行列式在高等数学中的渗透
行列式的应用讲解
摘要行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。
现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。
本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。
首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。
论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。
主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。
关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何The Application of The DeterminantAbstractThe determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects.Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry目录一、引言 (1)(一)研究背景与问题 (1)（二)文献综述 (1)（三)研究意义 (2)（四)研究目标 (2)二、行列式理论研究 (2)（一）行列式理论发展史 (3)（二）行列式的现代理论 (4)1.行列式的一些基本性质 (5)2.行列式的展开 (6)三、行列式在线性方程组中的应用 (7)四、行列式在中学几何领域的应用 (9)（一）应用行列式解决空间几何问题 (9)（二）行列式在平面几何中的应用 (13)（三）行列式在解析几何中的应用 (15)五、行列式在中学代数领域中的应用 (18)（一）应用行列式分解因式 (18)（二）应用行列式解决代数不等式问题 (19)（三）应用行列式求解方程 (21)（四）应用行列式分母有理化 (23)六、结束语 (24)致谢 ........................................... 错误!未定义书签。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是学习数学的一个重要分支，它包括微积分，线性代数，数学分析等多个学科的内容。
在大学阶段，高等数学是理工科学生必修的一门课程，它为学生提供了深入掌握数学知识的基础。
下面将对高等数学中的主要知识点进行总结。
微积分微积分是高等数学的重要内容，它包括微分学和积分学两个部分。
微分学微分学探讨的是函数的变化趋势，它通过导数定义函数的切线和函数在某一点的波动情况。
常用的微分运算有：1、导数的定义和求导法则导数的定义：对于函数f(x)，当x的增量越来越小时，函数在x处的导数为：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)导数的求导法则:常数乘积法则：(cf(x))'=cf'(x)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g(x)^22、高阶导数高阶导数定义: 给予函数f(x)，可以通过反复求导得到f(x)的高阶导数。
f'(x),f''(x),f'''(x)...3、微分中值定理和Taylor公式微分中值定理：对于函数f(x)，和它的两个不同点a,b(a<b)，则在f(a)和f(b)之间至少存在一个点c将f(b)-f(a)和f′(c)联系起来。
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)Taylor公式: 它用多项式函数来描述函数局部的变化特征。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示x→a时比(x-a)^n对应的函数趋近于0到一个高阶无穷小量。
行列式在高等数学中的应用
行列式在高等数学中的应用行列式是高等数学中的重要概念，它在许多数学问题的求解中起到了关键作用。
本文将从几个方面介绍行列式在高等数学中的应用。
一、线性方程组的解在线性代数中，我们经常需要求解线性方程组的解。
而行列式可以用来判断线性方程组是否有解以及计算解的个数。
具体来说，对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵A的行列式记为|A|，方程组的常数向量记为b。
如果|A|≠0，那么方程组有唯一解；如果|A|=0且b≠0，那么方程组无解；如果|A|=0且b=0，那么方程组有无穷多解。
二、矩阵的逆在矩阵论中，行列式也被用来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式|A|≠0，那么A存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在很多问题中有着重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的变换等。
三、向量的线性相关性行列式还可以用来判断向量的线性相关性。
