河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理)试题(含答案)
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理科)试题
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。
石家庄市第二中学2020届高三下学期0.5模数学(理)试题含解析
【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息，再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解。属于中档题。
16。F为抛物线 的焦点，过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线交于A，B两点， , 分别是该抛物线在A，B两点处的切线， ， 相交于点C，则 __________， _________.
（2)设 的方程，联立与椭圆的方程，求出 的坐标,再得出 的坐标,进而求得 的中垂线,再求得 的坐标，根据点N在椭圆内部得到不等式求解即可.
【详解】(1）设点 ， ， .
根据题意可知 。
故当 时 面积取最大值2。
(2) 设 直线的方程： .联立直线与椭圆的方程有 ，整理可得：
，因为 ，故 .代入 可得 。
【详解】如图,设 交平面 于 。因为 ，由球的对称性有 底面 .
又 ， 。故 。 ,
因为 ，所以 .
又 .故 .
故 。当且仅当 时取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.
12。已知函数 ，对于函数 有下述四个结论:①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意的 ， ，都有 成立；③ 有且仅有两个零点；④若 ，则 在点 处的切线与 在点 处的切线为同一直线。其中所有正确的结论有( ）
石家庄二中2020届高三年级0.5模考试数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ,则集合 ( )
A。 B。
C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据二次不等式与对数不等式方法求解 再求解即可。
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三 数 学(理科)
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三数 学（理科）本试卷共4页，23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）.(,1]A -∞- .(,1)B -∞- .[1,)C +∞ .(1,)D +∞ 2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A.,21000n n N ∀∈<B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤D.,21000n n N ∀∉≤ 3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12 B．2C ．1 D4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<6. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3C.3-D.7．已知函数()214f x x cosx =+的图像在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图像是（ ） A. B. C. D.8．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,69．如图所示，在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A.32B.48C.80D.6410．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π11．如图所示，已知函数()()(0),2f x sin x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点A 、B ，点1(,0)2C -，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，点O 是△ABD 的重心，则△ACD 的外接圆的半径为（ ）A ．2B ．57 C ．57D ．8 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称,其导函数为()f x ',当0x …时,不等式()()1xf x f x '>-. 若x R ∀∈,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市第二中学2020届高三数学一模教学质量检测试题理(含解析)
0) ， O 为坐标原点， F1 、
F2 为其左、右焦点，点 G
在
C 的渐近线上， F2G OG ，且 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
y 2x
A.
2
y 3x
B.
2
C. y x
D.
y 2x
【答案】D 【解析】 【分析】
根据 F2G OG ，先确定出 GF2 , GO 的长度，然后利用双曲线定义将 6 | OG || GF1 | 转化
ex ex
1 cos x 1
f
(x)
，
f (x) 为奇函数，排除 C，
当 x 0 时， f (x) 0 ，排除 B,D，
故只有 A 符合题意
故选：A.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶
性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
的运算求得点 G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于中档试题．
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多 达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗
浮宫博物馆.该油画规格为：纵 77cm，横 53cm.油画挂在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm(如图所示).有一身高为 175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶 T 到眼睛 C 的距离为
5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单
位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，则 x 、 y 的值分别为（ ）
A. 0，0
B. 0，5
C. 5，0
D. 5，5
2020年石家庄市二模数学有答案(理科).docx
2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 .3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第 I 卷( 选择题 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A. B.M={5， 6， 7 }C.， N={5， 7， 8 }D.，则2.若 F(5 ，0) 是双曲线(m 是常数）的一个焦点，则 m的值为3.已知函数 f(x) ，g(x) 分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44.的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605.的值为A. 1B.C.D.6.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件7.—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8.从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059.程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知a是实数，则函数_的图象不可能是11.已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线 l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域的概率为 P. 则下列结论正确的是A. 不论边长 AB， CD如何变化， P 为定值；B.若- 的值越大， P 越大；C. 当且仅当 AB=CD时， P 最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.M12.设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域 D n中整点的个数 ( 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第 II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.复数（i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.14.在ABC 中，，，则 BC 的长度为 ________.15.己知 F1 F 2是椭圆（ a>b>0) 的两个焦点，若椭圆上存在一点P 使得，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.16.在平行四边形 ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B1 C1 D1中有=________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知 S n是等比数列 {a n} 的前 n 项和， S4、S10、S7成等差数列 .(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18.( 本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 . 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费）. 为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位 :t) ，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 &则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III) 若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 ( 看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II) 中最低标准的人数为x，求x 的分布列和均值 .19.