高中数学3-1-2空间向量的数乘运算同步测控课件新人教A版选修

uur uuu r uuu r 在 MN 上, 且 MG=2GN.设 OA =a,OB =b,OC =c, 则用 a, b, c 表示向量 uuu r . OG = uuu r uuur uuu r uuur uuu r 提示:OG OM MG OM 2 MN 3 r uuu r uuu r uur 2 uuu 1 = OA (MO OC CN ) 2 3 = 1 a+ 2 1 a c 1 (b c) 2 3 2 2 = 1 a- 1 a+ 2 c+ 1 b- 1 c 2 3 3 3 3 = 1 a+ 1 b+ 1 c. 6 3 3
uuu r uur uu u r uur uu u r uur ∴ OP OA =y(OB OA )+z(OC OA ), uuu r uuu r uuu r 即 AP =y AB +z AC .
∴ 点 P 与点 A, B, C 共面.
一、空间向量的数乘运算
如图所示, 已知正方体 ABCD-A'B'C'D', 点 E 是上底面 A'B'C'D'的中 心, 求下列各式中 x, y, z 的值: uuur uuu r uuu r uuu r ( 1)BD ' =x AD +y AB +z AA ' ; uuu r uuu r uuu r uuu r ( 2)AE =x AD +y AB +z AA ' . 思路分析: 利用三角形法则或平行四边形 法则表示出指定向量, 再根据对应向量系数相 等, 求出 x, y, z 的值.
预习交流 3 (1)在三个向量共面的充要条件中, 若两向量 a, b 共线, 那么结论是否 还成立? 提示: 不成立.因为当 p 与 a, b 都共线时, 存在不唯一的实数对(x, y)使 p=xa+yb 成立.当 p 与 a, b 不共线时, 不存在实数对(x, y)使 p=xa+yb 成立. (2)已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B, C, 满 uur uuu r uuu r uuu r 足向量关系式 OP =x OA +y OB +z OC (其中 x+y+z=1)的点 P 与点 A, B, C 是否共面? uur uuu r uuu r uuu r 提示: 原式可以变形为 OP =(1-y-z)OA +y OB +z OC ,
预习交流 2 下列条件中, 能使 P, A, B 三点共线的有
3.共面向量 ( 1) 共面向量的概念 平行于同一个平面的向量, 叫做共面向量. ( 2) 三个向量共面的充要条件 若两个向量 a, b 不共线, 则向量 p 与 a, b 共面的充要条件是存在唯 一的有序实数对( x, y) , 使 p=xa+yb. ( 3) 共面向量的推论 如下图, 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数 uuu r uuu r uuu r uu u r uur uuu r uuu r 对( x, y) , 使 AP =x AB +y AC ; 或对空间一点 O, 有 OP OA +x AB +y AC .
二、共线向量问题
如图, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N分 别是 C1D1, AB 的中点, E 在 AA1 上且 AE=2EA1, F在 uuu r uuu r 1 CC1 上且 CF= FC1, 判断 ME 与 NF 是否共线? 2 思路分析: 结合给出的平行六面体, 利用向量的 uuu r uuu r 线性运算对 ME 或 NF 进行化简转化, 根据共线向量 定理进行判断.
3.1.2 空间向量的数乘运算
学习目标 1. 会用图形说明空间向量的数乘 运算及其运算律. 2. 学会共线向量和共面向量的条 件, 并能应用. 3. 能够正确进行空间向量的线性 运算.
重点难点
重点: 空间向量的线性运算和共线 向量问题. 难点: 共面向量问题.
1.空间向量的数乘运算 ( 1) 定义: 实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量, 称为向量 的数乘运算. ( 2) 向量 a 与 λa 的关系 ①λ>0 时, 方向相同; ②λ=0 时, λa=0; ③λ<0 时, 方向相反; ④λa 的模是 a 的模的|λ|倍. ( 3) 空间向量的数乘运算律 ①分配律: λ( a+b) =λa+λb, ( λ+μ) a=λa+μa. ②结合律: λ( μ a) =( λμ) a.
uuu r uuu r uuu r 1.已知向量 a, b 且 AB =a+2b,BC =-5a+6b, CD =7a-2b, 则一定共线 的三点为( ) .
