苏州园区二中2015届高三国庆自主练习数学卷
2015-2016学年江苏省苏州中学高三(上)期初数学试卷
2015-2016学年江苏省苏州中学高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(★★★★)若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是 -1 ．2．(★★★★)已知集合A={x|x＞1}，B={x|x 2-2x＜0}，则A∪B= {x|x＞0} ．3．(★★★★)命题“若实数a满足a≤2，则a 2＜4”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）．4．(★★★★)在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a= 12 ．5．(★★★★)把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为．6．(★★★★)在约束条件下，则的最小值是．7．(★★★★)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：①③④⇒②（或②③④⇒①）（用代号表示）．8．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是．9．(★★)已知点A（0，2）抛物线y 2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p= ．10．(★★★)若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．(★★★★)在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC 1=2，若用平行于三棱柱A 1B 1C 1-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为 24 ．12．(★★)已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为（0，0）．13．(★★)在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设则4x+y的最小值是．14．(★★)设m∈N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为{0，3，14，30} ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2 ．求证：（1）PA⊥平面EBO；（2）FG∥平面EBO．16．(★★★)已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．17．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．18．(★★★)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t ＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．19．(★★★)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a 1，a 3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k=7，a 1=2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N *使得a 1，a 3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．20．(★★)已知函数，其中a是实数．设A（x 1，f（x 1）），B（x 2，f（x 2））为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2-x 1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．三、选做题.在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题20分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲21．(★★)如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P．（1）求证：OM•OP=OA 2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM=90o．B.选修4­-2：矩阵与变换22．(★★★)已知矩阵M= 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x 2+8xy+4y 2=1在M的作用下的新曲线方程．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．(★★★)在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ- ）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．D.选修4-5：不等式选讲24．(★★)不等式选讲设x，y，z为正数，证明：2（x 3+y 3+z 3）≥x 2（y+z）+y 2（x+z）+z 2（x+y）．四.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．(★★★)如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面与底面垂直，AA 1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC 1、BC、A 1B 1的中点．（1）求证：PN⊥AM；（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．26．(★★)一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N *）分的概率．。
江苏省苏州市2015届高考数学必过关题4数列1
2015届苏州市高三数学过关题4——数列（1）【考点一】数列的概念1．数列122524525--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n n a ，()*N n ∈，若p a 和q a 分别为数列中的最大项和最小项，则=+q p . 【答案】3[解析] 122524525--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n n a ，它是以]1,0(521∈⎪⎭⎫⎝⎛-n 为元的一元二次函数，对称轴为52，则1a 和2a 分别为数列中的最大项和最小项，则3=+q p .【考点二】等差数列的通项及性质2.差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =_______． 【答案】12提示：回归到基本量1a 、d3．在等差数列{}n a 中12014a =,前n 项和为n S ,10121210S S -2=-,则2014S 的值为___ __.【答案】2014 [解析] 由()112n n n S na d -=+知，()112n n S a d n -=+，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以2014为首项，－1为公差的等差数列，所以()()2014201420141112014S =+--=，所以20142014=S . 4.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a = .【答案】2[解析] 由2'()86f x x x =-+，知1a ＋4025a ＝8，所以20134a =，所以22013log a =2.5.已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a ,22n a =21n a ＋+21n a -)2(≥n ,则6a 等于___________. 【答案】4[解析] 由题意知{}2n a 是等差数列，首项为1，公差为3，所以26a =16，又60,a >所以6a =4.6.公差为d ,各项均为正整数的等差数列中,若11=a , 51=n a , 则d n +的最小值等于____. 【答案】16[解析] 由11=a , 51=n a 知()150n d -=，所以d n +=501d d++，由于,n d ∈Z ，所以当510d =或时，d n +有最小值16.7.设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{}nS 都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1 .【答案】34[解析] ()11n S a n d =+-，由()()()1112n n n n n n n a S S S S S S n ---=-=-+≥ 得n a ()2211223223d a n d nd a d d ⎡⎤=+-=+-⎣⎦，所以22d d =，得12d =或0d =（舍去）， 令1n =得114a =，所以=+d a 134.【考点三】等比数列的通项及性质8.等比数列{}n a 中,若7891015,8a a a a +++=8998a a ⋅=-,则789101111a a a a +++=___________. 【答案】53-[解析] 根据等比数列的性质71089a a a a ⋅=⋅， 所以71089789107891071089891111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+==53-. 