( 本小题满分 12 分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1交于AB=1，， D 为AA1中点， BD与点0，C0丄侧面 ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20.( 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1 ，定点 F(0 ，1) ，过平面内动点 P 作 PQ丄 l 于 Q点，且?(I )求动点P的轨迹E的方程；P 的纵坐标(II)过点P作圆的两条切线，分别交x 轴于点 B、 C，当点y0>4 时，试用 y0表示线段 BC的长，并求PBC面积的最小值 .21.( 本小题满分 12 分）已知函数( A, B R， e 为自然对数的底数），.(I )当 b=2 时，若存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(II)当a>0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过C1于点，求证.线段PQ的中点作 x 轴的垂线交请考生在第 22? 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交 CE 于 D 点，，BE2=DE-EC.( I ) 求证 :；( I I ) 求证： A、E、B、 C 四点共圆 .23.( 本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：, 且射线 C2与曲线 C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设 A、 B为曲线 C1与 y 轴的两个交点， M为曲线 C1上不同于 A、 B 的任意一点，若直线 AM与 MB分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证 |OP|.|OQ| 为定值 .24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲设函数(I) 画出函数(II)若不等式，的图象；恒成立，求实数 a 的取值范围.2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科答案 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.114. 1 或 215.1,116. 24( AB 2AD 2AA12 ) .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ） 当 q 1 ， 2S 10 S 4 S 7所以 q1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..2 分2a 1 1 q 10a (1 q 4 ) a 1 1 q 7由2S 10S 4 S 7 , 得11 q1 q 1 qQ a 10, q 1 2q 10q 4 q 7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分2a 1 q 8 a 1q 2 a 1q 5 ，2a 9a 3 a 6 ，所以 a 3, a 9, a 6 成等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ ) 依 意 数列a n 3的前 n 的 T n ,T n = a 13 a 23 a 33 K a n 313 q 3 ( q 2 )3 K ( q n 1 )3 = q 3 (q 3 )2 K (q 3 )n 1 (q 3 )1 2 3K (n 1) =( q 3)n(n 1)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又由（Ⅰ）得 2q 10q 4 q 7 ，2q6q31 0 ，解得 q31(舍）,q31. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21n n 12所以 T n2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分18. 解: （Ⅰ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（Ⅱ）月均用水量的最低 准 定 2.5 吨 . 本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占 本 体的 20%，由 本估 体，要保 80%的居民每月的用水量不 超 出 准 ， 月 均 用 水 量 的 最 低 准 定 2.5 吨 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）依 意可知, 居民月均用水量不超 （Ⅱ）中最低 准的概率是4，X ~ B(3, 4) ，55P( X 0) (1)31 P( X 1) C 314 (1) 2 12 5 1255 5125P( X 2) C 32 (4 )2( 1 ) 48 P( X 3) ( 4 )364⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 51255125分布列X0 12 3 P1 12 48 64125 125125 125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分E( X ) 3412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5519. 解：（Ⅰ）因 ABB 1A 1 是矩形，D AA 1 中点， AB1 ， AA 12 ，AD 2 ,2所 以 在 直 角 三 角 形 ABB 1中 , tan AB 1 BAB 2BB 1 ,2 在 直 角三 角 形 ABD 中 , tan ABDAD 2AB 1 2 ,所以 AB 1 B = ABD ,又 BAB 1AB 1 B 90o ，BAB 1ABD90o ，所以在直角三角形 ABO 中，故 BOA 90o ，即 BDAB 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分又因 CO 侧面 ABB 1 A 1 ， AB 1 侧面 ABB 1 A 1 , 所以 CO AB 1 所以， AB 1面 BCD , BC 面 BCD ,故 BC AB 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解法一：如 ，由（Ⅰ）可知，OA, OB, OC 两两垂直，分 以 OA, OB, OC x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 O xyz .在RtVABD中 ， 可求得OB6, OD6 , OC OA3 ，363在 RtVABB 1 中，可求得 OB 12 3 ，3故D 0,6,0 , B 0,6,0, C 0,0,3 ,633B 12 3,0,03uuur6,0 uuur6 , 3uuur 2 3 , 6,0所以 BD0,, BC0, , BB 123 333uuuur uuur uuur 2 3 , 2 6 , 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 可得， BC 1 BC BB 13 3 3uuur uuuur平面 BDC 1 的法向量 mx, y, z ， m BD0,m BC 1 0 ，23 x 2 6 y3z 0即333，取 x 1, y0, z 2 ，6y 02m 1,0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 面 BCD n 1,0,0 ， 故 cos m, n15 ，55所以，二面角C 1BD C 的余弦5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 5解法二： 接 CB 1 交 C 1B 于 E , 接 OE ，因CO侧面 ABB1 A1，所以BD OC ，又BD AB1，所以BD面 COB1，故BD OE所以EOC 二面角C1BD C 的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分BD6， AB13， AD AO1， OB12AB12 3 , 2BB1OB1233OC OA 1AB13，33在 RtVCOB1中， B1C OC 2OB121415，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分333又EOC OCE cos EOC OC 5 ，CB15故二面角 C1 BD C 的余弦 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分520.解：（Ⅰ） P x, y ， Q x, 1 ，uuur uuur uuur uuur∵QPgQF FP gFQ ，∴ 0, y 1 g x,2x, y 1 g x, 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分即 2 y 1x2 2 y 1 ，即x2 4 y ，所以点 P 的迹 E 的方程x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一： P (x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0)，不妨 b c ．直 PB 的方程:y y0( x b) ，化得y0 x( x0b) y y0 b0 ．x0 b又心 (0, 2) 到 PB 的距离2，2( xb)y0b2，y02(x0b)2故 4[ y02( x0 b)2 ]4( x0b)24( x0b) y0 b y02b 2，易知 y0 4 ，上式化得( y0 4) b2 4 x0 b 4 y00 ，同理有 ( y04)c24x0c 4 y0 0 ．⋯⋯⋯⋯ 6 分所以b c4x0 ，bc 4 y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y04y0 4(b c)216(x2y2 4 y)．000( y04)2因 P (x0 , y0 ) 是抛物上的点，有 x02 4 y0，(b c)216y02，b c4y04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( y04)2y0所以 S PBC 1(b c)y0 2 y0y02[( y04)168] 2y04y044 16832 ．当 ( y04) 216 ，上式取等号，此x042, y0 8 ．