对于n个n维向量组成的矩阵A，如果其行列式|A|≠0，那么这n个向量线性无关；如果|A|=0，那么这n个向量线性相关。
线性相关性的判断对于研究向量空间的性质以及解决相关问题都起到了重要的作用。
四、二次型的正定性在矩阵论中，二次型是一个重要的概念。
行列式可以被用来判断二次型的正定性。
对于一个n元二次型，我们可以将其用矩阵形式表示为Q(x)=x^TAX，其中x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
如果A的所有顺序主子式都大于0，那么二次型Q(x)是正定的；如果A的所有顺序主子式都小于0，那么二次型Q(x)是负定的；如果A的顺序主子式正负交替，那么二次型Q(x)是不定的。
正定性的判断在优化问题、极值问题等方面有着重要的应用。
五、平面与立体几何行列式在平面与立体几何中也有着重要的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用行列式计算两条直线的交点坐标；在立体几何中，我们可以用行列式计算线段、向量的长度，以及计算平面的面积和体积等。
行列式在高等数学中的应用非常广泛。
高考数学中的行列式解析技巧
高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。
它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。
在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。
本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。
一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。
通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。
行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。
而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。
行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。
以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。
下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。
二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。
探究中学数学的一种数学方法——行列式法
探究中学数学的一种数学方法——行列式法摘要：行列式是数学中的一个重要工具，那么行列式求解数学问题的过程则是一种重要的方法。
同时，行列式的出现也推动了诸多的数学理论的发展。
不论在初等数学中的方程组，还是高等数学中的诸多内容，许多数学问题的解法都含有行列式的元素。
它通常被人们间接应用，却很少被作为一种解题的方法推广应用。
然而，行列式能巧妙地解决很多数学问题。
关键词：行列式；初等数学；方法；推广引言：行列式是数学的一个重要的内容，也是解决数学问题的一个重要的工具。
行列式的主要内容放在高等数学部分来学习，也有引入到初等数学一部分简单的知识内容，但行列式应用到初等数学中比较晚。
在初等数学中，大家学数学的过程中常常用到了行列式的相关性质来解决问题。
然而，同学们很少直接应用行列式的方法来解数学问题，或许更多的同学根本就不知道行列式这个数学工具。
行列式的学习对培养学生的数学能力有着十分重要的作用，也将为学生学好诸多数学课程奠定了良好的基础。
因此，在行列式的学习中融入诸多数学内容的思想方法，以致可以把行列式使它们直观化，便于学生对知识的理解与掌握。
在数学教学的过程中老师们常想培养学生解题的高效思维方法，拓展学生的知识面。
但是，在解决数学问题时，多数还是离不开简单的几种常见方法，逻辑思维层面最终还是没能提高。
所以，笔者希望能和大家一起来分享行列式的发展史，了解行列式的产生与发展，它在其他理论的广泛应用。
再来看行列式如何巧解这几类中学数学问题的，也希望读者能将行列式推广应用，特别是广泛引入到中学数学课堂教学中。
1行列式的发展简史很多数学理论是在行列式的基础上发展起来的。
行列式的理论产生于线性方程组解的过程中，其实质就是由一些数值排列成的数表按一定的运算法则计算得到的一个数。
最早对线性方程组的研究出现于我国，在《九章算术》一书中的第八章早已有了典型的线性方程组问题，且用矩阵的形式标出来，还运用消元法求解行列式。
然而最早产生行列式的概念确是借鉴于我国数学的日本。
探析高等数学中行列式知识教学