9．在数列{}n a 中,n n ca a =+1 (c 为非零常数),前n 项和为k S nn +=3,则实数k 为___ ___.【答案】 －1[解析] 由k S n n +=3知，13a k =+，()11232n n n n a S S n --=-= ≥，又n n ca a =+1知{}n a 为等比数列，所以32k +=，所以1k =-.10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 . 【答案】4[解析] 设公比为q ，则2462a q q +=，即0224=--q q ，解得22=q ，所以4426==q a a11．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50[解析]由512911102e a a a a =+得51110e a a =， 则501051*********)()(e e a a a a a ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故1220ln ln ln a a a +++= 50ln )ln(502021==⋅⋅⋅e a a a12．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198，其中正确的结论是__________．【答案】①②④[解析] 由11a >,9910010a a ->,得1972110qa >>,又99100101a a -<-.得991001,01a a ><<，01q <<，所以①成立，2991011001a a a =<，所以②成立991001,01a a ><< ，99T ∴是n T 中最大的，所以③错误，()9919812197198991001T a a a a a a =⋅⋅⋅=>，()199199121981991001T a a a a a =⋅⋅⋅=<，所以④成立13．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为_________．【答案】54[解析] 4321222(2a a a a a +--=+21)(1)a q -，得到21q >，从而687212(2)a a a a q +=+=6281q q -，再用导数法求出最小值（可先换元）．【考点四】等差、等比的综合 14．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中21=a ，11=b ，22b a =，342b a =，且存在常数α，β，使得β+=n a n b a log 对每一个正整数n 恒成立，则βα＝________. 【答案】 4[解析] 由题意，可设()d n a n 12-+=，1-=n n q b ，于是由{22342b a a b ==得(){qd q d =+=+23222解得024{≠==d d q 且所以n a n 2=， 222-=n n b ,代入β+=n a n b a l o g ，得()β+-=2l o g 222a n n ，即()2log 22log 12a a n -=-β，所以12log 02log 2{==-a a β解得22{==αβ故422==βα.15．数列()*21n a n n =-∈N 排出如图所示的三角形数阵,设2013位 于数阵中第s 行,第t 列,则=+t s . 【答案】62[解析] 由规律知2013位于数阵中第45行,第17列，所以=+t s 62.16．在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作C A 1的垂线，垂足为3A ；….依此类推，设1a BA =，21a AA =，321a A A =，…，765a A A =，则=7a ________．【答案】14[解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ，所以21===a AC AB，由题易知121321===AB a A A …,412122133776=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==AB a A A .17．给定81个数排成如右图的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数555=a ，则表中所有数之和为___________．【答案】405[解析]记所有数之和为S ，则15253599()81405S a a a a a =++++== ．.18．设7211a a a ≤⋅⋅⋅≤≤=，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值为________． 【答案】33[解析] 由题意知q a =3，25q a =，37q a =且1≥q ，124+=a a ，226+=a a 且12≥a ，那么有22≥q 且33≥q .故33≥q ，即q 的最小值为33.19．设数列}{n a 前n 项和为n S ()*∈N n ，关于数列}{n a 有下列命题：（1）若1(*),n n a a n N +=∈则}{n a 既是等差数列又是等比数列； （2）若),(2R b a bn an S n ∈+=，则}{n a 为等差数列；（3）若}{n a 为等比数列，则,....,,232n n n n n S S S S S --成等比数列； （4）若,)1(1n n S --=则}{n a 是等比数列； 其中正确的命题是 ． 【答案】（2）（4）[解析] （1）中，{}n a 每项为0时，不是等比数列；（3）中{}n a 为1，-1,1，-1 是反例．20． 等差数列有如下性质：若数列{}n a 为等差数列，则当12...nn a a a b n+++=时，数列{}n b 也是等差数列；类比上述性质，若{}n c 为正项等比数列，则当n d = 时，数列{}n d 也是等比数列． 【答案】12n n c c c[解析] 类比推理.二、解答题21．已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)()n bn a a a a n N *⋅⋅⋅=∈，若{}n a 为a 11 a 12 … a 19a 21 a 22 … a 29… … … …a 91 a 92 … a 99等比数列，且1322,6a b b ==+. (1) 求n a 与n b ； (2) 设*11()n n nc n N a b =-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S (i )求n S ；(ii )求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.【答案】（Ⅰ）由题意12332(2),6n b n a a a a b b ⋅⋅⋅=-=知323(2)8b b a -==， 又由12,a =得公比()22q q ==-舍去，所以数列{}n a 的通项为2,N*n n a n =∈ (1)(1)2123=2=2n nn n n a a a a ++⋅⋅⋅，故数列{}n b 的通项为(1)n b n n =+（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知()*n n 1111111N 2(1)21n n n c n a b n n n n ⎛⎫=-=-=--∈ ⎪++⎝⎭所以()11,N*12n n S n n =-∈+ （ⅱ）因为12340,0,0,0;c c c c =>>> 当5n ≥时，1(1)c [1](1)2n nn n n n +=-+而11(1)(1)(2)(1)(2)222n n n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n +⋅+≤< 所以，当5c 0,n n ≥<时，综上，对任意N*n ∈恒有4,n S S ≥故4k =22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈，N 成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，，即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，故221n n a n S n =-=，.（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，整理得431m t =+-，因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12mb b b ，，成等差数列.23．已知数列{}n a 和{}n b 满足1a m =, 1n n a a n λ+=+, 2439n n n b a =-+. (1) 当1m =时,求证: 对于任意的实数λ,{}n a 一定不是等差数列； (2) 当12λ=-时,试判断{}n b 是否为等比数列； (3) 设n S 为数列{}n b 的前n 项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数m ,使得对任意的正整数n ,都有1233n S ≤≤?若存在,请求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）当1m =时,21231,1,2λλλ==+=++a a a假设{}n a 是等差数列,由1322a a a +=得232(1)λλλ++=+,即210λλ-+＝,∵△＝1-4＝-3<0,方程无解。
苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——三角函数
