集合和命题的讲义1
集合与命题
一、集合集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体集合的特点：确定性、互异性、无序性。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
b5E2RGbCAP互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合的表示方法：列举法、描述法和图示法枚举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式描述法：{代表元素|满足的性质}集合符号：N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}Z：整数集合{…,-1,0,1,…}Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合(包括实数和虚数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合∅：空集合<不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）二、集合的关系包含：子集，真子集设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即，则称S是T的子集记为，如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S ，即，则称S是T的一个真子集等于：如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T三、集合的运算并集定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，记作A∪B<或B∪A），读作“A 并B”<或“B 并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
p1EanqFDPw交集定义：由属于A 且属于B 的相同元素组成的集合，记作A∩B<或B∩A），读作“A 交B”<或“B 交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
DXDiTa9E3d若A 包含于B ，则A∩B=A，A∪B=B补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所以元素，那么就称这个集合为全集，U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所以不属于集合A的所以元素所组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集RTCrpUDGiT 特性：Φ=U C U ，U C U =Φ，A A C C U U =)(意义：{}A x U x x A C U ∉∈=，三、 命题命题的概念<1）、判断真假的语句叫命题，命题常用陈述句表述。
第一讲 集合与命题及其关系
高考复习资料第一讲 集合与命题及其关系知识回顾 一、集合Ⅰ、集合具有确定性、互异性、无序性三个特征Ⅱ、空集是一种特殊集合，不含元素，是任何一个非空集合的真子集。
Ⅲ、集合常用的表示方法有：列举法，描述法，图示法。
Ⅳ、若一个集合中有n 个元素，则该集合的子集有__________个，真子集有__________个。
Ⅴ、常见的数集：自然数集_____；正整数集_____；整数集______；有理数集______；实数集______；复数集______； 二、命题Ⅰ、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题。
判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。
Ⅱ、四种命题的形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；（交换原命题的条件和结论）否命题：若┐p 则┐q （同时否定原命题的条件和结论）；逆否命题：若┐q 则┐p （交换原命题的条件和结论，并且同时否定）。
Ⅲ、四种命题的关系：互逆、互否命题之间的真假没有必然联系；互为逆否命题则同真同假。
Ⅳ、充分、必要、充要条件1)、如果命题“若p 则q ”为真，记为____________________，“若p 则q ”为假，记为____________________。
2)、如果已知p q ⇒，则p 是q 的_______________________，q 是p 的_________________________________。
3)、如果既有p q ⇒,又有q p ⇒，则p 是q 的____________________，记为____________________________。
4)、如果p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的___________________________________。
Ⅴ、反证法的一般步骤： 1）、假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2）、从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； 3）、由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题结论成立。
高一集合与命题知识点
高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。
通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。
本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。
一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。
在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。
下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。
2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。
3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。
4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。
5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
幂集的元素个数为2^n。
2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。
除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。
2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。
通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。
二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。
在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。
1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。
2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。
第一章 集合与命题
第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:例题讲解 例1 (1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD. AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .例5 已知下列两集合A 、B ，求AB ；(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6 同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合.例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，A B =∅.回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。
4集合与命题
Ex：已知非空集合 M 1, 2,3, 4,5,且若 a M,则 6 a M ,
求集合M的个数 23-1=7 7个
6 ．集合的运算：
①交集：A B { x x A且x B}
AB
AB
AB
②并集：A B { x x A或x B}
AB
A
B
AB
③补集：全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 1或2