１行列式的 引入 我们需要考虑接受者的接受能力来传授新知识，行列式知 识 的引入需要合理安排 ，因为这可 以使学生更理解行列式且加 强对行列式学习 的兴趣 。首先讲解最基础的二元一次方程组的 几何意义 ，解方程组必须让学生用 自己的方式 ： 随之另一种方 法就 由老师给 出，表示 出该方程组就通过在 图上用向量的方式 来算 出答案 。需要 由其 中一个 出现频率较高的式子定义 出来二 阶行列式 ，就能得 出一个平行 四边形 的面积正是其几何意义的 结论 。然后按照 由易入难 的原理给 出三元一次方程组 ，让学生 分析求解 ，但要模仿老师 的方法尝试性地进行 。要 由老师 的指 导得 出三阶行列 式的几何 意义是平行六面体体积 的结论 。 最后， ｒ ｔ 阶行 列式的情形必须要求 学生 思考出来。根据上述规律 ，可 推 断出一个 维体积就 是 ｎ阶行列式 的表示 ，而且必须让学生 课 后 自己去探索 ｒ ｉ 阶行列式的定义 。此 外，也要使学 生努力地 思考矩 阵的概念 ，两者的不同要被 比较 出来 ，从而铺垫好后面 的章节 。 ２ 行列式的性质 规律的另一种反映就是性质，想举一反三地解决更多 问题 必须掌握好性质 。行列式性质教学 中，不能要求死记硬背，而 需要讲解 、证 明每条 性质，理解性质 的涵义 ，而且 加上记忆 。 这样才能印象深刻 。围绕其性质进行应用是行列式计算中最重 要的 ，所 以必须掌握好行列式的性质 。总结起来 ，有如下基本 性质属于行列式 ： 行列式与其转置行列式相等 ； 行列式需变 号， 例： 计算ｒ ｌ 阶行列式 ＝ Ｉ ， ， ， Ｉ 当互换行列式中 的两行或者两列时 ； 一个数乘 以行列式中某行 或者某列等于这个乘 以此行列式 ； 一个不为零 的数乘 以行列式 中某行 或者 某列 ，另外一行或者 另外一列加上 ，行列式不变 解； 先观察 ，发现这个行列式的特点是每 行 （ 列）元素 的 行列式 为零的情况 ； 行列式 的某两 行或者某两列元素成 比例 ； 和均相等 ， 根据行列式 的性质 ， 把第２ ， ３ ， …ｎ列都加到第 １ 列上 ， 行列式可拆成另两个行列式 的和 ，当行列式 的某一列或者某一 行列式不变 ，得 ： 行可 以看成两列或两行 的和 。因为板书行列式 比较 费时，特别 ｂ ． ． ． ｂ 是 高阶行列式 。因此建议老师 ，在教学 中能结合多媒体来讲授 ｂ ． ． ． ０ 行 列式 知识 ，且着重 于如 何教会学生 思考 问题 、处理 问题 ，而 口一ｂ … Ｏ 不是 留出更多 的时间板书 。 ３行列式 的应用 对于数学这 门课程来说显得 比较含蓄的就是应用 ，它不是 ４ ． ２ 降阶法 （ 按照行 （ 列 ）展 开法 ） 。按某一行 （ 转下 页 ）
行列式的来源及应用
Yibin University本科生毕业论文题目行列式的来源及应用二级学院数学学院专业数学与应用数学学生姓名谢艳红学号 100203067 年级 2010级指导教师刘敏职称教授教务处制表2014年 5 月 3日行列式的来源及应用作者：谢艳红(宜宾学院数学学院10级励志班 四川宜宾 644000)指导老师：刘敏摘要：本文从行列式的来源及行列式的应用两个方面展开探讨.本文首先根据历史上各位数学家对行列式进行研究的先后顺序，介绍了行列式的来源和行列式的发展历史;然后通过例题展示了行列式在解线性方程组，向量空间相关理论,特征值与特征向量的求法，微分中值定理以及解析几何等方面的应用. 关键字：线性方程组 向量空间 解析几何 范得蒙行列式引言：行列式是高等代数课程中重要的内容之一，而且它作为一个基础工具,在数学中有广泛的应用。
从古至今，有许多位优秀的数学家对行列式以及行列式的应用进行了呕心沥血的研究,取得了令人瞩目的成就,这在行列式的发展史上具有重要意义.本文重点展示了行列式的应用.行列式的应用十分广泛,在高等代数课程中有许多内容与行列式有关，许多问题更是需要借助行列式这一基础工具才能解决。
而行列式在初等代数,数学分析以及解析几何中的应用也越来越多,运用行列式可以更为方便和快速的解决部分难题。
对于考研的同学来说,清楚而灵活地掌握行列式应用方法，可以在考研过程中达到事半功倍的效果.1、行列式的来源行列式和矩阵理论是伴随着线性线性方程组研究而引入和发展的.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是”解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一–莱布尼兹(Leibnitz ,1693年).他在研究线性方程组的解法时，开始用指标的系统集合来表示线性方程组的系数,并得到现在称为结式的一个行列式.大约在1729年马克劳林开始用行列式的方法解含有42-个未知数的线性方程组,还使用了现在所称的克莱姆法则。
高等数学方法在中学数学中的应用研究
高等数学方法在中学数学中的应用研究一、概述随着教育改革的不断深化和数学学科的不断发展，高等数学方法在中学数学中的应用逐渐受到广泛关注。
高等数学作为数学学科的重要组成部分，具有严密的逻辑体系、丰富的理论内涵和广泛的应用价值。
将其引入中学数学教学，不仅有助于提升学生的数学素养和思维能力，还能为中学数学教学注入新的活力和动力。
高等数学方法在中学数学中的应用，主要体现在以下几个方面：一是微积分思想的渗透，通过极限、导数、积分等概念，帮助学生理解函数的变化规律和图形的几何性质二是线性代数初步知识的引入，通过矩阵、向量等概念，培养学生的空间想象能力和问题解决能力三是概率统计知识的应用，通过概率、统计等概念，增强学生的数据分析和决策能力。
高等数学方法在中学数学中的应用也面临一些挑战和问题。
一方面，高等数学与中学数学的衔接不够顺畅，需要教师在教学实践中不断探索和完善另一方面，学生的数学基础和接受能力参差不齐，需要因材施教，合理安排教学进度和难度。