因此 S PBC的最小32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解法二： P(x0 , y0 ) ,y0x02， PB 、 PC 的斜率分k1、k2，4PB ：y x02k1 ( x x0 ) ，令 y0得x B x0x02，同理得 x C x0x02；44k14k2所以 | BC | | x B x C| |x02x02|x02|k1k2 | ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4k24k14k1 k2下面求 | k1k2 | ,k1 k22| k1 x0 2x02|由 (0, 2) 到PB ：y x0k1( x x0 ) 的距离2，得4 2 ，4k121因 y0 4 ，所以 x0216 ，化得 ( x024)k12x0(4x02)k1( x02)2x020 ，24同理得 ( x024)k22x0(4x02)k2( x02)2x020 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24所以 k1、 k2是 ( x024) k 2x0(4x02) k( x02) 2x020 的两个根.24x 0 x 024)x 2)22 2 x 021)(2 ( 0 x 0x 0 (所以 k 1k 2,k 1k 2 416 ,x 024x 02 4x 024| k 1 k 2 |(k 1 k2 ) 24k 1k 2x 02， |k 1 k 2 |1，x 024k 1k 2x 02116| xx|x 02|k1k2 |x 02 1 y1 4 y 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BC4k 1k 24 x 021y 0 1 y 0 4164所以 S PBC1| BC | y 02 y 0 y 0 2[( y 0 4)16 48]2y 0 4y 04 16832 ．当 ( y 0 4) 2 16 ，上式取等号，此 x 0 4 2, y 0 8 ．因此 S PBC 的最小 32． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （Ⅰ）当 b2 ，若 F (x)f ( x) g( x)ae 2 x 2e x x ，F (x) 2ae 2 x2e x 1 ，原命 等价于 F (x)2ae 2x2e x 1⋯0 在 R 上有解．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一：当 a ⋯0 ， 然成立；当 a0 ， F ( x)2ae 2x 2e x1 2a(e x1 )2 (1 1 )1 12a 2a∴ (10 ，即 a 0 ．)22a 合所述a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2法二：等价于 a1 ( 1)2 1 在 R 上有解，即2 e xe x∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2，x 2x1（Ⅱ） P( x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，不妨 x 1x 2x 0 ，2ae2x2bex2x 2 ， ae2 x 1bex1x 1 ，两式相减得： a(e 2 x 2 e 2 x 1) b(e x 2e x 1 ) x 2 x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分整理得x 2 x 1x 2 x 1 a(e x 2e x 1)(e x 2e x 1)b(e x 2 e x 1 )⋯ a(e x 2e x 1 )g2e 2b(e x 2e x 1)x2x 2 x 1x 1⋯2ae 2b ，于是ex2ex1x 2x 1x 2 x 1xx 1x 2 x 1f ( x 0 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分e 2⋯2ae2 be 2xxe 2e 1x 2x 1x 2 x 1x 2x 1x 2 x 1而e2e2xe xx x1e21e 2 1tt令 txx 0 ， G (t)e 2 e 22 1ttttG (t ) 1 e 2 1 e 2 1 12e 2 e 22 2 2t ，1 0 ，∴y G (t) 在 (0,) 上 增，ttttG(t)e 2 e 2t G(0) 0 ，于是有 e 2e 2t ，t即 e t 1 te 2 ，且 e t1 0 ，t t∴e21，e t 1即 f ( x 0 ) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分考生在第 22～ 24 三 中任 一 做答，如果多做， 按所做的第一 分22． 修 4-1几何 明明： ( Ⅰ) 依 意，DEBE ， 11 ，BEEC所以 DEB : BEC , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 得 3 4,因 4 5 ,所以 35 , 又 26 ，可得 EBD :( Ⅱ) 因ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因 EBD : ACD ，所以EDBD , 即 ED AD , 又 ADECDB , ADE : CDB ,AD CD BD CD所以 48 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 1231800 ，因 2 78 ，即 274 ，由 ( Ⅰ ) 知 35 ，所以1745 180 0 ,即 ACBAEB 1800 ,所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 23． 修 4-4 ：坐 系与参数方程2x2解： ( Ⅰ) 曲 C 1 的普通方程 2y 1 ，射 C 2 的直角坐 方程 yx( x 0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分可知它 的交点6 , 6 ，代入曲 C 1 的普通方程可求得 a 2 2 .3 32所以曲 C 1 的普通方程xy 2 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2( Ⅱ) | OP | | OQ | 定 .由 ( Ⅰ ) 可知曲 C 1 ，不妨AC 1 的上 点，M (2 cos ,sin ) , P(x P ,0) ， Q ( x Q ,0) ,因 直 MA 与 MB 分 与 x 交于 P 、 Q 两点，所以 K AMK AP , K BM K BQ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由斜率公式并 算得x P12 cos， x Q 2 cos, sin1sin所以 | OP | |OQ | x P x Q2. 可得| OP | | OQ |定 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分24.修 4-5 ：不等式解 : ( Ⅰ) 由于 f ( x)3x7,x 2,⋯⋯⋯⋯ 2 分3x5x 2.函数的象如所示 : （略）⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( Ⅱ) 由函数y f ( x) 与函数y ax 的象可知 ,当且当1a 3, 函数 y ax 的象与函数y f ( x)象没有交2点, ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以不等式 f (x) ax 恒成立,a 的取范1 ,3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2。
2020届 河北省石家庄市第二中学(南校区) 高三下学期教学质量检测模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河北省石家庄市第二中学（南校区）高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题一、单选题 1．已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】 复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2．设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A ．Q P ⊆ B ．P Q ⊆ C ．P Q = D ．P Q R =U【答案】B【解析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系. 【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞P Q ∴⊆故选:B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3．若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c ＜＜ B ．a c b ＜＜C ．c b a ＜＜D ．b c a ＜＜【解析】判断a 与1的大小关系,由4266c log log ＝＝可判断,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案. 【详解】 解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,4266c log log ＝＝ 222log 2log 6log 3<<Q , 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B. 【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小. 4．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz=+的形式,在可行域内通过平移y ax=找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（）立方分米.A．40 B．853C．30 D．733【答案】A【解析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积.【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52，则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米.故选:A.本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A ．314B ．37C ．67D ．1328【答案】B【解析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率. 【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7．已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =u u u r u u u r，则MF 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =u u u r u u u r 可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF . 