5.2-微积分基本公式-习题
高数同济5.2微积分的基本公式
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
物体在时间间隔 内经过的路程为
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
刹车, 问从开始刹
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
2 2
即
得
5 t2 2
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t (10 5t ) d t 10 t
0 0
2 0 10 (m)
练习1 计算 2 1 sin 2 x dx .
0
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
0 f (t ) d t
x 2
2
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0.
0
?
原式 2 sin x cos x dx
0 4 0
sin x cos x 0 cos x sin x 2
cos x sin x dx 2 sin x cos x dx
5.2_微积分基本公式
2
3
1
0
2
2x x ( ) 3 2
3
2
1
1 2
例8. 计算
解
2
0
1 sin 2 xdx ,
2
2 sin x cos x dx 0 sin x cos x dx
原式=
0
2
0
4
sin x cos x dx 2 sin x cos x dx
Gottfried Leibniz (1646-1716) German philosopher, physicist, and mathematician
例4
3 1
3
1
1 dx 2 1 x
函数在积分区间上连续
（以后不再声明）
解
1 3 dx [arctan x]1 2 1 x
0
பைடு நூலகம்
1
解:
原式=
1
2
0
1 2
x( 2 x 1) dx 1 x(2 x 1) dx
2
1
x(1 2 x )dx 1 x(2 x 1)dx 0
2
1
( x 2 x )dx 1 (2 x 2 x )dx 0
2
1
2
1
2
x 2x ( ) 2 3
1 4
b a
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
b a
f ( x)dx [ F ( x)] F (b) F (a)
§5.2 微积分基本公式
上的原函数, 故有 ( x) F( x) C, x [a, b]
C是待定常数, 即有
ax f (t)dt F (ax) C, x [a, b] a 0 C F (a)
18
x
C F(a),
a f (t)dt F ( x) C
bx f (t )dt F ( xb) F (a) x [a,b] a
它在该区间上的任意一个原函数在区间[a, b] 上的
增量. （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题—— 不定积分与定积分两者之间的内在联系
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.
（4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又 简便的方法，使得定积分的计算大为简化。
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
22
例 2 (2cos x sin x 1)dx 0
解
原式
2sin
x
cos
x
x
2
0
3
2
例 计算曲线y sin x在[0, ]上与x轴所围成的
平面图形的面积.
解 面积 A sin x dx 0
其中 s(t) v(t)
2
T2
T1
v(t )dt
s(T2 )
s(T1 )
启发 如果能从v(t)求出s(t),定积分 T2 v(t)dt
运算就可化为减法
s(T2 )
T1
s(T1 )运算.
这正是第四章已经解决了的微分运算的
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.极限的基本公式：（1）常数规则：lim(c) = c （c 为常数）（2）零规则：lim(0) = 0（3）单位规则：lim(x) = x （x 为自变量）（4）和差规则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))（5）乘法规则：lim(f(x) * g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))（6）除法规则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) （若lim(g(x)) ≠ 0）2.导数的基本公式：（1）常数函数的导数：(c)'=0（c为常数）（2）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1) （n 为实数）（3）指数函数的导数：(e^x)'=e^x（4）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数的导数：(sin(x))' = cos(x)、(cos(x))' = -sin(x)、(tan(x))' = sec^2(x)（6）反三角函数的导数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)、(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)、(arctan(x))' = 1/(1+x^2)3.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n ≠ -1）（2）指数函数的积分：∫(e^x)dx = e^x + C（3）对数函数的积分：∫(1/x)dx = ln，x， + C（4）三角函数的积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C、∫cos(x)dx = sin(x) + C、∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C（5）反三角函数的积分：∫(1/√(1-x^2))dx = arcsin(x) + C、∫(-1/√(1-x^2))dx = arccos(x) + C、∫(1/(1+x^2))dx = arctan(x)+ C4.微分中值定理：（1）罗尔定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个c(a<c<b)，使得f'(c)=0。
微积分基本公式-习题
