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →
＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →
＝(－6,21)．]
2．(2019·北京西城模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa
＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →
＝(6,2)，c ＝BC →
＝(－1，－3)．因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧
－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4，故选D.] 3．(2019·江南十校联考)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.
3±17
2 [a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)，∴a ＋c ＝(m ＋1，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)，
又(a ＋c )∥(a －b )，
∴(m ＋1)(m －5)＋m ＋3＝0，即m 2－3m －2＝0， 解之得m ＝
3±172.]
4．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →
(t ∈R )，问：
(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在第二、四象限角平分线上？ (2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
[解] (1)因为O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，所以OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝OA →
＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－2
3；若P 在第二、四象限角平分线上，则1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－1
2.
(2)OA →＝(1,2)，PB →
＝(3－3t,3－3t )，
若四边形OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →
， 即⎩⎪⎨⎪⎧
3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解． 所以四边形OABP 不可能为平行四边形．。