高等土力学-土的本构关系
土力学第3章- 土的本构关系
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
土的本构关系名词解释
土的本构关系名词解释土是地球上最基础和重要的自然资源之一，它对于人类的生存和发展具有至关重要的作用。
然而，对于大多数人来说，土的本构关系可能并不是一个常见的名词。
本文将对土的本构关系进行解释，旨在帮助读者更好地理解土壤的组成和作用。
1. 土的本构关系是什么？土的本构关系指的是土壤的物理、化学和生物学特性之间的相互作用和关联。
它涉及到土壤的组成成分、粒度、结构、含水量、通气性、肥力等方面的因素，以及它们之间的相互关系和相互影响。
通俗地说，土的本构关系是描述土壤性质和性能的体系，从而揭示土壤的内在机制和功能。
2. 土的物理特性与本构关系土的物理特性是指土壤的颗粒大小、颗粒形状、孔隙度和结构等方面。
这些特性直接影响土壤的水分保持能力、通气性和根系生长等关键指标。
例如，较细小的土壤颗粒和更亲密的结构可以增加土壤的保水性，使得植物根系能够更好地吸收水分和养分。
而较大的颗粒和疏松的结构则有利于土壤的透气性和根系伸展。
3. 土的化学特性与本构关系土的化学特性包括土壤的酸碱度、有机质含量、养分含量等。
这些特性对于植物的生长和土壤的肥力至关重要。
例如，适度的酸碱度可以调节土壤中的养分离子的释放和吸附，提供适宜的环境条件供植物吸收养分。
高含量的有机质可以增加土壤的保水性和养分保持能力，改善土壤结构，促进微生物活动和有利细菌的繁殖。
4. 土的生物学特性与本构关系土的生物学特性包括土壤中的微生物、植物和动物等生物体的存在和活动。
这些生物体对土壤的形成和演化具有重要影响。
它们通过分解有机物、供应养分、改善土壤结构等作用，促进土壤的发育和增加土壤的肥力。
同时，它们还与土壤中的非生物因素相互作用，形成复杂的土壤生态系统。
5. 土的本构关系的意义和应用土的本构关系的研究对于合理利用土壤资源和实现可持续发展具有重要意义。
了解土的本构关系可以帮助农民和农业专家制定合理的土壤管理措施，提高土壤的肥力和农作物的产量。
在城市规划和环境保护领域，对土的本构关系的理解也能够指导土地利用和生态恢复，保护土壤资源和生态环境。
土力学与数值方法：土的本构理论(1)
1
-
3
1
(
1
-
3)f
(
1
-
3) ult
1 O
双曲线应力－应变关系
• 切线弹性模量 Et 基于三轴排水试验建立起来的非线性模型，对于正常固 结粘性土、松砂及中密砂，具有应变硬化特征，偏应力 q=σ1-σ3与轴应变ε1之间的关系可以用双曲线进行拟合， 可表示为：
ζ1 ζ 3 ε1 a bε1
土的变形特性：
非线性和非弹性 塑性体积应变和剪胀性 塑性剪应变 硬化和软化 应力路径和应力历史对变形的影响 中主应力对变形的影响 高固结压力的影响 各向异性
在简单应力条件下，可以通过试验的方法确定土的 本构关系，但在复杂应力条件下试验就比较困难，因此， 根据简单应力条件下得到的结果，结合理论分析的方法 建立复杂应力条件下的本构关系，求得普遍形式的本构 方程。 弹性理论 弹塑性理论
R f ( ζ1 ζ 3 ) ζ3 2 1 K p 1 R S E a f L ( ζ ζ ) p 1 3 f ζ ζ3 a SL 1 ( ζ1 ζ 3 ) f
2
n
代入Et公式中后，得到：
ζ3 E t K E pa p a
第四章：土的本构理论
土的本构关系又称为本构模型，即描述土的应力－ 应变－关系的数学表达式。土的σ -ε 关系很复杂，具有 非线性、粘弹塑性，同时强度发挥程度、应力历史以及 土的组成状态和结构等对其都有影响。 已建立的本构模型很多，重要的有以下几类： 弹性模型-----Winkler、弹性半空间、分层地基模型 非线性弹性模型-----D-C模型 弹塑性模型------剑桥模型 粘弹性模型 边界面模型 内蕴时间模型
高等土力学总结
高等土力学高等土力学是在本科土力学教材的基础上的进一步延伸，共分七章，包括：土工试验与测试，土的本构关系，土的强度，土中水与土中渗流及其计算，土的压缩与固结，土工数值计算（包括土体稳定的极限平衡计算，土的渗流与固结的有限元计算）。
二、本 构 关 系“本构关系”是英文Constitutive Relation 的意译。
在力学中，本构关系泛指普遍的应力—应变关系。
因为在变形固体力学中，应力不只与应变有关．而且还与物体的加载历时(应力历史)、加载方式(或应力路径)以及温度和时间有关。
因此材科的本构关系或普遍的应力—应变关系可以表示为； 应力路径等）,,,(T t f ij ij εσ=式中t 为加载历时，T 为温度。
例如，弹性力学中的广义定律就是最简单的材料本构关系，它不计时间、温度和应力路径及应力历史的影响。
