2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学(文科)
【河北省石家庄市】2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(文科)试卷-答案
2
a
a
g ' (x)＞0 ， g(x) 单调递增，即 f ' (x) 单调递增，
f ' (x)＞0 ， f (x) 单调递增， f (x)＞0 ，所以 a＞1 不成立． 2
综上所述： 0≤a≤1 ． 2
22．解：（Ⅰ）设点 P 的坐标为 (,) ，
则由题意可得点 Q 的坐标为 (, π) ， 3
又 AE EC ， DE EC E AE 平面CDE ，
CD 平面CDE ， AE CD ，又 CD AD ，
AD AE A ，CD 平面ADEF ．
（Ⅱ）由（1）知 CD 平面ADEF ， CD 平面ABCD ，
平面ABCD 平面ADEF ；
作 EO AD ，EO 平面ABCD ， EO 3 ，
5
y
50+85+115+140+160 =110 ， b 5
( xi
i 1 5
x)( yi (xi x)2
y) = 275 =27.5， 10
i 1
a= y bx=27.5 所以， y 关于 x 的回归方程为： yˆ 27.5x 27.5 ．
将降雨量 x 6 代入回归方程得： yˆ 27.5 6 27.5 192.5 193 ．
连接 AC，则VABCDEF VC-ADEF VF ABC
-1-/4
VC- ADEF
1 3
S ADEF
CD 1 1 (2 4) 32
344 3 ，
1 VF -ABC 3
S△ABC
OE 1 1 2 4 32
34 3， 3
数学---河北省石家庄二中2018届高三(上)8月模拟试卷(文)(解析版)
河北省石家庄二中2018届高三（上）8月模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，，则A∩B=（）A．{﹣3} B．{3} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}2．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），ln x0=1﹣x0，则命题p的真假及￢p依次为（）A．真；∃x0∈（0，+∞），ln x0≠1﹣x0B．真；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x C．假；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x D．假；∃x0∈（0，+∞），ln x0≠1﹣x0 3．（5分）设复数z满足（1+i）z=3+i，则=（）A．2+i B．﹣2﹣i C．1+i D．﹣1﹣i4．（5分）已知命题p：x＞y＞1，命题q：3x＞3y＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，若存在非零实数λ，使得，则t=（）A．6 B．﹣6 C．D．6．（5分）点是角660°终边上一点，则a=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．（5分）已知α为锐角，且，则sin（π﹣α）=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，点D为BC边上一点，且BD=2DC，则=（）A．3 B．2 C．D．9．（5分）已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数的部分图象如图所示，若方程f（x）=a在（0，x0）上有两个不同的实数解x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）的取值范围是（）A．{0} B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设，若g（ln2017）=2018，则=（）A．2017 B．2018 C．﹣2016 D．﹣201512．（5分）已知对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，则的最大值是（）A．1 B．﹣1C．e D．﹣e二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．14．（5分）已知函数f（x）=（2﹣x）cos x+b，若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为ax﹣y+1=0，则a﹣b=．15．（5分）已知平行四边形ABCD，AB=AD=1，BC=CD，∠BCD=60°，则四边形ABCD面积的最大为．16．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（2|x|）﹣a有零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cos B+b cos C=0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且，求c．18．（12分）结合命题p：函数在（﹣∞，0）上是减函数；命题q：函数的值域为[0，+∞）．（Ⅰ）若p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知=（sin x+cos x，sin（x+）），=（sin x，2cos x（x+）），．（Ⅰ）求f（x）的最小值及f（x）取得最小值时x的取值集合；（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数f（x）=x e x﹣（x+1）2．（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值与最小值；（Ⅱ）若x＜0，求证：f（x）＜﹣x﹣1．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=1，且f（x）是偶函数，求b的值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=4，且A={x|f（x）=（b+1）（x+1）}=∅，求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣ln x（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】集合A={﹣1，1，3}，={x|x＞0且x≠1}，∴A∩B={3}．故选：B．2．B【解析】由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x0∈（0，+∞），ln x0=1﹣x0，当x0=1时，ln x0=0，1﹣x0=0，ln x0=1﹣x0，则P为真命题．P的否定为；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x，故选：B．3．A【解析】∵（1+i）z=3+i，∴z====2﹣i，∴=2+i，故选：A4．A【解析】由命题q：3x＞3y＞1，可得x＞y＞0，∴由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．B【解析】=（2，2+t）．∵存在非零实数λ，使得，∴3（2+t）﹣2t=0，解得t=﹣6．故选：B．6．A【解析】tan660°=tan（360°+300°）=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣，∴=﹣，∴a=﹣3，故选：A7．