高三必过关题 三角函数一、 填空题例题1. 已知34sin ,cos 2525θθ==- ，则θ角所在的象限为__________． 答案：θ在第四象限解析：sin 0,cos 0,θθθ<>∴为第四象限例题2.α终边上有一点(4,3)P m m -，(0)m ≠,则2sin cos αα+的值为__________．答案：25±解析：3(0)355||,sin 35||(0)5m m r m m m α⎧->⎪-=∴==⎨⎪<⎩，4(0)5cos 4(0)5m m α⎧>⎪=⎨⎪-<⎩例题3. 若cos(80),k -=那么tan100=__________．答案： 解析：221cos800sin801,tan100tan80k k k -=>=-=-=-例题4. 已知扇形的周长为(0),c c >当扇形中心角为_________弧度时，扇形有最大面积答案：2rad解析：2r r cθ+=2cr θ∴=+∴22222122881628c c c S r θθθθθθ===≤=++++ 当且仅当82,2rad θθθ==时，S 最大例题5. ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0,A A A A +>-<则A 的取值范围是______．答案：324A ππ<< 解析：由tan sin 0,cos 0A A A -<<可知，所以A 为钝角，又sin cos 0A A +> tan 1A ∴<- 故324A ππ<<例题6. 若2sin ,cos 420x mx m θθ++=是方程的两根，则m 的值为__________．答案：1解析：由2sin cos ,sin cos ,12244m m m m θθθθ+=-=∴+=1m ∴=，又111sin cos ,sin 242242m m θθθ=-≤=≤故22m -≤≤1m ∴=例题7. 定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像交点为P ，过P 做1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于2P ，则线段12P P 的长为__________．答案：23解析：线段12P P 的长度即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =（(0,)2x π∈），解得1222sin ,33x PP =∴=例题8. 已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，若[0,],2x π∈则()f x 的取值范围是__________． 答案：3[,3]2-解析：2ω=，5[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴-∈-m i nm a x 3()3s i n (),()3s i n3622f x f x ππ∴=-=-==例题9. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos _____________θθθθ+-= 答案：45解析：原式=222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-===+++例题10. 函数lg(2sin 1)y x =-__________．答案：5[2,2)()36k k k Z ππππ++∈解析：{2sin 1012cos 0x x -≥-≥ 即1sin 21cos 2x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 5[2,2)()36x k k k Z ππππ∴∈++∈例题11. 设函数()2sin(),25f x x ππ=+若对任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为__________．答案：2解析：由1212,,()()()x x f x f x f x ≤≤由任意知12(),()f x f x 为最小值与最大值 12min ||x x ∴-为()f x 的最小正周期的一半，242T ππ== 22T∴=例题12. 已知22326x y +=，y +的最大值是__________． 答案：2解析：设,,x y θθ=cos 2sin()3y πθθθ+==+例题13. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ， 则 =+222cb a __________． 答案：3 解析:2sin cos cos sin sin()sin ()1()11cos sin sin cos sin sin cos sin sin C A B C A B CC A B C A B C A B++=∴⋅=∴= 22222222221332c a b c a b a b c c ab ab+∴=∴=+∴=+-⋅例题14. 23sin 702cos 10-=- __________．答案：2 解析：原式：3sin 7021cos 2022-==+-例题15. 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=__________．答案：79-解析：227cos(2)cos[2()]cos2()2sin ()136669ππππαπααα+=--=--=--=-例题16. 已知(0,),2πα∈且11sin 2cos ,5αα+=则tan _____________α=答案：34解析：2211sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得3sin 35tan 44cos 5ααα⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩例题17. 函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则=)0(f 答案：2例题18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C =，c =则a 与b 的大小关系是__________．答案：ab >解析：22222222120,,2cos 122()2,0C c c a b ab Ca ab ab aba b ab a b a ba b===+-∴=+--∴-=∴-=>∴>+例题19. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值__________．答案：解析：设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⋅=，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得 ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值例题20. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是__________．答案：,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦解析：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=+，由222262k x k πππππ-++剟，得36k x k ππππ-+剟.二、解答题例题21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．解析：由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π例题22.已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABCsin A +sin B 的值．解析：（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=．例题23.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
江苏省苏州市西安交大苏州附中2015届高三上学期10月月考数学试卷
江苏省苏州市西安交大苏州附中2015届高三上学期10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是．2．（5分）命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是．3．（5分）已知函数f（x）=2x+log3x+cosx，则f′（x）=．4．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则=．6．（5分）若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．7．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g （﹣10）=．8．（5分）计算：=．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣3x+m，g（x）=2x2﹣4x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[﹣1，2]上成立，则实数m的值为．10．（5分）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过小时，才能开车？（精确到1小时）11．（5分）已知函数，则=．12．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…（n∈N*）．若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．（用n表示）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（14分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示．