微积分基本公式-习题1．设函数0cos xy tdt =，求'(0)y ，'()4y π。
【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，'()cos442y ππ==。
2．计算下列各导数：⑴20x d dx；【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵1td dt dx ；【解】1td dt dx 1()t ddt dx =-=-=。
⑶cos 2sin cos()x x d t dt dxπ?；【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 22sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 0cos 22sin 0cos()cos()xx d d t dt t dt dx dx ππ=+?? sin cos 2200[cos()]cos()x xd d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d dx x x x dx dxππ=-+22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。
⑷2ln 1x x d dt dx t。
【解】2ln 1x x d dt dx t ?21ln 111[]x x d dt dt dx tt =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t=+?? 2ln 1111[]x x d d dt dt dx t dx t=-+??2211(ln )()ln d d x x x dx x dx =-+21112ln x x x x =-?+?12ln x x x =-+11(2)ln x x =-。
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
实用文档之《微积分》各章习题及详细答案
实用文档之"第一章 函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分各章习题及详细答案
《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
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1．设函数0cos xy tdt =⎰，求'(0)y ，'()4y π。
【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，2'()cos442y ππ==。
2．计算下列各导数：⑴2201x d t dt dx+⎰； 【解】2201x d t dt dx +⎰2221()()d x x dx =+421x x =+。
⑵1txd e dt dx ⎰； 【解】1t x d e dt dx ⎰1()x td e dt dx=-⎰()xd e x dx =-2xe x=-。
⑶cos 2sin cos()xxd t dt dx π⎰； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π⎰0cos 22sin 0[cos()cos()]x xd t dt t dt dx ππ=+⎰⎰ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。
⑷2ln 1x x d dt dx t⎰。
【解】2ln 1x x d dt dx t ⎰21ln 111[]x x d dt dt dx tt =+⎰⎰ 12ln x x x =-+11(2)ln x x=-。
3．设函数()y y x =由方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx。
【解法一】方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0ty x e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，解出y ，得ln(1sin )y x =-， 于是得1cos (1sin )1sin 1sin dy d x x dx x dx x -=-=--cos sin 1x x =-。
【解法二】在方程cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰两边对x 求导，注意到()y y x =，得即得 ()cos 0ydey x dx+=， 亦即cos 0y dy ex dx +=，解出dy dx ，得cos y dy x dx e=-， 方程cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0tyx e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，再将1sin ye x =-代入cos y dy xdx e=-中， 得cos cos 1sin sin 1dy x x dx x x =-=--。
4．设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx。
【解】问题是由参数方程求导【解法一】dy dy dt dx dx dt =00cos sin tt d udu dt d udu dt=⎰⎰cos cot sin t t t ==。
【解法二】dy dx 00cos sin ttd udud udu =⎰⎰cos sin tdt tdt =cos cot sin tt t==。
5．求下列极限：⑴20cos limxx t dt x→⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 200cos limxx t dt x→⎰20cos lim 1x x →=2cos 01==。
⑵02arctan limxx tdt x →⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 02arctan limxx tdt x →⎰0arctan lim2x xx→= ---- 应用洛必达法则2011lim 2x x →+= ---- 再次应用洛必达法则 21112102=⋅=+。
⑶22021limx x t dt x →+⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 22021limx x t dt x →+⎰22201()()'lim2x x x x→+= ---- 应用洛必达法则4012lim2x x x x→+⋅= ---- 完成求导2()'x 40lim 1x x →=+ ---- 整理4101=+=。