因此应力和应变之间存在着唯一对应的关系。
当材料应力超出弹性范围而进入塑性阶段时，应力和应变之间就没有唯一的对应关系，而是要受应力历史或应力路径的影响，这时材料的应力—应变关系就称为塑性本构关系。
塑性本构关系要比弹性本构关系复杂得多。
如果再考虑材科应力—应变关系随时间和温度的变化，本构关系持更加复杂。
本书所要讲的岩土本构关系主要是指与时间和温度无关的塑性本构关系。
各种本构关系的特点1.弹性本构关系类型和分类弹性本构关系可分为线弹性本构关系和非线性弹性本构关系如图1所示，线弹性本构关系即一般的弹性力学，其应力—应变关系服从广义Hooke 定律。
非线性本构关系的应力—应变曲线是非线性的，但是加卸载仍然沿着一条曲线。
弹性本构关系的基本特征是：1) 应力和变形的弹性性质或可逆性；2) 应力与应变的单值对应关系或与应力路径相应力历史的无关性。
即无论材料单元在历史上受过怎样的加卸载过程或不同的应力施加路径，只要应力不超过弹性限度，应力与应变都是一一对应的；3) 应力与应变符合叠加原理；4) 正应力与剪应变、剪应力和正应变之间没有耦合关系。
高等土力学-土的本构关系
本构关系与土力学分析方法
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
传统土力学：线弹性、刚塑性或理想塑性 研究初期：20世纪60年代，高重建筑物及 深厚基础问题；计算机技术发展 迅速发展时期：80年代达到高潮，“土力 学园地中最绚烂的花朵” 目前：土的结构性、非饱和土、循环加载、 动力本构模型等
第 14，18，19，33题
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
土的本构关系 Constitutive relationship 土的本构定律 Constitutive law 土的本构方程 Constitutive equation 土的数学模型 Mathematical model
2 2 1 3 1 3 2 3 b 1 3
应力洛德角
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
3
平面
S
Q O 1 R P 2
• 平均主应力p：平面的位置OQ
• 剪应力q：平面上到Q距离PQ
• 洛德角：平面上的角度
zy
xy
xz x
x ij yx zx
xy y zy
xz yz z 13 23 33
二阶对称张量，具
有6个独立的分量
11 12 21 22 31 32
球应力张量与偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z
C 等倾面
3 2
z
B x
1
高等土力学 土工试验与测试：1.3 实验本构关系
§1 土工试验与测试
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一 种目前被广泛应用的增量弹性模型，一般被称为邓 肯—张（Duncan-Chang）模型。 邓肯-张双曲线模型的本质在于假定土的应力应 变之间的关系具有双曲线性质，见图1.3-1(a)。 (2)切线变形模量Et邓肯—张计算公式 在常规三轴压缩试验中，式（1）也可以写成 εa εa = a + bε a （2） （1 ） σ1 −σ 3 = σ1 −σ 3 a + bε a 即： σ 1 − σ 3 = a + bε1
−ε 3 ε1 = f + D (−ε 3 )
（16）
或者
−ε 3 / ε1 = f + D(−ε 3 ) = f − Dε 3
（17） （b）-ε1/ε3～-ε3线性关系
（a）ε1-ε3双曲线
§1 土工试验与测试
从式（17）可以看出，试验得到的-ε3/ε1与ε3 的关系为直线关系，见图1.3-3（b）,从而可确定截 距f与斜率D。 从式（17）和图1.3-3（b）可见，当-ε3→0时， (-ε3/ε1)=f=vi，vi即为初始泊松比，D为ε1～ε3关系渐进线的倒数（见图（1.3.10a））。 试验表明土的初始泊 松比Vi与试验围压σ3有 关，将它们画在单对数坐 标中，可假设是一条直 线，见图1.3.3（c）。
2
(12)
§1 土工试验与测试
又根据莫尔－库仑强度准则，有:
(σ 1 − σ 3 ) f = 2c cos
(13)
lgEi/Pa
如果绘出lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa) n 直线，则其截距等于lgK，斜率等 1 于n，参见图1.3-2。 lgk 注：Pa为大气压，单位与Ｅi相 lg 3 /Pa 同，以便使Ei/Pa、/Pa成为无量 图1.3-2 lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa) 纲数 间的试验关系图