（1）求证：AB1⊥平面B1CD；（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积V B1﹣ABC．17．（14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．18．（16分）已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．江苏省苏州市西安交大苏州附中2015届高三上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是{a|a≥2}．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；探究型．分析：先求出集合∁R B，利用A∪（∁R B）=R，确定实数a的取值范围．解答：解：∵B={x|1＜x＜2}，∴∁R B={x|x≥2或x≤1}，要使A∪（∁R B）=R，则a≥2．故答案为：{a|a≥2}．点评：本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．2．（5分）命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．考点：四种命题．专题：规律型．分析：根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题．解答：解：：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0，故答案为若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．点评：本题考查四种命题的形式，利用它们的形式写出需要的命题，注意“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，属于基础题．3．（5分）已知函数f（x）=2x+log3x+cosx，则f′（x）=2x ln2+﹣sinx．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则解答．解答：解：f′（x）=（2x+log3x+cosx）′=（2x）′+（log3x）′+（cosx）′=2x ln2+﹣sinx．故答案为：2x ln2+﹣sinx．点评：本题考查了导数的运算法则以及基本初等函数求导公式的运用，关键是熟练法则和公式．4．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞）．考点：函数的值域；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：当m=0时，检验合适；m＜0时，不满足条件；m＞0时，由△≥0，求出实数m 的取值范围，然后把m的取值范围取并集．解答：解：当m=0时，f（x）=，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣3）2﹣4m≥0，∴m≤1或m≥9，综上，0≤m≤1或m≥9，∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞）；故答案为[0，1]∪[9，+∞）．点评：本题考查函数的值域及一元二次不等式的应用．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则=．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题意可得f（x）的周期为4，而由对数的运算可化为f（），再结合奇函数的性质可化为﹣f（），而∈[0，1]，代入已知公式可得答案．解答：解：由题意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4 故=f（﹣log224）=f（﹣log2（8×3））=f（﹣3﹣log23）=f（4﹣3﹣log23）=f（）=﹣f（﹣）=﹣f（），而∈[0，1]故﹣f（）===﹣，故答案为：点评：本题考查函数的性质，正确推理并运用函数的性质是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f （3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．故答案为：m＞﹣2点评：本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．7．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g （﹣10）=2014．考点：函数奇偶性的判断；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是偶函数，构建方程求出f（﹣10）的值，即可以得到结论．解答：解：∵函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，∴f（﹣10）+（﹣10）3=f（10）+103=10+103，∴f（﹣10）=2010，则g（﹣10）=f（﹣10）+4=2010+4=2014，故答案为：2014点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．8．（5分）计算：=3．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由1.10=1，，0.5﹣2=4，lg25+2lg=2（lg5+lg2），能求出的值．解答：解：=1+4﹣4+2（lg5+lg2）=3．故答案为：3．点评：本题考查对数的运算性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和应用．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣3x+m，g（x）=2x2﹣4x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[﹣1，2]上成立，则实数m的值为2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得：﹣1，2是方程x2﹣x﹣m=0的根，解出即可．解答：解：由题意，x2﹣3x+m≥2x2﹣4x，即x2﹣x﹣m≤0的解集是[﹣1，2]，∴﹣1，2是方程x2﹣x﹣m=0的根，∴（x+1）（x﹣2）=0，∴m=2，故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质，以及其与不等式，方程的关系，本题属于基础题．10．（5分）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过5小时，才能开车？（精确到1小时）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先根据题意设x小时后，才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，”得到一个关于x的不等关系，解之即得答案．解答：解：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.3•（）x≤0.09，即（）x≤0.3，令x=1、2、3、4，可得（）x＞0.3，当x=5时，（）5≤0.3，则可得5小时后，可以开车．故答案为：5．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等关系及指数不等式的解法等，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．11．（5分）已知函数，则=8．考点：函数的值．专题：计算题．分析：探究得到结论f（x）+f（﹣5﹣x）=8，利用之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=+++，∴f（﹣5﹣x）=+++=+++，∴f（x）+f（﹣5﹣x）=[（+）+（+）+（+）+（+）]=8．∵﹣++（﹣﹣）=﹣5，∴f（﹣+）+f（﹣﹣）=8．故答案为：8．点评：本题考查函数的值，突出考查观察能力与运算能力，属于中档题．12．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，]．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f （x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．解答：解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为﹣4．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：由所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，建立a，b，c关系式，求得答案．解答：解：设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2∵s为定义域的两个端点之间的长度，就是[x1，x2]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）max]，且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区∴|x1﹣x2|=∵|x1﹣x2|==∴=∴a=﹣4故答案为：﹣4点评：本题借助二次函数及二次方程的有关性质，探讨函数的定义域和值域问题，注意二次函数的开口方向，形式比较新颖，是个中档题．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1﹣|x﹣2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，…（n∈N*）．