【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A因为2MF FN =u u u r u u u r ,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =.由NFO NMA ∆∆:,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8．某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos 2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xx y e =【答案】C【解析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求. 【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B. 所以C 选项是正确的. 【点睛】题.9．如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45o ,30o 并测得120BCD ∠=o ，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A ．300mB ．600mC ．3003mD ．6003m【答案】B【解析】设AB x =,则,3BC AB x BD x =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x的方程,求出后即可得到AB 的长. 【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯o ＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B . 【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD ∠o ＝,60BCD ∠o ＝，现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至1D AC ∆处（1D 不在平面ABC 上）.若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角θ( )A ．(0,45)θ∈o oB ．(0,45]θ∈o oC ．(0,60]θ∈o oD ．(0,60)θ∈o o【答案】D【解析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60o ,但取不到60o .进而可求出θ的取值范围. 【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45o 为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=o ， 此时，1D ∈平面ABC .1D Q 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈o o .∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈o o .故选:D. 【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.11．设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min x x x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A ．[)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B ．[)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C ．()()(),x R f f x f x ∀∈≤D ．()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C【解析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题12．已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ）【解析】讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误.故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号. 13．函数lny x x=+在点()1,1处的切线方程为_____．【答案】210x y--=函数ln y x x =+ 则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --= 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足2,1a b ==r r ，若()()a ab b a b ⋅++⋅-r r r r r r 的最大值为1，则向量,a b rr 的夹角θ的最小值为__________，2a b +r r 的取值范围为__________．【答案】23π[]0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤r r r r r r ，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==r r ，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤r r r v v r r r v v ，解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈r v v r v v ，所以[]20,2a b +∈r r .点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15．飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124【解析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率. 【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为: 124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16．已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____ 【答案】2【解析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==；通过分析，将周长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F共线时'MN MF +取得最小值'NF =. 【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22=.故答案为: 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a = 设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.② ①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n n nT -=--<.即12...2n c c c +++<.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1.18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos θ=【解析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =P ，所以,BC ME BC ME =P ，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE P 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，()1,0,1CE =-u u uv设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++⨯++，进而求得5cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】（1）由AB 4=可求a可求c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程.（2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F 的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -Q ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=Q ，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠Q ，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()ni i i nii y yR yy ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程. 【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下，计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21．已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R .（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：）【答案】（1）4e;（2）1-. 【解析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明. 【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b=+Q ，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，0a <<；令'()0g a <得，a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为24e g ⎛= ⎝⎭.则ab 的最大值为4e.（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解，即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t--=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又21(1)0,0,()204p p p e e e ⎛=>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.22．.极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα的值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C 的直角坐标方程为40x -=;（2）⎡⎣.【解析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域. 【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a -=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为43,83⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+ 的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23．已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++的最大值．【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤<③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设21,21,21x a y b z c =+=+=+222x y xy +≥Q 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。