A【解析】α为锐角，∴＜α+＜，又，∴cos（α+）=±；当cos（α+）=时，sin（π﹣α）=sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=＜0，不合题意，舍去；当cos（α+）=﹣时，sin（π﹣α）=sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣（﹣）×=＞0，满足题意；综上，sin（π﹣α）=．故选：A．8．D【解析】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，∴==+==，∴===+×1×2×cos120°=．故选D．9．B【解析】由函数的图象可知函数是偶函数，选项A函数是奇函数不成立．x=0，函数没有意义，所以选项C的函数不成立；x＞1时，f（x）==，函数是减函数，所以选项D不成立；故选：B．10．C【解析】由已知函数图象得到x=0时，cosφ=，φ∈（0，），所以φ=，由函数周期为2，所以x0=，方程f（x）=a在（0，x0）上有两个不同的实数解x1，x2，f（x1）=f（x2），则x1f（x1）+x2f（x2）=f（x1）（x1+x2）=，x1∈（0，），f（x1）∈（﹣1，），所以x1f（x1）+x2f（x2）的取值范围是（﹣）；故选C．11．D【解析】∵函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设令m=m=0，则f（0）=2f（0）﹣1，解得：f（0）=1，令m=x，n=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（x）+f（﹣x）=2，∵，∴=，故g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）+1=3，∴g（ln2017）+=2018+=3，即=﹣2015，故选：D．12．C【解答】解法一：当n≤0时，不等式不可能恒成立，故n＞0，若∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，则当x=n时，ln n+1≥m﹣1即可，故ln n+2≥m，即，令g（n）=，则g′（n）=，当n∈（0，）时，g′（n）＞0，g（n）为增函数，当n∈（，+∞）时，g′（n）＜0，g（n）为减函数，故当n=时，g（n）取最大值e，故的最大值是e，故选：C．解法二：∵对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，∴对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，令f（x）=，则f′（x）=，故当x=n时，函数f（x）取最小值ln n+2，故ln n+2≥m，即，令g（n）=，则g′（n）=，当n∈（0，）时，g′（n）＞0，g（n）为增函数，当n∈（，+∞）时，g′（n）＜0，g（n）为减函数，故当n=时，g（n）取最大值e，故的最大值是e，故选：C．二、填空题13．【解析】设幂函数f（x）=xα，把点代入函数的解析式可得（）α=，解得α=，故函数的解析式为f（x）=．故答案为：．14．0【解析】∵函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为ax﹣y+1=0，则切点坐标为（0，1），故，即，解得：即：a﹣b=0，故答案为：0．15．【解答】解已知四边形ABCD为平行四边形，AB=AD，BC=CD，∠BCD=60°，则四边形ABCD为菱形．由于AB=AD=1，BC=CD，∠BCD=60°，所以：AC=，BD=1．所以：．故答案为：．16．[﹣1，2]∪[3，+∞）【解析】∵2|x|≥1，∴函数g（x）=f（2|x|）﹣a有零点等价于方程f（x）=a在[1，+∞）上有解，（1）若a≤1，则当x∈[1，+∞）时，f（x）=x2﹣2≥﹣1，∴﹣1≤a≤1．（2）若a＞1，当x∈[1，a）时，f（x）=x+2，∴3≤f（x）＜a+2，∴3≤a＜a+2，解得：a≥3，当x∈[a，+∞）时，f（x）=x2﹣2≥a2﹣2，∴a≥a2﹣2，又a＞1，解得1＜a≤2．综上，a的取值范围是[﹣1，2]∪[3，+∞）．故答案为：[﹣1，2]∪[3，+∞）．三、解答题17．解：（Ⅰ）由（2a+c）cos B+b cos C=0及正弦定理，可得2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C=0，即2sin A cos B+sin（B+C）=0，由A+B+C=π可得sin（B+C）=sin A，所以sin A（2cos B+1）=0，因为0＜A＜π，sin A≠0，所以．（Ⅱ）由得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，又因为BD⊥AC，所以△ABC的面积，把，带入得，所以，解得c=5．18．解：（Ⅰ）若p为真命题，则在（﹣∞，0）上是减函数；因为x∈（﹣∞，0）且，所以，故在（﹣∞，0）上是减函数；所以要使在（﹣∞，0）上是减函数，应满足3a＞1，由得，即实数a的取值范围是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若p为真命题，则，若q为真命题，则函数的值域为[0，+∞），所以42﹣20a≥0，解得，所以，若q为真命题，则．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．若p真q假，则有，所以；若p假q真，则有，所以．故实数a的取值范围为．19．解：∵（Ⅰ）因为，所以，=++sin（2x+）=++cos2x=，所以当时，f（x）取得最小值，此时，即，所以f（x）取得最小值时，x的取值集合为．（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）+的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以当，即时，g（x）单调递增，所以，g（x）的单调递增区间是．20．解：（Ⅰ）因为f（x）=x e x﹣（x+1）2，所以f'（x）=（x+1）e x﹣2（x+1）=（x+1）（e x﹣2），令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=ln2，f'（x），f（x）的变化如下表：﹣f（x）在[﹣1，2]上的最小值是﹣（ln2）2﹣1，因为，所以f（x）在[﹣1，2]上的最大值是2e2﹣9．（Ⅱ）f（x）﹣（﹣x﹣1）=x（e x﹣x﹣1），因为x＜0，所以f（x）＜﹣x﹣1⇔e x﹣x﹣1＞0，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x＜0时，g'（x）＜0所以g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，g（x）＞g（0）=0，所以e x﹣x﹣1＞0，即x＜0时f（x）＜﹣x﹣1．21．解：（Ⅰ）当a=1时，，若f（x）是偶函数，则f（x）﹣f（﹣x）=0，即，即2x+2bx=0，所以b=﹣1．（Ⅱ）f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，则对任意x∈（﹣∞，﹣1），1+2x+1+4x a＞0恒成立，即对任意x∈（﹣∞，﹣1），恒成立，设，由指数函数单调性易得g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，所以g（x）＜g（﹣1）=﹣8，由a＞g（x）恒成立得a≥﹣8，即实数a的取值范围是[﹣8，+∞）．