若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6（3n﹣1）．（用n表示）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合确定零点的取值关系，利用数列求和的公式即可得到结论．解答：解：由①当x∈[1，3）时，，可画出f（x）在[1，3）上的图象，根据②f（3x）=3f（x），只要将f（x）在[1，3）上的图象沿x轴伸长到原来的3倍，再沿y轴伸长到原来的3倍即可得到f（x）在[3，9）上的图象，以此类推，可得到在[9，27），[27，81）…上的图象，关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点，可看成函数y=f（x）与y=a图象交点的横坐标，由函数y=f（x）图象的对称性可知：如图，所以就有，因此点评：本题主要考查函数图象与性质及等比数列求和．综合性较强难度较大，利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（14分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示．（1）求证：AB1⊥平面B1CD；（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积V B1﹣ABC．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定，AB1⊥CD，又AB1⊥B1C，且B1C∩CD=C∴AB1⊥平面B1CD；（2）AB1⊥平面B1CD，AB1即棱锥的高，后算出底面ABC的面积，代人棱锥体积公式计算．解答：解：（1）B1O⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴B1O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B1O=O∴CD⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D∴AB1⊥CD，又AB1⊥B1C，且B1C∩CD=C∴AB1⊥平面B1CD；…（6分）（2）由于AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面ABCD，∴AB1⊥B1D，在Rt△AB1D中，B1D==2，又由B1O•AD=AB1•B1D 得，∴V B1﹣ABC=S△ABC•B1O=…12分点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．17．（14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设口罩每只售价最多为x元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．解答：解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为（5﹣）万只，则由已知（5﹣）（x﹣6）≥（8﹣6）×5，即，即2x2﹣53x+296≤0，解得8≤x≤，即每只售价最多为18.5元．（2）下月的月总利润y=[5﹣]（x﹣6）﹣===﹣[]+，∵x≥9，∴，即=﹣[]+=14，当且仅当，即x=10时取等号．答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．点评：本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．18．（16分）已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由，依题意有：f'（2）=0，即，通过检验满足在x=2时取得极值．（Ⅱ）依题意有：f min（x，）≥0从而，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1＞1即a＞1时，进而求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵，依题意有：f'（2）=0，即，解得：检验：当时，此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，满足在x=2时取得极值综上：．（Ⅱ）依题意有：f min（x，）≥0，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，①当2a﹣1≤1即a≤1时，函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（1）=2﹣2a≥0，解得：a≤1；②当2a﹣1＞1即a＞1时，函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，此时：a∈Φ；综上所述：实数a的取值范围是a≤1．点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．19．（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；偶函数．专题：计算题．分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的范围为a＞1综上所述，所求a的取值范围为a＞1．点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k 值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．20．（16分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函数，由n＞m＞1，则h（n）＞h（m），化简整理，即可得证．解答：解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴k≥1即为所求；（3）令，则，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n，ln（mn n）m＞ln（nm m）n，∴（mn n）m＞（nm m）n，∴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．。
2015届江苏省苏州高三数学调研测试试题
2015届江苏省苏州高三数学调研测试试题（满分150）一．填空题（14×5分）1． 已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=▲ 2． 若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数则实数a 的值为 ▲ 3． 右图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图则其平均得分为▲4． 已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数则实数a 的值为 ▲ 5． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数3614,,2a a ==则45a a += ▲6． 一只口袋内装有大小相同的5只球其中3只白球2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为 ▲7． 右图是一个算法的流程图则最后输出W 的值为 ▲8． 已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同则9． 已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为▲10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲11．已知圆()()2210C y a a +-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点则当CPQ ∆的面积最大时此时实数a 12．函数()32122132f x ax ax ax a =+-++13．如图AB 是半径为3的圆O 的直径P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点且4,AQ AB ⋅= 则BQ BP ⋅的 值为 ▲14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点且四边形ABCD 的面积为25则正实数c 的值为 ▲YN3π2-3130.614x 84y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3:2244二．解答题（3×14分+3×16分）15．如图在平面直角坐标系xOy 中点,,A B C 均在单位圆上已知点A 在第一象限用横坐标是3,5点B 在第二象限点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形求点B 的坐标16．如图在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED17．如图有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿X X '的方向乙沿Y Y '的方向两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当为何值时甲乙两人的距离最短并求出此时两人的最短距离18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B 的任意一点直线是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程； （2）设直线AM 交于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点求椭圆C 的离心率()241625分()214B 分()1162λ= 分()214 证明略分(14分()12132t = 当时,分19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=- 其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n == 求数列{}n b 的通项公式 （3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的和20．设函数()()xf x ax ea R =+∈（1）若函数()f x 有且只有两个零点()1212,,x x x x <求实数a 的取值范围； （2）当1a =时若曲线()f x 上存在横坐标成等差数列的三个点,,A B C ①证明：ABC ∆为钝角三角形；②试判断ABC ∆能否为等腰三角形并说明理由()2211643x y += 分()216e =分()15 证明略分()121921n n b k -=+- 分()2231621k k T k =- 所求和分()()1,6a e ∈-∞- 分()()12,10a e ∈-∞- 分216ABC ∆不可能是等腰三角形分。
