2013高考导航 数学 第四章第3课时
2013年状元360一轮复习课件理科数学4.4
→ 表示船垂直于对岸的速度，B → 解析 如上图，设AB C表示水 → ＋B → → → 流速度，则由AB C＝A C，A C就是渔船的实际速度，航行时 间为：4÷ 2＝2(h)， 8 → → Rt△ABC 中，|AB|＝2，|AC|＝2＝4， → ∴|BC|＝2 3， 即河水的速度为 2 3 km/h.
分析 利用向量的模和夹角的有关数量可构成一定图形，再 利用已知要求变换不同向量位置找最值点．
解析 (1)依题意得|a|＝|b|＝1， 1 ∵a· b＝|a|· |b|cos〈a· b〉＝－2， 1 ∴cos〈a，b〉＝－2， ∴〈a，b〉＝120° ，由平几知识可求
1 B －2，
3 . 2
1．运用向量的合成和分解、数量积解决平面几何问题． 2．运用向量解决实际应用题．
考点一 平面向量与物理知识相结合的问题 示范1 一条渔船距对岸 4 km，以 2 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为 8 km，求河水的 速度．
分析 先根据题意画图，利用向量的物理意义求解．
π → → 或设AB＝a，则∠DAB＝3，|AD|＝2|a|， π → ∠BAC＝6，|AC |＝ 3a， π → → 则AC· AD＝ 3a×2a×cos6＝3a2， π → → AD· AB＝2a· a· cos3＝a2，∴C 错误． π → → AD· AF＝2a· a· cos3＝a2， 2π 1 2 → → AF· EF＝a· a· cos 3 ＝－2a ，
【点评】解决此类与方向、大小都有关系的应用题，关键 是建模，以有向线段表示题中有关的向量，利用图形及向量的 合成与分解，使得问题转化为熟悉的问题予以解决.
展示1
如右图所示，无弹性细绳 OA，OB 的一端分别固定
2013高考数学(文)北师大版一轮精品课件第四章函数应用(精)
第10讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1
例1
函数的图像的画法
作出下列函数的图像：
x＋2
(1)y＝|lgx|；(2)y＝2
x＋2 ；(3)y＝ . x－ 1
第10讲 │ 要点探究
[解答]
lgxx≥1， (1)y＝ －lgx0<x<1.
图像如图①.
第10讲 │ 要点探究
(2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位即可得到 y＝2x 2 的图 象，如图②.
[思路] 从已知图形中封闭曲线入手， 研究投影点 Q(x,0)的速 度的变化规律．
第10讲 │ 要点探究
[答案]B
[解析] 由图可知，当质点 P(x，y)在两个封闭曲线上运动 时，投影点 Q(x,0)的速度先由正到 0，到负，到 0，再到正，故 A 错误；投影点 Q(x,0)在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错 误；质点 P(x，y)在开始时沿直线运动，故投影点 Q(x,0)的速度 为常数，因此 C 是错误的，故选 B.