（Ⅲ）当a=4时，，由A=∅可得方程无实根，因为，所以，当b+1＜log26，即b＜log23时A=∅，故实数b的取值范围是（﹣∞，log23）．22．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＜0时，=，（ⅰ）若，即时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是减函数；（ⅱ）若，即时，时f'（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（ⅲ）若，即，时，f'（x）＞0，f（x）是增函数，时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；综上可得，当时，f（x）的减区间是（0，+∞），无增区间，当时，f（x）的增区间是，减区间是，当时，f（x）的增区间是，减区间是．（Ⅱ）假设f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，则对f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），都有k＜﹣2a成立，即恒成立，即恒成立，因为x1＞x2，所以f（x1）+2ax1＜f（x2）+2ax2，所以g（x）=f（x）+2ax=ax2+x﹣ln x是减函数，恒成立，因为x＞0，所以恒成立，因为，所以．即若对f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），都有k＜﹣2a成立，则，所以若f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，则，即实数a的取值范围是．。
河北省石家庄市2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
河北省石家庄市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．∅3．p：若sinx＞siny，则x＞y；q：x2+y2≥2xy，下列为假的是( )A．p或q B．p且q C．q D．￢p4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣25．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( )A．﹣B．C．1 D．7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( )A．2 B．2C．4 D．68．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( )A．1 B．C．D．与M点的位置有关9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A．1﹣B．C．1﹣D．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )A．B．C．1+D．1+11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．11212．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( )A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=__________．14．已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为__________．15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是__________．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为__________．三、解答题（共8小题，满分70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量8 9 10 11 12频数9 11 15 10 5若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可．解答：解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}={y|y＞0}，∴P∩Q={1，2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．p：若sinx＞siny，则x＞y；q：x2+y2≥2xy，下列为假的是( )A．p或q B．p且q C．q D．￢p考点：复合的真假．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说p是假，而根据基本不等式即可判断出q为真，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴p是假；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴q是真；∴p或q为真，p且q为假，q是真，￢p是真；∴是假的是B．故选B．点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明p是假，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=．解答：解：f（x）为偶函数；∴f（）=f（）又x＞0时，f（x）=log2x；∴=；即f（﹣）=．故选B．点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算．5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( )A．﹣B．C．1 D．考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，∴函数的周期T=，即=，则ω=2，则f（x）=tan2x则f（）=tan（2×）=tan=，故选：D点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键．7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( )A．2 B．2C．4 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=1满足条件i≤4，S=1，i=2满足条件i≤4，S=，i=3满足条件i≤4，S=2，i=4满足条件i≤4，S=2，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( )A．1 B．C．D．与M点的位置有关考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．解答：解：如图所示，连接BC1，取=，则PN∥D1C1，，PN=1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A．1﹣B．C．1﹣D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( )A．B．C．1+D．1+考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．112考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( )A．（﹣∞，3）B．（0，3]C．[0，3]D．