苏州市2015届高三第一次调研测试数学试卷(精)
苏州市 2015 届高三调研测试数学Ⅱ试题 2015．1 参考答案与评分标准21． A ．解：设⊙O 半径为 r，由切割线定理得， 2 即 12 ，解得 r=9．2 (4)分 (7)分…………………………………………10 分连结 OA，则有，又 CD ，所以 OA∥CD．所以，即 C． OA PO 15 5．解：解：设，由得：，分，，．分 C ．解：，圆的普通方程为：即， 24 …………………………………………………3 分…………………6 分直线的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：．．解:∵∴≥ ……………10 分………………………4 分……………………………7 分 18 y z ，当且仅当时取等号, 7 2 3 3 6 9 ∵，∴． 7 7 7 ∴的最小值为 18 3 6 9 ,此时．……………………………………10 分 7 7 7 7 高三数学答案第 5页，共 6 页22．解：（1）如图，以 CD ， CB ， CE 为正交基底建立空间直角坐标系，则 E (0,0,1 ， D( 2,0,0 ， B (0, 2,0 ， uuu r uur uu u r F ( 2, 2,1 ．( 2,0,1 ．，∴分平面 ADF 的法向量，，设平面 DFB 法向量，则，∴．从而令，得，2 ，……………………………………………………………………4 分，显然二面角为锐角，故二面角的大小为 60 ．………………………………………………6 分（2）由题意，设 P(a, a,0 (0≤a≤ 2 ，则，．∵PF 与 BC 所成的角为，，∴或（舍）， 2 2 所以点 P 在线段 AC 的中点处．……………………………………………………10 分 23．解： (1依题意，X 的可能取值为 1,0，－1，………………………………………2 分 X 的分布列为解得－1 1 2 1 4 1 4 ………………………………4 分 1 11 …………………………………………………………………5 分． 3 4 4 (2设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益，则 Y 的分布列为：Y P 2 α －2 β ……………………8 分 E(Y＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥ 1 9 ，∴≤α≤1．………………… 10 分 4 16 高三数学答案第 6页，共 6 页。
苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——解析几何
高三必过关题8 解析几何一、填空题例1 经过点P （2，-1），且过点A （-3，-1）和点B （7，-3）距离相等的直线方程 ___．． 答：x=2或x+5y+3=0.提示：若过P 点的直线垂直于x 轴，点A 与点B 到此直线的距离均为5，∴所求直线为x=2; 若过P 点的直线不垂直于x 轴时，设 的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y+(-1-2k)=0.由1|2137|1|2113|22+--+=+--+-k k k k k k ,即|5k|=|5k+2|, 解得k=-,51∴所求直线方程为x+5y+3=0； 综上，经过P 点的直线方程为x=2或x+5y+3=0.例 2 已知三角形的两个顶点是 B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2),第三个顶A 的坐标为 ． 答：（-19，-62） 提示： AC ⊥BH ， 51=-=∴BHAC k k , ∴直线AC 的方程为y=5x+33 (1)AB ⊥CH ， 31=-=∴CHAB k k , ∴直线AB 的方程为y=3x-5 (2)由（1）与（2）联立解得,6219⎩⎨⎧-=-=y x ∴A 点的坐标为（-19，-62）.例3过点()2,4A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ． 答： 0206=-=-+y x y x 或提示：容易遗漏过原点的直线例4 在平面直角坐标系中，点(1,2),(3,1)A B 到直线l 的距离分别为1,2，则符合条件的直线l 的条数为 . 答：2提示：以A 点为圆心，1为半径的圆与以B 点为圆心，2为半径的圆相交公切线只有2条。
例5若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围是 答：231<<a 提示： 容易忽视成为圆的条件0222>++F E D例6已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD 交于点(M ，且A CB D =，则四边形ABCD 的面积等于 ．答： 5提示：由AC BD =得弦心距相等，再由OM=3得弦心距为26，所以AC BD ==10例7 已知圆0622=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，则c = ．答： 3提示：因为OQ OP ⊥，所以以PQ 为直径的圆过原点，设此圆方程为032622=-+++-++）（y x c y x y x λ，则03=-λc 且03)3(221=--++-λλ例8曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 ． 答：⎥⎦⎤⎝⎛43125，提示：数形结合，注意曲线为上半圆，直线过定点（2,4）。
苏州高三数学模拟题
2015年江苏高考数学模拟试卷（四）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合{0,1,2}A =，{2}B x x =<，则AB = ▲ ．2．已知复数z 满足(1)1z i -=（其中i 为虚数单位），则=z ▲ ．3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 ▲ ．4．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任意取两个球，则这两个球颜色不相同的概率为 ▲ ．5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． 6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行． 其中，真命题的序号 ▲ ． 7．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ▲ ． 8．在平行四边形ABCD 中, 1AD =, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点．若1AC BE =, 则AB 的长为 ▲ ．9．已知a ，b ∈R ，若a 2+b 2－ab =2，则ab 的取值范围是 ▲ ．10．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a b = ▲ ． 11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点12,F F ，梯形的顶点,A B 在双曲线上且12F A AB F B ==，12//F F AB ，则双曲线的离心率的取值范围是 ▲ ．12．已知a ∈R ，关于x 的一元二次不等式22170x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知函数()21,1,2,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥若关于x 的函()()2221y f x bf x =++有6个不同的零点，则实数b 围是 ▲ ．14．已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=．（1）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的取值范围；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求cos()AB -的值．如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,90BAC ∠=︒, 1AB AC AA ==,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点．（1）求证：平面1A BC ⊥平面MAC ； （2）求证：//MN 平面11A ACC ．