图10－1
第10讲 │ 知识梳理
Ⅱ.函数y＝f(|x|)的图像可以看作将函数y＝f(x)的图像的y 轴右边部分沿y轴翻折到y轴左边，替代原y轴左边部分， 并保留__________________________ 得到． 原y轴右边部分
图10－2
第10讲 │ 知识梳理
④伸缩变换： Ⅰ.函数 y＝af(ห้องสมุดไป่ตู้)(a>0)的图像可以看作将函数 y＝f(x)的图像
第10讲 │ 问题思考
►
问题 5
函数 y＝f(x＋a)与 y＝f(b－x)的图像关于直 )
a＋b 线 x＝ 对称．( 2
第10讲 │ 问题思考
2013年高考信息冲刺卷新课标名校导航(三)理科数学
2013年高考信息冲刺卷新课标名校导航（三）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则3(1)(2)i i i -++＝A ．1i +B ．1i --C ．13i +D ．13i --2．函数()||2f x x x x =-在()1,1-上是A ．增函数B ．减函数C ．没有单调性D ．单调性不确定3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于A ．63B ．31C ．15D ．74．连续掷两次骰子分别得到点数,m n ，则向量(,)a m n =与向量(1,1)b =- 的夹角2πθ>的概率是A ．12B ．13C ．712D ．5125．已知正弦曲线上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l的倾斜角的取值范围是A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[)0,π正视图侧视图C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．如图，为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）A ．6πB ．184πC ．18π+D ．32π+7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是A B C D 8．21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，常数项为15，则n 等于A ．3B ．4C ．5D ．69．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12- 10．已知向量(1,2)m = ，(2,3)n =- ．若向量p 满足()p m + ∥n ，p ⊥m n + ，则p＝A ．77,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．77,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．77,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．77,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11．在△ABC 中，已知3cos 5A =，5sin 13B =，则sinC ＝ A ．6365 B ．3365- C ．6365或3365-D ．566312．0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则A ．12()0,()0f x f x <<B ．12()0,()0f x f x <>C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知实数,x y 满足250,1,0,230x y x y x y +-≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+-≥⎩则目标函数y z x =的最大值为 ．14．设P 是椭圆2221(1)x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，则||PQ 的最大值为 ．15．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ． 16．已知()f x 是以2为周期的偶函数．当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]1,3-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有四个根，则k 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121321,,,,,n n a a a a a a a ---- 是以1为首项，13为公比的等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若23n n b na =，求{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12PA AC AB ==，N 为AB 上一点，4AB AN =，,M S 分别为,PB BC 的中点．（1）证明：CM SN ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小． 19．（本小题满分12分）设蓝球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假设A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 20．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，2(,0)a A c，A CM SN且122AF AF = ．（1）求椭圆的方程；（2）过1F ，2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于,,,D E M N 四点，求四边形DMEN 面积的最值．21．（本小题满分12分）定义域为R 的偶函数()f x ，当0x >时，()ln ()f x x ax a R =-∈，方程()0f x =在R 上恰有5个不同的实数解． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于,E D ，连接,EC CD ．（1）求证：直线AB 是O 的切线； （2）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知直线l 经过点(2,3)P ，倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之和． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()||(01)f x x a ax a =--<<． （1）解不等式()0f x <；（2）试判断()f x 是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由．2013年高考信息冲刺卷新课标名校导航（三）理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。
课堂新坐标2013届高考数学一轮复习课件：选修4-4第一节 坐标系(广东专用)
情
课 时 知 能 训 练
菜单
第十一页，编辑于星期日：二十点 十九分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
究
平面直角坐标系下图形的变换
·
提
知
能
x′＝3x，
自 主 落 实
· 固 基
在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：2y′＝y.
高 考
(1)则点 A(13，－2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标为________；
高
落
考
实
体
·
验
固
【答案】 一个圆和一条射线
·
基
明
础
考
情
课 时 知 能 训 练
菜单
第九页，编辑于星期日：二十点 十九分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
3．(2011·北京高考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是
探 究
________．
· 提
知
能
自 主 落
【解析】 ρ＝－2sin θ＝2cos(θ＋π2)，
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
【尝试解答】 (1)设点 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：
典
例
x′＝3x 2y′＝y
得yx′′＝＝2y3，x，
探 究
· 提 知
自
∴x′＝31×3＝1，y′＝－22＝－1.