（0，3）考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答：解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出=||•||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可．解答：解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1，∴=||•||cos=2×=﹣1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3，即|+|=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求．解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5，∴d=，则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1，∴．故答案为：24．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题．15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．解答：解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．解答：解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．三、解答题（共8小题，满分70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，可得a n+1=（1+λ）a n，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n﹣1，b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）a n b n=（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n=（3n﹣5）×2n+5．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量8 9 10 11 12频数9 11 15 10 5若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，（2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率．解答：解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100，当n＞10时，y利润=50×10+（10﹣n）×30=800﹣30n，所以函数解析式y利润=，（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380，日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×=440，日需求量为10，频数9，利润为50×10=500，日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560，∴当天的利润在区间[400，500]有11+9=20天，故当天的利润在区间[400，500]的概率为=．点评：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．解答：解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF=F，所以CD⊥平面PBD．点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线的定义求得抛物线方程．（2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m的函数，利用导数求得最大值．解答：解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=﹣1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y2=4x．（2）由题意，可设l的方程为y=x﹣m，其中，0＜m＜5．由方程组，消去y，得x2﹣（2m+4）x+m2=0，①当0＜m＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）2﹣4m2=16（1+m）＞0成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴又∵点A到直线l的距离为∴令f（m）=m3﹣9m2+15m+25，（0＜m＜5）f'（m）=3m2﹣18m+15=3（m﹣1）（m﹣5），（0＜m＜5）∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减．当m=1时，f（m）有最大值32，故当直线l的方程为y=x﹣1时，△AMN的最大面积为点评：本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在2015届高考中属于常考题型．21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题；（2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g （x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可．解答：解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（a+1）﹣a=，∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，则g（x1）＞g（x2）；则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=，令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2，故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数，故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1+2a+2=a+2＞0，②1＜a＜7时，M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=∈（1，+∞），故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）=（a+1）（7﹣a）＞0，故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），故原式成立．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题．22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．解答：解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．24．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(文)试题