AMA 1CBB 1C 1N冬训期间，某足球队进行射门训练． 如图，已知这种训练用足球场地的球门框的长AB 为一名队员位于垂直于AB 的直线CD 上的点D 处，已知CD为(7米，且BC =（1）若该队员一直沿着射线DC 方向突破，则他跑几米后起脚射门可以使得射门角度(即射门瞬间足球与球框两端点,A B 连线所成角)最大？（2）假设该队员沿任何方向直线突破6米后，总有对方球员来干扰而迫使他射门，则要使此时射门角度最大他该向哪个方向跑？如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点A ，C 关于y轴对称，点A ，B 关于原点对称． （1）若椭圆的离心率为2，且A12），求椭圆的标准方程；（2）设D 为直线BC 与x 轴的交点，E 为椭圆上一点，且AD ，E 三点共线，若直线AB ，BE 的斜率分别为1k ，2k 试问，12k k ⋅请加以说明．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，()()ah x f x x=+． （1）求函数()f x 的解析式； （2）当12a =，1x >时，求证：()2h x x <； （3）若函数()h x 在[1,]e 上的最小值为3，求a 的值；在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．2015年江苏高考数学模拟试卷（四）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．AB ={0，1} 2．1122z i =+ 3． 808 4．325．20 6．②③7．148． 12 9．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10． 27 11． (()2,1212,3+⋃12．3033a <≤ 13． 322b -<< 14． 252解析：3．由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++；6．解：①缺少条件：两直线相交，因此错误；②即两平面垂直的判定定理，因此正确；③正确；④也可能会是直线在平面内，因此错误．所以答案为②③；8．由题设有()112AB AD AD AB ⎛⎫+•-= ⎪⎝⎭，打开即有211022AB AB AD -+•=，所以12AB =； 9．由2222a b ab ab +=+≥得，2ab ≤；又()2230a b ab +=+≥得23ab ≥-．m ∴∈2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；10．设{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，因为对任意的n ，总有314n n n S T +=，所以,p q 均不为1．令1n =，则11a b =，再分别令2,3n =，则有()()225112171p q p p q q ⎧+=+⎪⎨⎪++=++⎩，解得93p q =⎧⎨=⎩，3327a b =； 11．设点()00,B x y ，则()0012x ex a =-，所以02ax e =-，因0x a >，所以23e <<；又0x c ≠，故(()2,1212,3e ∈⋃；12．二次函数2()217f x x x a =-+的对称轴为174x =，所以3个整数为：3，4，5．所以(3)0(6)0f f ≤⎧⎨>⎩，解得3033a <≤； 13．由函数()f x 的图像可得，要使得函数()()2221y fx bf x =++有6个不同的零点，必须保证方程()22210g x x bx =++=在()0,1上有两个不同的根，2012320480b b b ⎧<-<⎪⎪+>⎨⎪->⎪⎩，解得32b -<< 14．连接OP ，则2MA =，所以M 的轨迹为圆()2214x y ++=，圆心到直线290x y +-==M 到直线290x y +-=的距离的最大值为2． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x∵]2,0[π∈x ，∴]34,3[32πππ∈+x ，1)32sin(23≤+≤-πx ． ∴]231,0[)(+∈x f ．（2）由2323)32sin()(=++=πA A f ，得0)32sin(=+πA ，又A 为锐角，所以3π=A ，又2=b ，3=c ，所以73cos322942=⨯⨯⨯-+=πa ，7=a ．由B b A a sin sin =，得73sin =B ，又a b <，从而A B <，72cos =B ． 所以，417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A 16．（1）证明：在Rt BAC ∆中，BC =在Rt 1A AC ∆中，1A C =1BC AC ∴=，即1ACB ∆为等腰三角形． 又点M 为1A B 的中点，1A M MC ∴⊥．又四边形11AA BB 为正方形,M 为1A B 的中点，∴1A M ⊥MAAC MA A ⋂=,AC ⊂平面MAC ,MA ⊂平面MAC1A M ∴⊥平面MAC（2）证明：连接11,,AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点，1//MN AC ∴． 又MN ⊄平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC ,//MN ∴平面11A ACC ．17．解：（1）设,CE x =则7DE x =．记AEB α∠=，()tan tan AEC BEC x x α=∠-∠==+，则当12x =时，tan α有最大值，又因为α是锐角，故此时α最大． 故当他跑)5米后起脚射门可以使得射门角度最大．（2）队员突破6米后在以D 为圆心，6为半径的圆上．问题转化为圆上的动点与点,A B 连线所成的角最大．以AB 为弦作圆M ，当圆M 与圆D 相切时，切点所在位置的射门角度最大（可以利用三角形外角计算公式及圆中圆周角的性质证明这个基本事实）．此时，设圆M 的半径为r ，点M 到AB 的距离为a , 则223a r +=；又在RT MND ∆中，MN =,7,ND a =，由勾股定理，联立解得8r =，a ，故tan MDN ∠3MDN π∠=．要使此时射门角度最大他该沿偏离CD 靠向球门3π大小的方向跑．18．解：（1）因为椭圆的离心率c e a ==22222a c b ==．又椭圆经过点A12），所以22221()221a b +=．联立方程，解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）不妨设点A （1x ，1y ），10x >，10y >，由椭圆的对称性可知点C ，B 的坐标分别为（1x -，1y ），（1x -，1y -），D （1x -，0）．设点E 的坐标为（2x ，2y ），因为点A ，E 都在椭圆22221x y a b +=上，所以有2211221x y a b +=和2222221x y a b+=， 即有22222121220x x y y a b --+=，即2212122121()()y y b x x x x a y y +-=-+-． 又直线AB 的斜率111y k x =，直线BE 的斜率21221y y k x x +=+， 由题意得2121121122121121()()()()()y y y y b x x k k x x x x a y y +-⋅==-+-． 因为A ，D ，E 三点共线，所以2121AE y y k x x -=-与111110()2AD y y k x x x -==--相等， 即2112112y y y x x x -=-，所以221211222121()2()()y b x x b k k x a y y a-⋅=-=--为定值． 故12k k ⋅为定值222b a-． 19．解：（1）f (x )定义域为R 的奇函数 ∴f (0)＝0 ，当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )∴f (x )＝ln ,00=0ln(),0x x x x x >⎧⎪⎨⎪--<⎩，（2）只需证：当x >1时，12ln 0x x x-->． 设ϕ(x )=12ln x x x --，ϕ'(x )=22(1)x x ->0（x >1） ∴ϕ(x )在(1,+∞)上单调递增，又ϕ(x )在[1,+∞)上不间断，∴当x >1时，ϕ(x )> ϕ(1)=0∴当a =12，x >1时，()h x <2x （3）h (x )＝ln x ＋a x ∴h '(x )＝1x －2a x ＝2x a x-，由h '(x )＝0得x ＝a ①当a ≤1时，f (x )在[1,e ]上单调递增∴h (x )min ＝h (1)＝a ∴a ＝3，不符合a ≤1，舍去②当1＜a ＜e 时，f (x )在[1,a ]上单调递减，在[a ,e ]上单调递增∴h (x )min ＝h (a )＝ln a +1=3 ∴a ＝2e ，不符合1＜a ＜e ，舍去 ③当a ≥e 时，f (x )在[1,e ]上单调递减∴h (x )min ＝h (e )＝1＋a e ∴1＋a e ＝3，即a ＝2e 综上所述：当a ＝2e 时，h (x )＝f (x )＋a x在[1,e ]上的最小值为3 20．解：（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +-=+，①由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +-=+， ②①+②得，113()n n n n a b a b +++=-+，所以{}n n a b +是以6为首项、3-为公比的等比数列．（2）由（1）知，16(3)n n n a b -+=⨯-，③①-②得，112n n n n a b a b ++-=-=-， ④③+④得，116(3)23(3)12n n n a --⨯--==⨯--， 代入1144n m n m a m a a m a ++-+=-+，得113(3)13(3)33(3)13(3)3n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+， 所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+， 整理得，(1)(3)3(3)0m n m +-+⨯-=，所以11(3)n m m -++=-，由m 是不超过100的正整数，可得12(3)101n m -+-≤≤，所以12n m -+=或4，当12n m -+=时，19m +=，此时8m =，则9n =，符合题意； 当14n m -+=时，181m +=，此时80m =，则83n =，符合题意． 故使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)．。
