探索轴对称的性质
7.3 探索轴对称的性质
7.3 探索轴对称的性质1. 什么是轴对称？轴对称是指图形存在一个轴线，使得图形关于这条轴线对称。
轴对称具有以下特点： - 被轴对称的图形的左半部分与右半部分完全重合； - 轴对称的图形具有相同的形状、大小和图案； - 轴对称的图形可以通过在轴线上旋转180度得到；2. 轴对称的图形种类轴对称的图形可以是二维图形，也可以是三维图形。
2.1 二维图形常见的二维图形中，有许多具有轴对称性质的图形，例如： - 正方形 - 矩形 - 圆形 - 镜像字母（例如字母X、字母H） - 雪花形状（例如六边形雪花）2.2 三维图形在三维空间中，轴对称的图形种类更加丰富。
除了二维图形的轴对称性质外，三维图形还有额外的轴对称性质，例如： - 立方体 - 圆柱体 - 球体 - 圆锥体等3. 轴对称在日常生活中的应用轴对称的性质在日常生活中有许多实际应用。
3.1 拼图游戏拼图游戏中，常常使用轴对称的形状作为拼图的元素，通过将轴对称的形状拼接在一起，来完成整个拼图。
例如，一些儿童拼图书中会出现许多轴对称的动物形状，通过拼接这些形状，可以锻炼孩子们的观察能力和操作能力。
3.2 电子产品设计在电子产品的设计中，轴对称的性质也经常被应用。
例如，许多手机的外观设计和按键布局都是以轴对称的方式设计的，这样可以使得手机外观更加美观、布局更加整齐。
3.3 建筑设计在建筑设计中，轴对称的性质也经常被应用。
许多建筑物的立面设计和对称结构都是以轴对称的方式进行设计的，这样可以使得建筑物更加美观、稳定。
4. 如何判断一个图形是否轴对称？判断一个图形是否轴对称可以通过以下步骤进行：1.找到图形的中心点，并确定可能的轴线；2.对图形进行折叠，使得两侧完全重合；3.判断折叠后两侧是否完全重合，如果重合则图形是轴对称的。
5. 轴对称的性质与数学关系轴对称的性质在数学中也有一些相关的概念和性质。
5.1 点关于轴线的对称性一个点关于轴线的对称点是指，将点沿着轴线折叠后得到的点。
轴对称的性质
探索轴对称的性质1．线段的垂直平分线上的点到_________________ __ ____相等．（如上图）几何语言：∵__________________ , ∴__________________.2．①线段；②角；③等腰三角形；④直角三角形；⑤锐角三角形；⑥圆．其中是轴对称图形的是_______________________．3.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的相等。
几何语言：∵________ _ 且__ _ ______ , ∴__________________.4．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
5．轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
6．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段________________________；（2）对应线段_________________ _______；（3）对应角_________________ _________；（4）对应图形。
7.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
8. 等腰三角形的特征和判定⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）⑵等腰三角形的_____________、_______________、_____________互相重合（简称为“________________”）⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的_____也相等（简称为“____________”）。
【巩固提升】1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ． 试说明：（1） ∠EDC ＝∠ECD ； (2)OC ＝OD ； (3)OE 是CD 的垂直平分线。
5.2探索轴对称的性质
5.2探索轴对称的性质一．选择题1．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是()A．对应线段互相平行B．对应线段相等C．对应角相等D．对应点连线与对称轴垂直2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是() A．AM＝BM B．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM（2）（3）（4）3．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝108°，∠F＝32°，则∠B的度数为() A．32°B．40°C．50°D．108°4．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是() A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MN D．BO＝B′O5．下面是四位同学作与△ABC关于直线MN成轴对称的图形，其中正确的是()A：B C：D：6．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是() A．AB＝A′B′ B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′ D．∠A′＝120°（6）（7）7．