河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(文)试题2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数1y x =-ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N =I（ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞UD ．(2,)+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3.已知向量(1,)a m =r，(,1)b m =r，则“1m =”是“//a br r ”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72B ．73C ．74D ．755.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为A．2i>=+,16?n nB．2n ni≥=+,16?C．1i≥n n=+,16=+,16?n ni>?D．18.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．34πB ．24π+C ．12π+D ．324π+9.实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z mx y =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．12- C ．2D ．510.三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π11.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足||1AM =u u u u r ，PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ，则||PM u u u u r 的最小值是（ ） A 2 B 3C ．22D ．312.已知函数2|2ln |,0,()21,0x x f x x x x +>⎧=⎨--+≤⎩存在互不相等实数a，b ，c ，d ，有()()()()f a f b f c f d m ====．现给出三个结论： （1）[1,2)m ∈； （2）314[2,1)a b c d e e e ---+++∈+--，其中e 为自然对数的底数；（3）关于x 的方程()f x x m =+恰有三个不等实根． 正确结论的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为 ．14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积()()()S p p a p b p c =---，这里1()2p a b c =++．已知在ABC∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}na 满足1122(1)22n n a ana n ++++=-+…，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若2211log log nn n ba a +=⋅，12nnTb b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1nT<.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量（毫米） 1 2 3 4 5快餐数（份）50 85 115 140 160试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程$$y bxa =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$ 20.已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数1()(1)1xax f x a x e +=-+-，其中0a ≥．（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222xy a +=，经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a、b满足2+=，a b abm求2a b+的最小值.2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（文科）答案一、选择题1-5:BAACC 6-10:BADBB 11、12：CC二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++… 14.22512三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+L L ①（②①-②得1(1)2(2)22n n nn na n n n +=---=⋅,2nn a =，当1n =时，12a=，所以2,*n nan N =∈．（Ⅱ）因为2nna =，2211111log log (1)1nn n ba a n n n n +===-⋅++.因此1111112231nT n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111n =-+，所以nT1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ， 又AE ⊥EC ，DE EC E=I∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD AE A=I ,∴CD ⊥平面ADEF ．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO =3， 连接AC ，则ABCDEFC-ADEF F ABCVV V-=+ 111(24)3443332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+⨯⨯=g g ，111432433323F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯⨯=g g △，∴4316343ABCDEFV=+=．19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P . （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==， 50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑$，$==27.5a y bx-$所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5y x =+．将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20.解：（Ⅰ）设(,)M x y ，由题意可知，(1,0)A r -，AM的中点(0,)2y D ，0x >，因为(1,0)C ，(1,)2yDC =-u u u r ，(,)2y DM x =u u u u r ．在⊙C 中，因为CD DM ⊥，∴0DC DM ⋅=u u u r u u u u r ，所以204y x -=，即24yx=（0x >），所以点M 的轨迹E 的方程为：24y x=（0x >）．