石家庄市二中2020年6月高三数学(理)高考模拟试题卷附答案解析
石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,32．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．5125．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?，100n >?D ．n 是奇数?，100n >?8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．311．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,413．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________.14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角P AB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.答案解析石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 由2340x x -++>得2340x x --<， 则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞.从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程 【详解】解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，(4)(1)a b i a b i ++=++，所以2222(4)(1)a b a b ++=++， 化简得250b +=，52b =-，所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2a -，所以z 对应点的轨迹为直线52y =-，故选：A 【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题. 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】 因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．512【答案】D【解析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为()223233111115444224113333x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P ==， 故选：D 【点睛】本题考查微积分的几何意义求面积，还考查了几何概型求概率，属于简单题.5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ． 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解 【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()xx f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -==== 101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论. 【详解】解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；对于②，由基本不等式得，()221929f x x x =++≥+，而22199x x +=+不成立，所以取不到等号，所以②错误；对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确； 对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，020*******x +≤”，所以④错误 所以正确的有1个， 故选：B 【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题. 9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C 【解析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】 因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象， 又因为()gx 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<， 所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确； 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．3【答案】D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OMb =，2MF a =，2OFc =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D ．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,4【答案】A【解析】分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得()()12111x x --=，3410x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围． 详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．当(]1,3x ∈时， ()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-，因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤．当()3,x ∈+∞时， ()2123522f x x x =-+， 3410x x +=且01m <<． 所以()()3412100,10m m x x m x x ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围．二、填空题13．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________. 【答案】5-【解析】根据二项展开式通项公式确定含x 的项的项数，进而确定含x 的项的系数. 【详解】因为53521551()()()(1)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，所以令5312r -=得1,r =因此含x 的项的系数为115(1) 5.C -=-【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得12221cos a b a bα⋅-==-⨯⋅=因为0απ≤≤所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1nn n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】 当2n ≥时，1nn n a S S -=-⋅，则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， 112a =，∴112S =，即112S =，()12111nn n S ∴=+-⨯=+， 所以11n S n =+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++， 当1n =时，112a =，不满足上式， 故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．【答案】438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[,]33.三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠ 【答案】（1）23APB ∠=π；（2）357sin 38PAB ∠=． 【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 的面积为532，利用153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =， 因为4AC PC ⋅=，4PCx=， 又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，所以AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，所以23APB ∠=π； （2）由153sin 232ABCS AC BC π=⋅⋅=△， 解得5BC =，则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB=∠∠，所以333572sin 3819PAB ⨯∠==． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角PAB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）226【解析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，3cos 6PEF ∠=，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以3cos 6PEF ∠=， 如图作PO EF ⊥，垂足为O ， 则363OE OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则112OP =，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,)2P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z x ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，则0111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 则(0,11,1)n =-是平面PAB 的一个法向量，311(1,,)22PC=-，则21122sin cos ,6126n PC n PC n PCθ⋅=〈〉===⋅⋅.所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：X20 253035 40P0.04 0.20.370.3 0.09故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【解析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题； （2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =>，从而构造函数11()ln 22h t t t t=-+，根据函数的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）2121()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>.令2()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当00a >⎧⎨∆>⎩，即1a >时，由()0f x '>，得201x a a <<--或21x a a >+-；由()0f x '<，得2211a a x a a --<<+-，∴()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.由（1）得1x ，2x 为2()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .所以()()()()22221212111ln22x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212212211112112ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.令21(1)x t t x =>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t-==-+， 因为2222211121(1)()02222t t t h t t t t t-+---'=--==<， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15(4)2ln 28h =-， 所以24t ≤≤，又()212212142([2,4])x x a t t x x t+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增， 所以2925424a ≤≤，所以实数a 的取值范围为325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),Mx y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ， 即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '，则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a ba ab bc c =++++++++39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立. （2）因为1111111111111122222a b c a b a c b c ab ac bc ⎛⎫⎛⎫++=+++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，111cb a a b c∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。
2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2x>12}，B={x|x+1x−2≤0}，则A∩B=()A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−1,2]D. [−1,2]2.在复平面内，复数z=2+3ii z=2+3ii对应的点的坐标为()A. (3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (3,−2)3.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，则|c⃗|的最大值为()A. 1B. √3C. 2D. 34.函数y=sin x⋅1+2x1−2x的部分图像大致为()A. B.C. D.5.在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩(单位：分).已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为()．A. 2，5B. 5，7C. 5，5D. 8，76.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？(注：1两等于10钱)()A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两7. 将函数f (x )=sin2x +cos2x 的图像向左平移π8个单位长度得到g(x)的图像，则g(x)在下列哪个区间上单调递减( )A. [−π2,0]B. [π16,9π16]C. [0,π2]D. [π2,π]8. 已知双曲线C ：x 23−y 2=1，则右焦点F 到渐近线的距离为( )A. √33B. 1C. √3D. 29. 已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A. 24πB. 18πC. 12πD. 6π10. 点P 是△ABC 所在平面内一点且PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 1511. 若0<y ≤x <π2，且tan x =3tan y ，则x −y 的最大值为( )A. π4B. π6C. π3D. π212. 下列说法正确的是( )A. 若f′(x 0)不存在，则曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处就没有切线B. 若曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在C. 若f′(x 0)不存在，则曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线斜率不存在D. 若曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤5,3x −2y ≥0,x −2y +1≤0,，则z =3x +y 的最小值为________． 14. 已知a =∫(1+√1−x 2)1−1dx 则((a −π2)x −3x)9展开式中的各项系数和为________ 15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且，则该椭圆的离心率是________．16. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E是线段SD上一点．(1)若E是SD的中点，求证：SB//平面ACE；DS，求二面角S−AC−E的余弦值．(2)若SA=AB=AD=2，SC=2√2，且DE=2318.已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{c n}的前n项和为n2+3n．2(1)求q的值；(2)求数列{c n}的通项公式；(3)数列{b n}满足b1=1，c n=b n+1−b na n+1，求数列{b n}的通项公式．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF=2FP，求直线l的方程;(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1=λk2?若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由．20.某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通，通过项目B、C的概率均为a(0<a<1)，且这三个测试项目能否通过相过项目A的概率为12互独立．用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E(X)(用a表示)．21.已知函数f(x)=x−lnx−1．(Ⅰ)求函数f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)若x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax−2恒成立，求实数a的取值范围．22.已知圆方程x2+y2+2x−6y+9=0，将它化为参数方程．23.已知函数f(x)=x2+2，g(x)=|x−a|−|x−1|，a∈R．(1)若a=4，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={x|2x>12}={x|x>−1}，B={x|x+1x−2≤0)={x|−1≤x<2},∴A∩B={x|−1<x<2}=(−1,2)．故选：A．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：【试题解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，是基础题．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．解：∵z=2+3ii =(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为(3,−2)．故选D．3.答案：C解析：解：由a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，可得c⃗=−(a⃗+b⃗ )，|c⃗|=|a⃗+b⃗ |≤||a⃗|+|b⃗ |=2．则|c⃗|的最大值为2，故选：C．利用|a⃗+b⃗ |≤||a⃗|+|b⃗ |即可求解．本题考查了|a⃗+b⃗ ≤||a⃗|+|b⃗ |的应用，属于中档题．4.