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苏州园区二中2015届高三国庆自主练习数学卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =．2．函数()f x 的定义域为 .3.13240.04(0.3)16---+= ．4．1{212}2a ∈---，，，，若幂函数a y x =为偶函数且在(0)+∞，上单调递减，则a = . 5．若函数k x x x f -+=2log )((k ∈Z * )在区间(2,3)上有零点，则k = ．6. 若条件p ：41≤+x ，条件q ：652-<x x ，则p 是q 的 .（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或、既不充分也不必要条件）7. 若函数()()()log 1401a f x x a a =-+>≠且的图象过定点(),m n ，则n m log = .8 ．已知函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]18-，,则b a -的取值范围是_____. 9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 10．已知函数()f x 满足(ln )f x x =，则(1)f =．11.函数)1(log 221+-=x y x 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为_________．12．已知a 为非零常数，函数()1lg 3(11)x f x a x -=+-<<满足(lg 0.5)1f =-，则(lg 2)f =．13．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______14. 已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本题满分14分）设全集}5|{-≥=x x U ，记函数)3lg(21)(x x x f -++=的定义域为集合A ，集合}2|{a x x B <<-=．（1）求集合∁U A ； （2）若集合B B A = ,求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，12()log (1)f x x =+．（1）求(0)f ，(1)f -； （2）求函数()f x 的表达式；（3）若(1)(3)0f a f a ---<，求a 的取值范围．17.（本题满分15分）若经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．18 ．已知函数2()(0,,)f x ax bx c a b R c R =++>∈∈(Ⅰ)若函数()f x 最小值是(1)0f -=,且1c =,(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩,求(3)(4)F F +-的值(Ⅱ)若1,0a c ==,且|()|1f x ≤在区间(]0,2上恒成立,试求b 的取值范围19．（本题满分16分）已知函数2()f x ax x =-⋅，(),)g x a b =∈R . (1)当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围； (2)当0b =时，a 为非负数，求f(x)在[1，2]的最大值。
(3)求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是的最小值；20．（本题满分16分）已知函数f(x)=x 2+3x|x-a|,，其中a R ∈，（1）当a=2时，把函数f(x)写成分段函数的形式； （2）当a=2时，求f(x)在区间[1,3]上的最值；（3）设a ≠0，函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．一．填空题}22|{<<-x x2. }1|{≥x x3.124.-25. 4.6.必要不充分.7.28.[3，6]，9. （-1，3）10.e 11.4 12.713.a ≤ 14. 15b ≤≤二．解答题：15.（1）∁U A=),3[]2,5[+∞-- ………………7分 （2）3≥a ………………14分16. 解析：（1）()00f = (1)(1)1f f -==- ………………4分（2）令0x <，则0x ->12()log (1)()f x x f x -=-+= ∴0x <时，12()log (1)f x x =-+………………8分∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0),1(log 0),1(log )(2121x x x x x f ………………9分（3）∵12()log (1)f x x =+在[0,)+∞上为减函数，∴()f x 在(,0)-∞上为增函数。
由于(1)(3)f a f a -<- ∴13a a ->- ………………13分 ∴2a >………………14分17.【解】（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=---＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600． （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元．18【答案】解:(Ⅰ)因为()f x 最小值是(1)0f -=,且1c =所以12(1)+10ba f ab ⎧-=-⎪⎨⎪-=-=⎩得⎩⎨⎧==21b a所以22)1(12)(+=++=x x x x f ,因为(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩所以7)4()3(=-+F F (Ⅱ)因为0,1==c a所以bx x x f +=2)(|()|1f x ≤在区间(]0,2上恒成立1)(12≤+=≤-bx x x f 在区间(]0,2上恒成立即 x xb x x -≤≤+-1)1(解得 232-≤≤-b 所以b 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,2 19．解： (1)当0b =时，()24f x ax x =-，若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………………2分 若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减， 必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩ ∴01a <≤．………………5分综上所述，a 的取值范围是[]0,1 ………………6分 （2）(3)若0a =，()f x =-，则()f x 无最大值，故0a ≠，∴()f x 为二次函数，………………8分要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且11b ≤，此时，0x ()f x 有最大值．又()g x 取最小值时，0x a =，a =∈Z ，则2a =，∵0a <且11b ≤，∴)20a a <∈Z ，得1a =-，此时1b =-或3b =． ∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---. ………………11分 20解：（1）2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=-+=2,622,64|2|3)(222x x x x x x x x x x f ……………………..4分（2）结合图像，4)1(=f ，4)2(=f ，29)23(,18)3(==f f 所以函数在区间]3,1[上最大值为18，最小值为4………..8分（也可写出单调区间，写出可能的最值点及最值）（3）当0>a 时，函数的图像如右，要使得在开区间),(n m 有最大值又有最小值，则最小值一定在a x =处取得，最大值在43ax =处取得；2)(a a f =，在区间),(a -∞内，函数值为2a 时2ax =，所以432a m a <≤；89)43(2a a f =，而在区间),(+∞a 内函数值为892a 时ax 8333+=，所以a n a 8333+≤<……………..12分当0<a 时，函数的图像如右，要使得在开区间),(n m 有最大值又有最小值，则最大值一定在a x =处取得，最小值在83ax =处取得，2)(a a f =，在),(+∞a 内函数值为2a 时4ax -=，所以483a n a -≤<，2169)83(aa f -=，在区间),(a -∞内，函数值为2169a -时，a x 8636-=，所以a m a <≤-8636……………..15分综上所述，0>a 时，432a m a <≤，a n a 8333+≤<；0<a 时，am a <≤-8636，483an a -≤<……………………..16分。