能
主
∴点 A′的坐标为(1，－1)．
落 实
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点．
高 考
实 · 固
∴圆心的极坐标为(1，－π2)．
第4章 曲线运动 万有引力定律2013高考导航
曲线运动
万有引力定律
第四章
曲线运动
万有引力定律
第四章
曲线运动
万有引力定律
2013高考导航
考纲展示 1.运动的合成和分解 Ⅰ
2.曲线运动中质点的速度的方向沿轨道 的切线方向，且必具有加速度 Ⅰ
3.平抛运动 Ⅱ
第四章
曲线运动
万有引力定律
4.匀速圆周运动．线速度和角速度．周 期．圆周运动中的向心力．圆周运动的向 v 心加速度 a＝ r
2
Ⅱ
5.万有引力定律及其应用．人造地球卫星 的运动(限于圆轨道) Ⅱ
第四章
曲线运动
万有引力定律
6.宇宙速度．航天技术的发展和宇宙 航行 Ⅰ 7.实验五：研究平抛物体的运动
第四章
曲线运动
万有引力定律
命题热点 1.运动的合成与分解，可能会以选择 题的形式出现． 2.平抛运动规律的应用，可能单独考 查，也可能与圆周运动、功能关系综 合考查．
第四章
曲线运动
万有引力定律
3.竖直平面内的圆周运动也是高考的 热点，该类题型主要结合牛顿第二定 律和机械能守恒定律或能量守恒定律 进行考查． 4.运用万有引力定律及向心力公式分 析天体运动、航天技术、人造卫星的 绕行速度、运行周期以及计算天体的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四章
曲线运动
万有引力定律
质量、密度等是近几年高考的热点．
5.平抛运动的实验结合实际平抛运动
综合考查.
第四章
曲线运动
万有引力定律
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第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
真 (－1,3)，则命题“p且q”是________ 命题．(填“真”或“假”)
【解析】因为2是质数，所以p为真命题，q也是真命题，故p且q为真命题．
2.(选修1-1P15例1改编)命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是
2 ∃ x ∈ R ， x ＋x＋1≤0 ________________________ ．
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第一章
集合与常用逻辑用语
第一章
集合与常用逻辑用语
第1页
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第一章
集合与常用逻辑用语
第 3课
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2页
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第一章
集合与常用逻辑用语
栏 目 导 航
【解析】由存在性命题的否定知，命题p的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
第24页
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第一章
集合与常用逻辑用语
3. 已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex；命题q：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0.若命题“p∧
[e,4] q”是真命题，则实数a的取值范围是__________ ．
第一章
集合与常用逻辑用语
研题型 ·技法通关
第11页
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第一章
集合与常用逻辑用语
课堂导学 目标1 判断复合命题的真假 已知命题p：存在x∈R，使tan {x|1<x<2}，给出下列复合命题： ①p∧q；②p∧(¬ q)；③(¬ p)∨q；④(¬ p)∨(¬ q)． x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是
【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 4
上一个把α看成
角时原函锐数值的符号.
2. ±α， ±α的三角函数值等于α的 函数值，2 前面加上2 3一个把α看成
互余 角时原函数值的符号.记忆口诀为：
奇变锐偶不变，符号看象限.(注：奇、偶指 的
奇数倍或偶数倍.)
2
1已知△ABC中，cotA 12，则cosA=(
A. 12
5
B.
5
D)
13
13
5
由α是第二象限的角，知sinα＞0
＞cosα，所以sinα-cosα＞0.
由条件可得(sincos)212sincos1,
则2sinαcosα= - 2 .4
25
所以(sin-cos)2 2 51-2sincos49,
得sinα-cosα= 7.
25
5
参考题
题型 ：“1”的妙用
化简 1 - c o s 4
sin
2
sin 2 (1 (1 cos2
cos2
- sin cos4
2
-
)
sin
4
)
2 cos2
1 cos2 (cos2 sin 2 )(cos2 - sin 2 )
1
2 cos2 cos2 cos2
- sin 2
2 cos2 3cos2
2. 3
题型：切割化弦与齐次式的应用 2. 已知 tan -1,求下列各式的值:
所以结论成立.
【点评】：解决有关三角函数式的化简与证 明的问题,关键是合理选择公式和变形方向,如 异名化同名、整体代换、切化弦,等等.
化简 原c o s 式4 = sic n o 2 s 4 s in si2 n 2c o s 2 s in -2 c o s 1 c 4 o s2 ta -n c 4 o s 1 .4 c so in s4 4 .