答案：D解析：[分析]本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及利用极限思想是解决本题的关键，属于基础题．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想，判断当x →0时，函数值的符号，利用排除法进行求解即可． [解答]解：f(−x)=sin(−x)⋅1+2−x 1−2−x=−sinx ⋅1+2x 2x −1=sinx ⋅1+2x 1−2x=f(x)，则函数f(x)是偶函数，排除A ，C ， 在y 的右侧，即当x →0时，sinx >0，1+2x 1−2<0，则f(x)<0，排除B ，故选：D ．5.答案：B解析：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出x 、y 的值，即可解答问题，是基础题．根据茎叶图与题意，求出x 、y 的值，即可．解：根据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x ，21，27； ∵它的众数为l 5， ∴10+x =15，x =5；同理，根据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y ，18，27， ∵它的中位数为17， ∴10+y =17，y =7． 故x 、y 的值分别为：5，7． 故选B ．6.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，利用等差数列的通项公式即可得出．解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，所以a5=a1+4d=5.6，即10.4+4d=5.6，解得d=−1.2，可得a2=a1+d=10.4−1.2=9.2；a3=a1+2d=10.4−1.2×2=8；a4=a1+3d=10.4−1.2×3=6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．7.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，余弦函数的单调性．先化简f(x)，再根据三角函数得图象变换规律得到g(x)的解析式，最后对各选项分析，即可得到答案．解：由于函数f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，因此将函数f(x)=√2sin(2x+π4)的图像向左平移π8个单位长度得到g(x)=√2sin(2x+π2)=√2cos2x的图像．当x∈[−π2,0]时，2x∈[−π,0]，g(x)单调递增，故A不满足条件；当x∈[π16,9π16]时，2x∈[π8,9π8]，g(x)没有单调性，故B不满足条件；当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，g(x)单调递减，故C满足条件；当x∈[π2,π]时，2x∈[π,2π]，g(x)单调递增，故D不满足条件．故选C．8.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．求出双曲线渐近线方程，F的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．−y2=1，解：双曲线C：x23=1．则右焦点F(2,0)到渐近线x±√3y=0的距离为：√1+(±√3)2故选：B．9.答案：A解析：本题考查球的内接多面体等基础知识，属于基础题．将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．解：如图所示∵正四面体A−BCD，棱长AD=4，∴此三棱锥一定可以放在正方体中，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2√2，正方体的对角线长为2√6，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：√6，∴外接球的表面积的值为4π·(√6)2=24π．故选A．10.答案：B解析：本题考查平面向量加法法则、与面积有关的几何概型，根据向量条件得到P 的位置是解决本题的关键．属于基础题．设D 是BC 中点，由题可知2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点，则△PBC 与△ABC 的面积比即为此点取自△PBC 内的概率． 解：设D 是BC 中点， 因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故S △PBCS△ABC=13，所以此点取自△PBC 内的概率是13． 故选B ．11.答案：B解析：本题主要考查基本不等式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．要使x −y 最大，只需tan(x −y)最大，利用基本不等式求得tan(x −y)的最大值，可得x −y 的最大值． 解：∵0<y ≤x <π2且tanx =3tany ，∴0≤x −y <π2，要使x −y 最大，只需tan(x −y)最大．又tan(x −y)=tanx−tany1+tanxtany=2tany2=21tany+3tany ≤√33，当且仅当tany=√33时，等号成立， 此时，y =π6，tanx =√3，x =π3， 故x −y 的最大值为π3−π6=π6， 故选B ．12.答案：C解析：解：对于A，f′(x0)不存在时，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处不一定没有切线，∴A错误；对于B，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线时，f′(x0)不一定存在，∴B错误；对于C，当f′(x0)不存在时，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在，∴C正确；对于D，当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在时，曲线在该点处也可能有切线，此时切线垂直x轴，∴D错误．故选：C．根据导数的几何意义，结合题意，对每一个命题进行分析判断，适当地举出反例，说明命题是否正确．本题考查了导数的概念与应用的问题，解题时应利用导数的几何意义进行分析判断，是基础性题目．13.答案：94解析：本题主要考查线性规划问题，属于基础题．根据题意作出可行域，再利用目标函数的几何意义即可求解．解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z=3x+y在点A(12,34)处取得最小值，即z min=3×12+34=94，故答案为94．14.答案：−1解析：本题考查定积分的基本性质，二项式定理，利用定积分的性质解得a，再利用二项式定理的性质即可解得．解：，∴((a−π2)x−3x)9=(2x−3x)9，令x=1，可得展开式中的各项系数和为−1．故答案为−1．15.答案：√63解析：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．解：设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程可得x=±a√1−b24b=±√32a，可得B(−√32a,b2)，C(√32a,b2)，由∠BFC=90°，可得k BF⋅k CF=−1，即有b2−√32a−cb2√32a−c=−1，化简为b2=3a2−4c2，由b2=a2−c2，即有3c2=2a2，由e=ca ，可得e2=c2a2=23，可得e=√63．故答案为：√63．16.答案：f(x)=sin(2x+π3)解析：本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 依题意，可求得A =1，由T =π可求得ω=2，由，，可求得φ．解：由图知，A =1； 又T4=7π12−π3=π4，∴T =π，∴ω=2； ∵f(x)=sin(2x +φ)经过(7π12,−1)，，，，，又|φ|<π2，得φ=π3，∴f(x)的解析式为：f(x)=sin(2x +π3). 故答案为：f(x)=sin(2x +π3).17.答案：解：(1)连接BD 与AC 交点为O ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为BD 中点， 又因为E 为SD 中点， 所以OE//SB ，因为OE ⊂面ACE,SB ⊈面ACE ， 所以SB//面ACE ；(2)由已知SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴SA ⊥AC,在RT △SAC 中，由勾股定理可得AC =2， 所以三角形ACD 是等边三角形，则BD =2√3， 且四边形ABCD 是菱形，则AC ⊥BD ，以O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，以平行于SA 且过点O 所在的直线为Z 轴建立空间直角坐标系，所以D(√3,0,0),S (0,1,2),A(0,1，0)．∵DE =23DS ，E 为靠近S 的三等分点，∴E (√33,23,43)，则DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,23,43)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,23,43)，∵SA ⊥BD,AC ⊥BD,且SA ∩AC =A,SA ⊂面SAC 、AC ⊂面SAC ，∴BD ⊥面SAC ，取面SAC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0)， 设面ACE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以{OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0,∴{y =0√33x +23y +43z =0, 所以n 2⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−√3)， 则，所以二面角S −AC −E 的余弦值为4√1919．解析：本题考查线面平行的判定定理，利用空间向量求二面角，属中档题． (1)由已知OE//SA ，根据线面平行的判定定理证明即可； (2)建立空间直角坐标系，求出面的法向量，求二面角的余弦值．18.答案：解：(1)∵等比数列{a n }的公比q >1，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，∴a 3+a 5=2a 4+4=28−a 4， ∵a 3+a 4+a 5=28， 解得：a 4=8，a 3+a 5=20，即有q +q −1=52，解得q =2(q =12舍去)； 即q =2;(2)记数列{c n }的前n 项和为S n ， 则S n =n 2+3n 2，当n =1时，c 1=S 1=2， 当n ≥2时，S n−1=n 2+n−22，∴c n =n 2+3n 2−n 2+n−22=n +1，n =1时，c 1=2符合上式， ∴数列{c n }的通项公式c n =n +1； (3)由(1)得，a n =2n−1， ∵c n =b n+1−b n a n+1，∴b n+1−b n =c n ·a n+1=(n +1)·2n ，∴b n−b n−1=n·2n−1，b n−1−b n−2=(n−1)·2n−2...b2−b1=2·21=4，累加得，b n=1+2×21+3×22+⋯+n·2n−1=1×20+2×21+3×22+⋯+n·2n−1，n≥2，则2b n=1×21+2×22+...