高等土力学主要知识点整理（李广信版）
高等土力学主要知识点整理（李广信版）第二章土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
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土力学中应力符号规定
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
ij ik jl kl
kl ：原坐标(x1, x2, x3) ij ：新坐标(x1, x2, x3 )
x2 x2
x1
x1 x 3
x3
i k ， jl 与为新和原坐标系轴夹角的余弦
1. 应力张量 2. 应力张量的坐标变换 3. 应力张量的主应力和应力不变量
4. 球应力张量与偏应力张量
5. 八面体应力 6. 主应力空间与平面 7. 应力洛德角
应
力
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z zx yx y yz
zy
xy
xz x
x ij yx zx 11 21 31
其中，a11=cos ，a12=cos ， a13=cos
主应力：1，2，3在三个剪应力为零方向上的正应力
应力张量的坐标转换与主应力
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
3 2
仁者乐山 智者乐水
主应力方程：
I1 I 2 I3 0
I1 x y z 1 2 3
• 剪应力q：平面上到Q距离PQ
• 洛德角：平面上的角度
三个独立的应力参数P、q和可以确 定应力点P在应力空间的位置
常用的三个应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
三轴应力状态： 3
• 平均主应力 • 广义剪应力
1 1 p (1 2 3 ) (1 23 ) 3 3
I2 x y y z zx xy yz zx 1 2 2 3 3 1
2 2 2
第一应力不变量 第二应力不变量
第三应力不变量
I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3
常用的三个应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应变
仁者乐山 智者乐水
与应力的情况相似 体应变
广义剪应变 应变洛德角
v kk 1 2 3 I1
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
传统土力学：线弹性、刚塑性或理想塑性 研究初期：20世纪60年代，高重建筑物及 深厚基础问题；计算机技术发展 迅速发展时期：80年代达到高潮，“土力 学园地中最绚烂的花朵” 目前：土的结构性、非饱和土、循环加载、 动力本构模型等
土的本构关系的发展
sij偏应力张量，其物理意义代表作用于 该点的纯剪应力分量
偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
J1 Skk 0
1 1 J 2 sijsij (1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2 2 6
1 J 3 S ijS jk S ki 3 1 ( 21 2 3 )( 2 2 1 3 )( 2 3 1 2 ) 27
对八面体面ABC，作用在该面上的 正应力和剪应力分别称为八面体正 应力oct 和八面体剪应力oct：
1 I oct (1 2 3 ) m 1 3 3
oct 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 J 2 3 3
第二章 土的本构关系
2.1 概述 2.2 应力和应变 2.3 土的应力变形特性
2.4 土的弹性模型
2.5 土的弹塑性模型的一般原理
2.6 剑桥模型(Cam—Clay)
2.7 其它典型弹塑性模型 2.8 土的损伤模型 2.9 土的广义位势理论
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
定问题 （边坡稳定性）
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
现代土力 学分析方法
应力变形的 综合分析
计算机数值模拟计算 • 土体的本构模型 • 数值计算方法：有限元等 • 应力变形稳定的综合分析
模型试验：如离心机模型试验
本构关系与土力学分析方法