A.A, B, D B.A, B, C C.B, C, D D.A, C, D 答案: A uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 解析: 因为 BD BC CD =-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2 AB , 所以 AB 与
uuur uuu r uuuu r 解: (1)因为 BD ' BD DD ' uur uuu r uuuu r = BA AD DD ' uu u r uuu r uuu r =- AB AD AA ' , uuur uuu r uuu r uuu r 又 BD ' =x AD +y AB +z AA ' ,
uur uu u r uuu r uuur 解: (1)∵ OA OB OC =3 OM , uuur uuu r uur uuur uuur uu u r ∴ OA OM =(OM OB )+(OM OC ), uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ∴MA BM CM =- MB MC . uuu r uuu r uuu r ∴ 向量 MA ,MB ,MC 共面. uuu r uuu r uuu r (2)由(1)向量 MA ,MB ,MC 共面, 三个向量又有公共点 M, ∴ M, A, B, C
预习交流 1 已知在空间四边形 OABC 中, M, N 分别是对边 OA, BC 的中点, 点G
2.共线向量 ( 1) 共线向量的概念 表示空间向量 a, b 的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则向量 a, b 叫做共线向量或平行向量, 记作 a∥b. ( 2) 两向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 a, b( b≠0) , a∥b 的充要条件是存在实数 λ, 使 a=λb. ( 3) 共线向量的推论 如果 l 为经过点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对于空间 uu u r uur 任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使 OP OA +ta①, uuu r 其中 a 叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取 AB =a, 则①式可化为 r uu u r uur uuu OP OA +t AB .此推论可以用来判断三点共线.
确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点 , 若 是, 利用平行四边形法则即可; 若不是, 利用封闭图形, 寻找到所要表示的 向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形 , 利用这一图形中欲求向 量与已知向量所在线段的联系 , 进行相应的向量运算是处理此类问题 的基本技巧.一般地, 可以找到的封闭图形不是唯一的. 但无论哪一种途 径, , C 三点不共线, 平面 ABC 外的一点 M 满足 uuur 1 uur 1 uu u r 1 uuu r OM OA OB OC . 3 3 3 uuu r uuu r uuu r ( 1) 判断 MA ,MB ,MC 三个向量是否共面; ( 2) 判断点 M 是否在平面 ABC 内. 思路分析: 要证明三个向量共面, 只需证明存在实数 x, y, 使 uuu r uuu r uuu r 证明了三个向量共面, 点 M 就在平面内. MA =x MB +y MC ,
uuu r uuuu r uuuu r uuu r 解: 由已知可得:ME MD1 D1 A1 A1E uur uur 1 uuu r uuu r uur 1 uuu r 1 = BA CB A1A =- NB CB C1C 2 3 3 uuu r uuu r uuu r uuu r = CN FC FN =- NF . uuu r uuu r 所以 ME =- NF , uuu r uuu r 故 ME 与 NF 共线.
.( 填序
答案: ②③④ 解析: 在平行六面体中, AH∥BG, AG 与 EC 相交, BH 与 DF 相交, AC 与 HF 异面, 因此不共线的向量是②③④.
1.判断向量 a, b 共线的方法有两种: (1)定义法, 即证明 a, b 所在基线平行或重合. (2)利用“a=λb⇒ a∥b”判断. 2.如果 a, b 是由空间图形中的有向线段表示的, 可利用空间向量的 运算性质, 结合具体图形, 化简得出 a=λb, 从而得出 a∥b, 即 a 与 b 共线.
如图, 平行六面体 A1B1C1D1-ABCD uuu r r uuur 1 uuu r uuu 中,AM MC ,A1N =2 ND , 设 2 uuu r uuu r uuu r uuu r 试用 a, b, c 表示 MN . AB =a,AD =b,AA1 =c,
u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 uuu r uu u r 1 uuu r 2 uu 解:MN MC CD DN AC AB DA1 (AB AD )3 3 3 u r uuu r uuu r 2 uu r uuu r uu u r 1 uuur uuuu r 1 uuu AB (DD1 D1 A1 )= ( AB AD )- AB ( AA1 AD )=3 3 3 u r 1 uuu r 1 uuu r 1 uu 1 1 1 AB AD AA1 =- a+ b+ c. 3 3 3 3 3 3