如图，四边形ABCD关于直线l对称，有如下结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AC＝CO；④AB⊥BC，其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②8．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为()A．31°B．28°C．62°D．56°二．填空题9．如图，两个图形关于直线MN成轴对称．(1)A，B，C，D的对称点分别是，线段AC，AB的对应线段分别是，CD＝，∠CBA＝，∠ADC＝；(2)延长线段AB，EF，则它们延长线的交点在．10．如图，将一张长方形纸对折，用圆规针尖扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平．(1)图中两个“∑”关于折痕l ；(2)在扎出“∑”的过程中，重合的点有；重合的线段有；重合的角有；(3)点O到l的距离点O′到l的距离(填“＝”或“≠”)，所以线段OO′被l ，线段BB′被l ；(4)总结：轴对称图形具有以下性质：①对应线段，对应角；②对应点所连线段被对称轴．11．如图，将长方形纸条ABCD沿EF，GH折叠，使B，C两点恰好都落在AD边的P点处．若BC＝10 cm，则△PFH 的周长为cm.12．如图，AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点．若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是．三．作图题13.如图是一个图案的一半，直线l是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半．。
探索轴对称的性质
第五章《生活中的轴对称》第二节《探索轴对称的性质》一.内容和内容解析1.内容探索轴对称的性质2.内容解析本节课内容是初中数学北师大版七年级下册第五章《生活中的轴对称》中的第二节“探索轴对称的性质”，主要是探索并得出轴对称的性质，并利用轴对称的性质画简单平面图形经过轴对称后的图形，以学生的观察、操作、交流性活动为主，学生在活动中进一步发展空间观念和积累数学活动经验。
本节内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“图形与几何”领域，是在学生已经学习了三角形与两条直线位置关系的基础上，对平面图形的进一步探索，学生在小学已经认识了轴对称图形以及对称点，所以在教学开始引入一段剪纸的视频，通过观察操作过程，感受轴对称的美以及折叠与轴对称的关系，调动了学生的积极性，然后利用一连串的活动形式，层层深入，最终使学生在性质探索过程中体会几何直观，发展学生观念。
二.目标和目标解析1.目标（1）在直观认识和操作的基础上,学会用自己的语言表达轴对称的性质的发现过程,理解轴对称的性质。
（2）经历探究轴对称性质的数学活动过程，通过观察、操作、猜想、交流归纳等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点。
（3）通过学生的操作活动，培养其空间观念和审美意识，从而提高他们的学习兴趣。
2.目标解析（1）从剪纸入手，体会折叠与轴对称的关系，使学生经历欣赏图形——设计图形—研究图形——探究性质的过程。
（2）以知识抢答的形式展开习题演练，提高学生的学习热情，加深对性质的理解。
三、学情分析1、学生的年龄特点：好动，且有很强的求知欲和表现欲。
2、学生的知识基础：学生已经学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，解决了一些简单的现实问题，为接下来的学习奠定了知识和技能基础；同时学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
3、重点难点教学重点：理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质。
初中数学_探索轴对称的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
探索轴对称的性质学习目标（1）知识与技能：探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
（2）过程与方法：经历探索轴对称的性质的过程，在操作活动过程中，发展学生主动探究和合作交流的习惯。
培养学生观察、探索、分类、归纳等能力。
（3）情感态度与价值观：兴趣是最好的老师，本课的主要目的就是提高学生的学习兴趣，并让学生认识到数学来源于生活，又能指导生活这一辩证思想。
教学重难点重点：轴对称的性质难点：轴对称性质的探索复习引入轴对称图形：如果沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做，这条直线叫这个图形的。
轴对称:如果沿着一条直线对折后，能够，那么称这，这条直线叫做这两个图形的。
动手动脑探究新知：动动手：（1）将一张长方形的白纸对折后，任意画一条线段AB ，用笔尖在点A、点B处扎空，然后将纸展开铺平。
（2）在折痕另一侧的两个扎空中，点A扎出的扎空用点A′表示，点B扎出的扎空用点B′表示，并连接A′，B′两点，得到线段A′B′ ，然后分别连接点A、点A′和点B、点B′，得到线段AA′ 和线段B B′（3）（2）在折痕另一侧的两个扎空中，点A扎出的扎空用点A′表示，点B扎出的扎空用点B′表示，并连接A′，B′两点，得到线段A′ B′ ，然后分别连接点A、点A′和点B、点B′，得到线段AA′ 和线段B B′动动脑：下图中，△ABC与△A′B′C′关于直线m成轴对称C′A′Am1、将△ABC沿对称轴m对折，与∠A互相重合的角是谁？它们关于直线m成什么关系？在轴对称图形中，沿对称轴对折后,把能够互相重合的两个角称之为对应角。