3 oct
主应力空间与平面
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
1 R
A
RQ：和之间 与2垂直
： PQ和RQ之间的夹角， 以PQ起逆时针为正
tg 2 2 1 3 3 ( 1 3 ) 3 2b 1 3
x
B
1 I p oct (1 2 3 ) 1 3 3
q 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2 oct
八面体应力
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
1
A S
2.9 土的广义位势理论
第二章 土的本构关系
2.3 土的应力变形特性
基本特性
亚基本 特性
关联基 本特性
屈服特性 正交流动性 相关联性 共轴特性 临界状态特性等
非线性 压硬性 剪胀性
摩擦性
应力历史依存性 应力路径依存性 各向异性 结构性 蠕变特性 颗粒破碎特性 温度特性等
ij
应力张量
mij
球应力张量
1 sij ij kk ij 3
偏应力张量
m球张量分量，其物理意义代表作用于该点的平均 正应力或静水压力分量，其值为m=I1/3
球应力张量与偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
12 13 s11 s12 s13 11 m 1 sij ij ijkk s s s 21 22 m 23 21 22 23 3 32 33 m s31 s32 s33 31
• 剪应力： 正面 - 与坐标轴方向相反为正 负面 - 与坐标轴方向相同为正
x y
zy ：z为作用面法向； y为剪应力方向
土力学中应力符号规定
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
摩尔圆
zx
z +
(z,zx)
-
O
xz
x
(x,xz)
• 正应力：压为正，拉为负 • 剪应力：外法线逆时针为正；顺时针为负
《高等土力学》之二
土的本构关系
第二章 土的本构关系
2.1 概述 2.2 应力和应变 2.3 土的应力变形特性
2.4 土的弹性模型
2.5 土的弹塑性模型的一般原理 2.6 剑桥模型(Cam—Clay) 2.7 其它典型弹塑性模型 2.8 土的损伤模型
2.9 土的广义位势理论
第二章 土的本构关系
本章内容提要
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
应
变
第二章 土的本构关系
2.1 概述
2.2 应力和应变
2.3 土的应力变形特性 2.4 土的弹性模型 2.5 土的弹塑性模型的一般原理 2.6 剑桥模型(Cam—Clay)
2.7 其它典型弹塑性模型
2.8 土的损伤模型
q
1
2 1 3
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
• 应力洛德角
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
• 三轴压缩试验（ >=3 ）： = -30º • 三轴伸长试验（ =>3 ）： = 30º
xy y zy 12 22 32
xz yz z 13 23 33
二阶对称张量，具
有6个独立的分量
应力分量与应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
6个独立变量用 矩阵表示，常用 于数值计算
土的变形特性
土的非线性弹性模型 • 邓肯张EB和E模型
土的弹塑性模型
• 剑桥模型(CamClay) • Lade-Duncan模型 • 清华弹塑性模型 • 沈珠江双屈服面模型
第二章 土的本构关系
p108页 – 109页
第 14，18，19，33题
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
球应力张量与偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z
C 等倾面
3 2
z
B x
1
A
y
x y
应力主轴坐标系
八面体面
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z
C 2 oct 1 oct A y 3 平均主应力 广义剪应力
2 2 2
应力张量的应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
ij
12 13 m 0 0 11 m 0 0 m 22 m 23 21 32 33 m 0 0 m 31
姚仰平、 张丙印、朱俊高