2013走向高考数学详细答案4-2平面向量基本定理及向量的坐标表示
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
解析：设点 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， → → ∴AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)， → → DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)． → ＝1AB，DA＝－1BA， → → → ∵AC 3 3
x ＋1＝1 1 ∴ y1－2＝2 －1－x ＝1 2 ，和 2－y2＝2
高考数学总复习
→ 2→ → 1→ 解析：根据题意，设AM＝ AB，AN＝ AC，则由平 5 5 → → → 行四边形法则，得AP＝AM＋AN，且 AMPN 为平行四边 → S△ABP |AN| 1 S△ABQ 形， 于是 NP∥AB， 所以 ＝ ＝ ， 同理， 可得 S△ABC |AC| 5 → S△ABC 1 S△ABP 4 ＝ .故 ＝ . 4 S△ABQ 5 4 答案： 5
人 教
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
→ 1→ (理)如图所示，在▱ABCD 中，已知AE＝ BC，AC 与 3 → → BE 相交于点 F，AF＝λAC，则 λ＝________.
人 教
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
1 → → → → → 解析：设BA＝a，BC＝b.则BE＝BA＋AE＝a＋ b.而 3 → AC＝b－a， → → 所以AF＝λAC＝λ(b－a)． → → → 故BF＝BA＋AF＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.
→ → → m－1 a＋nb， 又CM＝OM－OC＝ 4
1 → → → CB＝OB－OC＝－ a＋b， 4 1 m－ 4 n 因为 C、M、B 三点共线，所以 ＝ ，即 4m＋n＝1 1 1 － 4
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栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
(3)数量积的几何意义：数量积a· b等于a的长
|b|cosθ 度|a|与b在a的方向上的投影___________ 的乘积． (4)数量积的性质 ①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e· a ＝a· e＝|a|cosθ；
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋ ＝ ， 2 2 2 10 ∴|a＋b|＝ . 2 设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α， a－b· a＋b 5 则 cosα＝ ＝ ＝ . |a－b||a＋b| 2 10 5 × 2 2 1 2
m为实数，求使m(a· 2－(m＋1)a· b) b＋1<0成
立的x的取值范围．
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
【解】 ∵a· 2＋x－x2＝x，∴m(a· 2 b＝x b) －(m＋1)a· b＋1<0⇔mx2－(m＋1)x＋1<0. (1)当 m＝0 时，x>1. 1 (2)当 m≠0 时，m(x－ )(x－1)<0. m 1 ①当 m<0 时，x>1 或 x< . m
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第3课时
平面向量的数量积 及应用举例
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
教材回扣夯实双基
基础梳理
1．平面向量的数量积 (1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它 |a||b|cosθ 们的夹角为θ，则数量_________叫做a与b的数 量积，记作a· b，即a· |a||b|cosθ b＝_________. (2)向量的投影：设θ为a与b的夹角，则 |a|cosθ _______ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方 向上)的投影．
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ 2 1 → → 2 ∴|CD | ＝ (CA＋CB) 4 1 →2 → → →2 ＝ (|CA| ＋2CA· ＋|CB| ) CB 4 1 ＝ ×(25＋2×5×5×cos60° ＋25) 4 75 ＝ ， 4 → 5 3 ∴|CD |＝ . 2 法二：由△ABC 是正三角形可知
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点探究讲练互动
考点突破 考点1 平面向量数量积的运算
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
例1 (1)在等边三角形 ABC 中，D 为
→ → → AB 的中点，AB＝5.求AB· ，|CD |； BC (2)给定两个向量 a＝(3,4)，b＝(2,1)，若 (a＋xb)⊥(a－b)，求 x 的值．
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
【题后感悟】
当向量a，b是用有向线段表
示的时，求其夹角，需求得|a|，|b|，及a· b或
得出它们之间的关系；当已知a，b的坐标
时，可直接代入公式求解；a· b<0是a，b的夹 角为钝角的必要不充分条件．
栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
x1x2＋y1y2 则(1)a· b＝__________；
x1＋y1 (2)|a|＝___________；
2 2
→ → (3)|BA|＝|AB|＝ x1－x22＋y1－y22；
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
x1x2＋y1y2 x2＋y2 · x2＋y2 1 1 2 2 (4)cosθ＝_____________；
与b的夹角为________．