⑷22220()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰。
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰222202limxx t t xx d e dt e dt dx xe →⋅=⎰⎰ ---- 应用洛必达法则222202limxt xxx e dt e xe →⋅=⎰ ---- 完成求导20x t d e dt dx⎰ 222limxt xx e dtxe →=⎰ ---- 分子分母同消去2x e222202lim2x xx x ee x e→=+ ---- 再次应用洛必达法则202lim 12x x →=+ ---- 分子分母同消去2x e 222120==+⨯。
6．当x 为何值时，函数2()xt I x te dt -=⎰有极值。
【解】由给定的函数2()xt I x te dt -=⎰可见，其定义域为(,)-∞+∞，由于2'()x I x xe -=，可得()I x 有唯一驻点0x =，无不可导点， 显见，当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >， 可知，函数()I x 在点0x =处取得极小值。
7．计算下列定积分：⑴22411()x dx x +⎰； 【解】22411()x dx x +⎰321311()33x x=-33111(21)(1)332=---218=。
⑵94(1)x x dx +⎰；【解】94(1)x x dx +⎰1924()x x dx =+⎰3292421()32x x =+33222221(94)(94)32=-+- 21(278)(8116)32=-+-2716=。
⑶312311dx x +⎰；【解】312311dx x +⎰313arctan x=1arctan 3arctan3=-36ππ=-6π=。
⑷32201adx a x +⎰；【解】32201a dx a x +⎰3202111()adx x a a =+⎰302111()a xd x a a a =+⎰ 1arctan 3a=13a π=⋅3a π=。
⑸420213311x x dx x -+++⎰； 【解】420213311x x dx x -+++⎰02211(3)1x dx x -=++⎰301(arctan )x x -=+10arctan1=++14π=+。
⑹1011e dx x -+⎰；【解】1011e dx x -+⎰101(1)1e d x x-=++⎰1ln(1)e x -=+ln ln1e =-1=。
⑺240tan xdx π⎰；【解】240tan xdx π⎰240(sec 1)x dx π=-⎰40(tan )x x π=-tan44ππ=-14π=-。
⑻240cos ()2xdx π⎰；【解】240cos ()2x dx π⎰401cos 2x dx π+=⎰41(sin )2x x π=+1(sin )244ππ=+284π=+。
⑼212x dx -⎰；【解】212x dx -⎰02122x dx x dx -=+⎰⎰021(2)2x dx xdx -=-+⎰⎰2221x x -=-+22[0(1)](20)=---+-5=。
⑽20sin x dx π⎰；【解】20sin x dx π⎰20sin sin x dx x dx πππ=+⎰⎰20sin (sin )xdx x dx πππ=+-⎰⎰(11)[1(1)]=---+--4=。
⑾3401cos 2xdx π+⎰；【解】3401cos 2xdx π+⎰32402cos xdx π=⎰3402cos x dx π=⎰22[(10)(1)]2=---221=-。
⑿2()f x dx ⎰，其中21, 1()1, 12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩。
【解】2()f x dx ⎰121()()f x dx f x dx =+⎰⎰122011(1)2x dx x dx =++⎰⎰2132111()26x x x =++11(1)(81)26=++-83=。
8．设2, [0,1)(), [1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，求0()()x x f t dt Φ=⎰在[0,2]上的表达式，并讨论()x Φ在(0,2)内的连续性。
【解】当0x =时，0()()0x f t dt Φ==⎰3013x x ==；当(0,1)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰20xt dt =⎰3013x t =313x =； 当1x =时，10(1)()f t dt Φ=⎰120t dt =⎰3101133t ==3113x x ==2111()26x x ==-；当(1,2)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰101()()x f t dt f t dt =+⎰⎰1201xt dt tdt =+⎰⎰312011132x t t =+211(1)32x =+-21126x =-，当2x =时，2(2)()f t dt Φ=⎰121()()f t dt f t dt =+⎰⎰1221t dt tdt =+⎰⎰3122011132t t =+211(21)32=+-116=2211()26x x ==-，于是，321, [0,1)3()11, [1,2]26x x x x x ⎧∈⎪⎪Φ=⎨⎪-∈⎪⎩，由于初等函数313x 在[0,1)内连续，初等函数21126x -在(1,2]内连续，故要讨论()x Φ在(0,2)内的连续性，仅须讨论()x Φ在1x =处的连续性，由于31111lim ()lim 33x x x x --→→Φ==，211111lim ()lim()263x x x x ++→→Φ=-=， 且(1)Φ2111()26x x ==-13=，可知()x Φ在1x =处连续， 从而，()x Φ在(0,2)内连续。
9．设1sin , 0()20, 0x x f x x x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩或，求0()()x x f t dt Φ=⎰在(,)-∞+∞内的表达式。
【解】当0x <时，0()()xx f t dt Φ=⎰00xdt ==⎰，当0x π≤≤时，0()()xx f t dt Φ=⎰01sin 2xtdt =⎰01cos 2xt =-1cos 2x -=， 当x π>时，0()()x x f t dt Φ=⎰01sin 02x tdt dt ππ=+⎰⎰01cos 02t π=-+ 1(11)2=---1=，于是得0, 01cos (), 021, x x x x x ππ<⎧⎪-⎪Φ=≤≤⎨⎪>⎪⎩。