2、你知道对应角之间有什么大小关系？做一做如图：将一张长方形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：（1）两个“14”有什么关系？（2l有什么关系？点F和F′呢？（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？练一练（1）你能找出它的对称轴吗?（2）连接点A与点A1的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B1的线段呢？3 1A BCD FE打开（3）线段AD 与线段A 1D 1有什么关系？线段BC 与B 1C 1呢？为什么？（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？你会根据轴对称的性质，画出图案的另一半吗？对称点的画法：1.过点A 画对称轴l 的 垂线，设垂足为B ；2.延长AB 至A ′，使得BA ′=AB ，则点A ′就是A 关于直线l 的对称点课堂达标1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被 垂直平分。
探索轴对称的性质
探索轴对称的性质一、教学目标1、知识与技能：探索轴对称的基本性质，理解轴对称的性质．2、过程与方法：通过探索过程提高学生的逻辑思维能力、综合运用知识及分析问题解决问题的能力；3、情感态度与价值观：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.4、教学重点、难点重点：理解和运用轴对称的性质。
难点：运用轴对称的性质解决数学或实际问题。
二、教学过程（一）1、.巧设现实情景，引入新课前两节课我们探讨了轴对称图形.下面我们来动手做一轴对称的图形.如图将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.学生做好后引出问题：你做的轴对称的图形有什么性质吗？我们这节课就来探索轴对称的性质.。
设计意图：通过学生自己动手，创设情境，激发学生强烈的求知欲和好奇心。
（二）自主探索探索一：大家来仔细观察你所做的轴对称的图形.然后分组讨论下列问题：（1）上图两个“14”有什么关系？（2）在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E′的线段与l有什么关系？点F与点F′呢？（3）线段AB与线段A′B′有什么关系？CD与C′D′呢？（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由.设计意图：学生观察自己的作品，让学生自己动手初步感受轴对称的性质，将学生的注意力集中到研究轴对称的性质上，为下面的活动做铺垫。
探索二：. 先给学生每人一张如图所示的图片，同学们先独立操作，然后分组讨论.观察图下图所示的轴对称图形（1）找出它的对称轴.（2）连接点A与点A′的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B′的线段呢？（3）线段AD与线段A′D′有什么关系？线段BC与线段B′C′呢？为什么？（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由.设计意图：在活动一的基础上层层递进，通过活动二进一步深入了解轴对称的性质（三）归纳规律1、我们得到了轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等.2、转化数学语言（1）A A′⊥EF AO= A′O（2）AB= A′B ∠ABC=∠A′B′C′设计意图：在此环节教师一定不要操之过急，应鼓励学生畅所欲言，充分的交流讨论，教师只要在适当的时候稍微点拨一下就可以了，让学生自己发现，自己总结。
探索轴对称的性质.2...。。探索轴对称的性质
中 数
全重合，那么称这两个图形成轴对称.
学 组
这条直线叫做这两个图形的对称轴.
宽
甸 观察与思考
满 族
1.动画（1）中的三角形是个什么图形？
自 治
2.动画（2）中的两个三角形有什么关系？
县
毛
甸
子
学
校
初
中
数
学
（1）
组
（2）
宽
甸 满
学海定航
族
自
治
县 毛
1.探索轴对称的性质；
甸
子
学 校
2.会利用轴对称的性质作对称点、对称图形、对称轴；
自 治
则∠BCD的度数是( A )
县
毛
A．130°
B．150°
甸 子
C．40°
D．65°
学
校 解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的
初 中
四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°
数 ，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－
学 组
40°－40°＝130°.
学海探航二
宽 甸
满 下面两个轴对称图形分别只画出了一半，请画
初 中 数 学 组
学海探航一
宽 甸
轴对称的性质
满
族 如图：将一张长方形的纸对折，然后用笔尖扎
自 治
出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
县
毛
甸
A
C
C'
A'
子
1
2
学
校
3
4
D
F F'
D'
初
中
B
E
E'
探索轴对称的性质课件
下课了!
• 数学中的某些定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来,但证明却
隐藏极深.