+n·2n，n≥2，以上两式相减得：b n=n·2n−1−(21+22+...+2n−1)=n·2n−1−2n+2=(n−1)2n+1，n≥2，当n=1时，b1=1也满足上式，∴b n=(n−1)2n+1．解析：本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q；(2)记数列{c n}的前n项和为S n，由c n=S n−S n−1即可求解；(3)由题意可得b n+1−b n=c n·a n+1=(n+1)·2n，再由数列的错位相减即可求解．19.答案：解：(1)因为a2=4，b2=3，所以c=√a2−b2=1，所以F的坐标为(1,0).设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，得(4+3m2)y2+6my−9=0，则y1=−3m+6√1+m24+3m2，y2=−3m−6√1+m24+3m2．若QF=2PF，则|−3m−6√1+m24+3m2|=2×−3m+6√1+m24+3m2，即3m+6√1+m 24+3m2=2×−3m+6√1+m24+3m2， 3m +6√1+m 2=−6m +12√1+m 2，解得m =2√55(舍负)， 故直线l 的方程为√5x −2y −√5=0． (2)由(1)知，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，所以my 1y 2=−9m 4+3m =32(y 1+y 2)，所以k1k 2=y 1x1+2⋅x 2−2y 2=y 1(my 2−1)y 2(my 1+3)=32(y 1+y 2)−y 132(y 1+y 2)+3y 2=13，故存在常数λ=13，使得k 1=13k 2．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定值问题．(1)由椭圆方程求出a ，b ，c ，可得F 的坐标，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，求得P ，Q 的纵坐标，再由QF =2FP ，可得m 的方程，解方程可得m ，进而可求直线l 的方程;(2)运用韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，my 1y 2，运用直线的斜率公式，化简整理可得常数λ的值，即可判断存在．20.答案：解：随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．P(X =0)=(1−12)C 2(1−a)2=12(1−a)2，P(X =1)=12C 20(1−a)2+(1−12)C 21a(1−a)=12(1−a 2)，P(X =2)=12C 21a(1−a)+(1−12)C 22a 2=12(2a −a 2)， P(X =3)=12C 22a 2=12a 2．X 的分布列为：X 的数学期望为：E(X)=0×12(1−a)2+1×12(1−a 2)+2×12(2a −a 2)+3×a 22=4a+12解析：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．21.答案：解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=1−1x ，∴f′(2)=1−12=12，f(2)=1−ln2，∴函数f(x)在x =2处的切线方程为：y −(1−ln2)=12(x −2) 即x −2y −ln4=0(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥ax −2恒成立， ∴a ≤1+1x −lnx x ，令g(x)=1+1x −lnx x，则g′(x)=lnx−2x 2=0，即x =e 2，可得g(x)在(0,e 2)上单调递减，在(e 2,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(e 2)=1−1e 2，即a ≤1−1e 2故实数a 的取值范围是(−∞,1−1e 2]．解析：(Ⅰ)求切线方程，关键是求斜率，也就是求f(x)在x =2时的导数，然后利用点斜式，问题得以解决；(Ⅱ)求参数的取值范围，转化为a ≤1+1x −lnx x，也就是求最值的问题，问题得以解决．本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．22.答案：解：{x =−1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)．解析：x 2+y2+2x −6y +9=0化为标准方程，(x +1)2+(y−3)2=1，∴参数方程为{x =−1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)．23.答案：解：(1)在a =4时x 2+2>|x −4|−|x −1|，g(x)=|x −4|−|x −1|={−3,x ≥4−2x +5,1<x <43,x ≤1，①在x ≥4时，x 2+2>−3恒成立．∴x ≥4．②在1<x <4时x 2+2>−2x +5即x 2+2x −3>0即x >1或x <−3． 综合可知：1<x <4．③在x ≤1时，x 2+2>3则x >1或x <−1，综合可知：x <−1． 由①②③可知{x|x <−1或x >1};(2)在a ≥1时，g(x)={1−a,x ≥ aa +1−2x,1<x <a a −1,x ≤1，g(x)取大值为a −1，要使f(x 1)≥g(x 2)，故只需2≥a −1． 则a ≤3.∴1≤a ≤3，在a ≤1时，g(x)={1−a,x ≥ 1−a −1+2x,a <x <1a −1,x ≤a ,g(x)最大值为1−a ，要使f(x 1)≥g(x 2)，故只需2≥1−a ． ∴a ≥−1， 从而−1≤a ≤1．综合以上讨论可知−1≤a≤3．解析：本题考查绝对值不等式及二次不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题．(1)将g(x)写成分段函数的形式，然后由二次不等式的解法即可求解．(2)分类讨论求出g(x)的最大值即可求解．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学（理科）
（时间：120 分钟 分值：150 分） 第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
17.（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD ,AB BC ， BC // AD, AB BC 1 AD ， E 是 PD 的中点．
在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？
A． 1 3
B． 2 3
C． 1 6
D． 5 6
7．将函数 f (x) cos 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间 4
[0, a] 上单调递减，则实数 a 的最大值为（ ）
A． 8
B． 4
C． 2
D． 3 4
命题：
①存在唯一点 P 使得 k 1； ②对于任意点 P 都有 k 0 ； ③对于任意点 P 都有 k 1； ④存在点 P 使得 k 1，
则所有正确的命题的序号为（ ）
A．①②
B．③
C．①④
D．①③
数学（理科）试卷 第2 页（共 4 页）
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
数学（理科）试卷 第1 页（共 4 页）
8．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) ， O 为坐标原点， F1, F2 为其左、右焦点，点 G
在C
的渐近线
上， F2G OG ， 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 2x
B． y 2 x 2
C． y 3 x 2
D． y x
9.正四面体 A BCD 中， E 是棱 AD 的中点， P 是棱 AC 上一动点，若 BP PE 的最小值为 14 ，则该正
四面体的外接球的表面积为（ ）
A． 32
B． 24
C．12
D． 8
10．已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，若在 ABC 内随机取一点，此点取自 GAB,
x y 2 0 13. 若实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 0 ，则 x y 的最小值为
x 2 y 4 0
1
10 14. 已知 m 1
1 x2 dx ，则 (
1
x)m 的展开式中 x2 的系数为
x
（用数字表示）
15.
已知点
P
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上一点，点 P 在第一象限且点 P 关于原点 O 的对称点为 Q ，
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
4
10
A．[2,2]
B． (1,)
C． (1,2]
D． (,1] (2,)
2．已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2) ，则 z （ ） 1 i
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
C． 3 1 i 22
3．设 a,b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
D． 3 3 i 22
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数
f
(x)
ex ex
1 cos 1
x
的部分图象大致为（
）
5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试
中的成绩（单位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，
2 （1）证明：直线 CE // 平面 PAB ； （2）求二面角 B PC D 的余弦值.
18.（12 分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条
件看不清，具体如下：
等比数列an的前 n 项和为 Sn ，已知
，
（1）判断 S1, S2 , S3 的关系并给出证明；
游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛 C 的距离为15cm ），设该游客离
墙距离为 xcm ，视角为 ．为使观赏视角 最大， x 应为（ ）
D． P2 P1 P3
A． 77
B． 80
C．100
D． 77 2
12．已知点 P 是曲线 y sin x ln x 上任意一点，记直线 OP ( O 为坐标原点)的斜率为 k ，给出下列四个