本文旨在探讨高等数学方法在中学数学中的应用策略和实践经验，以期为中学数学教学改革提供有益的参考和借鉴。
通过深入研究高等数学在中学数学中的具体应用案例，分析其在提升学生数学素养和思维能力方面的作用，以期推动中学数学教学质量的提升和学生全面发展。
1. 高等数学与中学数学的关系高等数学与中学数学之间存在着密切而复杂的关系。
从知识体系的角度来看，高等数学是中学数学的延续和深化。
中学数学为学生提供了基础的数学概念和技能，如代数、几何、三角函数等，而高等数学则在此基础上引入了更高级的概念和理论，如极限、微分、积分、线性代数等。
这些高等数学的知识和工具，不仅扩展了数学的应用领域，也为解决更复杂的问题提供了有力的武器。
从教学方法的角度来看，高等数学与中学数学也存在相互影响。
高等数学的教学方法往往更加注重理论性和抽象性，这要求教师在教学过程中更加注重启发和引导，帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。
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参考文献
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［】李 明 泉 ． 性 代 数 在 高 等 数 学 中 的 一 些 应 用［】长 春 师 范 学 院 １ 线 Ｊ． 学报 （ 科 学 版）２ ０ ，６４ ，７ ３ ． 自然 ，０ ７ ２ （）２ — ０ ［］同 济 大 学 应 用 数 学 系 ． 等 数 学 【 ． 京 ： 等 教 育 出 版社 ， ２ 高 Ｍ】 北 高
３行列式在 求函数 的解析式 ， 式的因式分解等 问题的应用 多项
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１ ４Ｓ ｏ ｅ 公 式 的 行 列 式 表 示 ’ ． ｔｋ ｓ
例 已知 函数 厂 ＝ａ ｘ ＋Ｃ （） ｘ ＋ｂ 。 Ｘ＋ｄ ，
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那 么 曲线 ｒ 在 点 Ｍ 处 的切 向量 为 ：
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上 述 公 式 和 结 论 利 用 行 列 式 来 表 示 非 常 便 于 记 忆 １． 多元 隐 函数 求偏 导 中二 阶行列 式的 应用 ， 文献【 】 这里略 ５ 见 ２。 １． 空间 曲线上 某点切 向量的 二阶 行列 式表 示 ６
把 上 看 成是 关 于 ａ ｂ Ｃｄ 的的 线 性 方程 组 ， ， ，， 它的 系数 行 列式 为 范 德 蒙 行 列 式
（ １ （ １ 一 一） 一 ） １
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Ｍ （ｏＹ， ） 曲线 ｒ 上 一 点 ， 设 Ｆ ， 具 有 连 续 的 偏 导 ｘ，ｏ 是 又 Ｇ
满足 ． －） Ｏｆ １＝ ６ｆ ２＝－ ， （ ＝ ４， （） ｆ １＝ ， （ － ， （） ９ｆ３ － 求ｆ ｘ （ ） ）
解 由已知条 件 ， 得
Ｐ ｘＹ ｚ， Ｙ ｚ， （， ，） （， ，） Ｑ（，，） ｘＹ ｚ 在曲面 ∑（ Ｒ 连同边界 Ｆ） 上具有
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ｌ（１ ＋ （ １ ＋ （ １ ｄ＝ ａ－） ｂ－） ｃ一） ＋ ０
１一些概念和结论的表示
１ １向量 积 ．混合积 的行 列式表示 见文献 ［ ． １ ＿
１ ７ 二重 积分 的换 元法 中雅可 比行 列式 的表 示见 文献 ［ 】 这里 略。 ． ３。
设五 ＋ ＋ ： ｂ ＋ ＋ ，： ＋ ＋ ： 则 ＝ 口７ 口 ，： ． ６ ｃ ｃ ｃ７ ｃ 歹 ＿ ，
２ 行列式在高等数学不等式证明中的应用
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利 用 三 阶 行列 式表 示 为 ×
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创 新 教 育
行列式在高等数 学 中的渗透
王 岩青 刘 守生 （ 解放军 理工大 学理学 院 南京 ２ １ ０ ） １ １ １ 摘 要： 对行 列式在 高等数 学 中的应 用作 了总结， 步揭示工科数 学两 门重要 的基础课 线性代数 与高等数 学之 同密切 的联 系。 初 关键 词 ： 行列式 线性代数 高等数 学 中图分类 号 ： １ ０１ ５ 文献 标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ４ ０ ８ （ ｏ ０ （） ｏ ５ － １ １ ７ － ９ ｘ ２ １ ） ７ｃ－ １ ４ ０ ６ ０
设有向 量场１ （，， ＝ＰｘＹｚ ＱｘＹｚ． （，，） ｘＹｚ （，，）＋ （，，）＋ Ｙｚ ５ ４ ） ７
Ｉ ． Ｉ ７
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从而证得
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