Ex:已知P={0，1}，M={x∣x P}，则P 与M的关系为（ A ）
A P M B P M C P M D P M
Ex：设集合N {x x k 1 , k Z}，M {x x k 1 , k Z},则（B）
42
24
A M N (B)M N (C)M N DM N
一个充分不必要条件； a 0等
(3)求实数a的取值范围，使它成为 M P 5 x 8
的一个必要不充分条件。 ，5等
Ex：已知命题A：函数 f x x2 4mx 4m2 2 在区间
1,3 上的最小值等于2；命题B：不等式 x x m 1
对任意 x R成立；命题C：x m x 2m 1 x x2 1 0
Ex: 求满足 1, 2, 3 A 1, 2, 3,
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3,
, n的集合A的个数。
2n3
, n 的集合A的个数。
2n3 1
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3, , n的集合A的个数。
2n3 2
Ex：在集合 A 1, a2 a 1, a2 2a 2 中，a 的值可以是（A ）
(1)已知A、B、C中有且仅有一个真命题，试求实数m的 取值范围；
集合和命题知识点
集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。
本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。
集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。
我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。
集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。
如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。
如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。
例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。
集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。
一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。
集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。
命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。
例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。
命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。
命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。
否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。
命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。
真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。
通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。
step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。
它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。
这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。
第一章 集合和命题
戴博士课堂
集合的例子： ①某校高中一年级全体 学生； ②某次足球联赛参赛队 的全体； ③平面上到定点距离等 于定长的点的全体； ④所有的锐角三角形
戴博士课堂
例2.用适当的方法表示下列 集合： （ 1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合 A； （2）被3除余2的自然数全体组成的集 合B； （3）直角坐标平面上第二 象限的点组成的集合 C.
解：（ 1 ）有限集且元素个数很 少，适合用列举法 : A {2,4,6}; （2）集合B为无限集，用描述法表 示，B {x | x 3k 2, k N}；
1 解：①当a 0时，x , 集合A中仅有一个元素； 2 ②当a 0时，一元二次方程的判 别式 b 2 4ac (2) 2 4a(1) 4 4a 0, 解得：a 1. 综上，实数a的取值范围为 {a | a 1或a 0}.
1.2 集合之间的关系
王老师不是某校高中一 年级全体学生组成的集 合的元素； 一个等边三角形是所有 锐角三角形组成的集合 的一个元素。
戴博士课堂
集合元素的唯一性
对于一个给定的集合， 集合中的元素是各不相 同的.也就是说， 一个给定的集合中的任 何两个元素都是不同的 对象.集合中的 元素不重复出现 .
集合常用大写字母 A、B、C、 ...... 表示，集合中的元素用 小写字母 a、b、c、 ...... 表示.
戴博士课堂
例4. 写出集合{0,5,10}的所有子集和真子集.
解：(1)所有子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}， {0， 5,10}； （2）所有真子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}.
第一章 集合与命题
9
定义 2：对于两个集合 A 与 B，如果 A B 且 B A， 那么叫做集合 A 等于集合 B ，记作 A = B（读作集合 A 等于集合 B ）；
定义 3：对于两个集合 A 与 B ，如果 A B ，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做 B 的真子 集，记作： AÜ B或 B Ý A，读作 A 真包含于 B 或 B 真 包含 A .
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5．交集的运算性质
对于任何集合A、B，有 (1)A∩B＝B∩A； (2)A∩A＝A； (3)A∩Ø＝Ø ；
(4)A∩B ⊆ A，A∩B⊆B； (5)A∩B＝A⇔A⊆B
.
17
6．并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A； (2)A∪A＝A； (3)A∪Ø＝A；
(4)A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B； (5)A∪B＝B⇔A⊆B. 7．交集、并集、补集的关系 A∩(∁UA)＝Ø；A∪(∁UA)＝U. 8．常见结论 (1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B； (2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø.
2.若p q, q p,即p q,则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.
3.若p q, q p,则p是q的既不充分不必要条件. q是p的既不必要不充分条件.
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2010年上海15
A
32
2009年上海 15
A
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1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
• 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个 集合里，或者不在，不能模棱两可;
• 互异性：集合中的元素没有重复； • 无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的
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(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
三、 课堂练习
（上海，19）记函数f （x ）=1
32++-
x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A；
（2）若B A，求实数a的取值范围.
【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．
（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．。