解析：由(a＋2b)· (a－b)＝－6得a2－2b2＋ a· b＝－6. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴12－2×22＋1×2×cos<a，b>＝－6，
栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
1 ∴cos<a，b>＝ . 2 π ∵<a，b>∈[0，π]，∴<a，b>＝ . 3 π 答案： 3
(5)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
思考探究
若a· b<0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？
提示：不一定，也可能是平角．
栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
课前热身
1．已知向量 a，b 和实数 λ，则下列选项 中错误的是( A．|a|＝ a· a C．λ(a· b)＝λa· b ) B．|a· b|＝|a|· |b| D．|a· b|≤|a|· |b|
解析：选B.|ab|＝|a||b||cosθ|，只有a与b共 线时，才有|a· b|＝|a||b|，可知B是错误的．
栏目 导引
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2), 且 a⊥(a－b)，则实数x等于( )
A．9
C．0
B．4
D．－4
解析：选A.因为向量a＝(1,2)，向量b＝(x， －2)，所以a－b＝(1－x,4)，又因为a⊥(a －b)，所以a· (a－b)＝0，即1×(1－x)＋2×4
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ → → → 解析：选 A.据题意OB＝OA＋OC，AC＝ → → OC－OA， → → → → → → → 2 ∴OB· ＝(OA＋OC)· －OA)＝|OC| AC (OC → 2 －|OA| ＝5－5＝0.
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
平面向量、数系的扩充与复数的引入
【解析】 法一：以 D 为原点，分别以 DA、 DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系，设 DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0， x)， → → PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)， → → ∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)，
考点2 平面向量的数量积与向量的夹角
例2
1 已知|a|＝1，a· ，(a－b)· b＝ (a＋b) 2
1 ＝ ，求： 2 (1)a 与 b 的夹角的大小；(2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
1 【解】 (1)∵(a－b)· (a＋b)＝ ， 2 2 2 1 ∴|a| －|b| ＝ . 2 1 2 2 又∵|a|＝1，∴|b|＝ |a| － ＝ . 2 2
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
3 5 3 → → |CD |＝|CA|· sin60° ＝5× ＝ . 2 2 (2)a＋xb＝(3＋2x,4＋x)， a－b＝(1,3)， (a＋xb)⊥(a－b)⇔3＋2x＋3(4＋x)＝0， 从而 x＝－3.
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点3
平面向量的数量积与向量的模
例3 (2011· 高考天津卷)已知直角梯形
ABCD 中， AD∥BC， ∠ADC＝90° AD＝2， ， → → BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA＋3PB |的最小值为________．
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ → |PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25， → → ∴|PA＋3PB|的最小值为 5. → → 法二：设DP＝x DC(0<x<1)． → → ∴PC＝(1－x)DC， → → → → → PA＝DA－DP＝DA－xDC，
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第四章
【题后感悟】
平面向量的考查经常有两
种：一是考查加减法的平行四边形法则和 三角形法则，平面向量共线定理；二是考
查数量积，此时注意应用平面向量基本定
理，选择恰当的基底，以简化运算过程．
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
备选例题(教师用书独具)
例 已知a＝(1，x)，b＝(x2＋x，－x)，
平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ → → → 1→ PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋ DA. 2 → → 5→ → ∴PA＋3PB＝ DA＋(3－4x)DC， 2 5 → → 2 25 → 2 → → |PA＋3PB| ＝ DA ＋2× ×(3－4x)DA· DC 4 2 → → ＋(3－4x)2· 2＝25＋(3－4x)2DC2≥25， DC → → ∴|PA＋3PB|的最小值为 5.
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
1 ②当 0<m<1 时，1<x< . m ③当 m＝1 时，x∈∅. 1 ④当 m>1 时， <x<1. m
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
变式训练
1． 已知平行四边形 OABC 中(O 为坐标原 → → → → 点)，OA＝(2,1)，OC＝(1,2)，则OB· ＝ AC ( A．0 C．4 ) B．2 D．5
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a＋b)· (a－b)＝9. |2a＋b|＝3 2，|a－b|＝3.
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
设所求两向量夹角为 α，则 cosα＝ 9 2 ＝ ， 3 2×3 2 π ∴α＝ . 4
【答案】 C