•
——高斯
车标设计
交通标志
实物图案
蝴蝶
奥运五环
让我们走进轴对称的世界， 去感受对称的奇妙和美丽吧！
探索轴对称的性质
例题欣赏 9
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
将一张长方形的纸对折，然后用笔尖扎出 “14”这个数字，将纸打开后铺平：
打开
A
C
m C'
A'
1
2
3
4
D
F
F'
D'
B
E
E'
B'
?怎样
解答
1.上图中，两个“14”有什么关系?
关于直线m成轴对称
形不一定成轴对称
有的放矢 6
驶向胜利 的彼岸
轴对称中三个定义
对称点：沿某对点叫对称点；
对称边：沿某条直线折叠后，
A
D
能够重合的一对边叫对称边；
C 40 B
65
F E
对称角：沿某条直线折叠后， 能够重合的一对角叫对称角。
“对称是一种思想，通过它，人们毕生 的追求，将得以创造次序、美丽和完 善……”
知识源于生活1
驶向胜利 的彼岸
自远古以来,对称形式被认为是和谐美丽、并且真实的 , 不论是在自然界中还是建筑里,甚至最普通的日常生活 用品中,对称的形式随处可见.青山倒映在水中,这是令人 难忘的对称景象.同学们可以想象,当你放学回家,落日、 晚霞、还有远处的青山倒映在平静的水中,这样如诗如 画的景致令人难忘 .同学们谁能说出生活中的对称图形 呢？
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探索轴对称的性质
【学习目标】
1、探索轴对称的基本性质，记清对应点所连的线段被对称轴垂 直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
相等、对应角相等”的性质
【学习难点】运用对称轴的性质来解决问题。
【学习方法】自主探索。
【学习过程】
一、 自主学习
1以下结论正确的是()•
A .两个全等的图形一定成轴对称 是轴对称
图形
C .两个成轴对称的图形一定全等 一定不全等 2. 下列说法中正确的有()•
① 角的两边关于角平分线对称；
② 两点关于连接它的线段的中垂线为对称
③ 成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也 分别成轴对称.
④ 到直线L 距离相等的点关于L 对称
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
3. 下列说法错误的是().
A .等边三角形是轴对称图形；
B .轴对称图形的对应边相等，对应角相等；
C .成轴对称的两条线段必在对称轴一侧；
D .成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 .
二、 合作探究
(1) 在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴
(2) _________________ 对应线段 ________ ，对应角 。
(3) 轴对称图形变换的特征是不改变图形的
改变图形的 _________ 。
【学习重点】弄清楚对应点所连的线段被对称
轴垂直平分、对应线段
B .两个全等的图形一定 D .两个成轴对称的图形
，只
（4）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点 在 。
例1.已知Rt △ ABC 中，斜边AB=2BC ，以直线AC 为对称轴，点 B 的对称点是B ‘，
如图所示，则与线段 BC 相等的线段是 i
与/B 相等的角是
因此，/ B= _______ 例2.如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处。
A 、B 到河岸的距离分
别为AC BD 且AC=BD 已知A 到河岸CD 的中点的距离为500m
（1） 牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所 走的路程最短？在图中作出该处并说出理由。
（2） 最短路程是多少m
三、拓展延伸
与线段AB 相等的线段是
和
河
C D A B
例3•如图，矩形ABCD& AE折叠，使点D落在BC边上的点F处, 如果/ BAF=60，那么/ DAE=
变式练习如图，把一张长方形纸片ABCD& BD对折，使C点落在E 处，BE与AD 交于点0,写出一组相等的线段 ________________________ （不含AB=CDAD=BC。
四、课堂小结:
本节课我学习了
最得意的是
美中不足的是
五、课堂检测
1、两个图形关于某直线对称，对称点一定在（
A、这条直线的两旁 B 、这条直线的同旁
C、这条直线上 D 、这条直线两旁或这条直线上
2、国旗上的一个五角星的对称轴的条数是（
A 1条B、2条C、5条 D 、10条
3、为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：A、分割分的整个图形必须是轴对称图形；B、四块图形形状相同；C四块图形面积相等。
现已有两种不同的分法：（1分别作两条对角线；（2）过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2中两个图形的分割看作同一方法），请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法。
六、反思学生反思: 教师反思:。