（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+，2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y ym y y +==-，11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+，22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =，直线BN 的方程为2222y y x y =+，联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y my y -=-===，所以点(1,2)B m -，2||44BC m=+，222244211d m m m ==+=++∴B e 与直线MN 相切．21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，xe x xf -+-=)1(1)(，当1=x 时，ex f 21)(-=，1'(1)f e=，所以所求切线方程为：131y x e e=+-． （Ⅱ）首先xe a ax a xf --++-=)1()1()('，令其为)(xg ，则xe a ax x g --+-=)12()('．1）当12≤a 即210≤≤a 时，,0)('≤x g )(x g 单调递减，即)('x f 单调递减，)('≤x f ，)(x f 单调递减，0)(≤x f ，所以210≤≤a 成立； 2）当21>a 时，0)12()('=-+-=-xe a ax x g 解得：ax 12-=，当)12,0(ax -∈时，,0)('>x g )(x g 单调递增，即)('x f 单调递增，)('>x f ，)(x f 单调递增，0)(>x f ，所以21>a 不成立． 综上所述：210≤≤a ．22. 解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)ρθ， 则由题意可得点Q 的坐标为(,)3πρθ+， 再由点Q 的横坐标等于a ，0a >， 可得cos()3a πρθ+=， 可得13cos sin 2a ρθθ=，故当点Q 在l 上运动时点P 的直角坐标方程为320x a --=．（Ⅱ)曲线C ：222xy a +=，'2'x x y y=⎧⎨=⎩，即'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入22''4x y a +=，即2224x y a +=，联立点P 的轨迹方程，消去x 得2730yay +=，0,0a >∴∆>Q 有交点，坐标分别为243(,),(2,0)7a a ． 23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)， 故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=． （Ⅱ）ab b a 62=+Θ,621=+∴a b 844244)21)(2(=+≥++=++a bb a a b b a ，当且仅当abb a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立， ba 2+∴的最小值是34。
河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析
河北省石家庄市2017-2018 学年高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1. 设会集A x x 2 ，会集 B x y3x ，则 A B（）A．x x 2B．x x 2C． x x 3D．x x 3【答案】 B考点：会集的运算 .2. 设i是虚数单位，复数a i为纯虚数，则实数 a 的值为（）1i．1A．1B． 1C D． 22【答案】 A【解析】试题解析：依据复数的运算有a i(a i )(1i ) a 1a 1 i， a i为纯虚数，即实部1i(1i)(1i )221i为零，因此有a10 a 1，故本题的正确选项为 A. 2考点：复数的运算.3. 设函数 f ( x) sin x x ，则 f ( x) （）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是增函数且有零点D．是减函数且没有零点【答案】 A【解析】试题解析：第一函数的定义域为实数，又f ( x) sin( x) ( x)sin x x[sin x x] f ( x) ，因此函数为奇函数，由于f ( x) cos x 1 0 ，由导函数的性质可知函数在定义域上为减函数，存在独一零点x 0 ，因此本题正确选项为A.考点：函数的奇偶性与导函数的运用.4. p : xy 2 xy ， q : 在 ABC 中，若 sin Asin B ，则 A B . 以下为真的是（）A ． pB．qC． p qD ． p q【答案】 C考点：判断的真假及逻辑词语.2 cos x, x0, 4) 的值为（5. 已知 f ( x)1) 1, x则f (）f (x 0,3A ． 1B． 1C．32D ．52【答案】 B【解析】试题解析：由于4 0 ，因此 f ( 4) f (1) 1f ( 2) 2 ，当 x 0 时， f (x) 2 cos x ， 3 333因此 f (2) 2 cos( 2)1 ，因此有f ( 4) f ( 2) 2 1，本题正确选项为 B.333 3考点：分段函数求函数的值 .6. 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 11，公差 d 2, S n 1 S n 15 ，则 n 的值为（ ）A. 5B.6C.7D. 8【答案】 C【解析】试题解析：由于数列的前 n 项和 S n 与 a n 满足关系式 a n 1 S n 1 S n ，因此有 a n 1 15，又 a n为等差数列，因此1 2157，因此本题的正确选项为 C.an 1nn考点：等差数列前n 项和的性质 .7. 一个几何体的三视图以以以下图，则该几何体的体积为（）A ． 1B．1C．2433D ． 1【答案】 B【解析】试题解析：有三视图可知，该几何体为四周体，其下表面为一等腰直角三角形，直角边为1, 此中一条与底面垂直的棱长为2 ，因此四周体的体积为 V1 底面积为 SSh23题的正确选项为 B.1，1, 故本3考点：三视图与几何体的体积.xy 2x y 的最小值为（）8. 若实数 x, y 满足1，则 z94A ．18B．4C． 4D ．2 10【答案】 A考点：线性拘束.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种状况：1, 直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率， 2，直线斜率必但是在可行域中平移时的截距的最值. 可以再直角坐标系中画出可行域，此后在画出直线，经过观察求出待求量的最值；由于直线在可行域中的最值都是在围成可行域的极点处获得，因此也可以先求得可行域极点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值，本题中需要将含绝对值不等式转变为不等式组，在依据线性拘束条件来求目标函数的最值.9. 运转下边的程序框图，输出的结果是（）A．7B． 4C． 5D．6【答案】 D考点：程序框图.10. 设 S n 是数列a n 的前 n 项和，且 a 1 1, a n 1S nSn 1，则使nS n 2 获得最大值时n 的10S n 21值为（）A. 2B.5C.4D. 3【答案】 D【解析】试题解析： 由于a n 1 S n 1S n，因此有S n1S nS n 1S n1 11 ，即1为首S n 1S nS n项等于 1公差为 1 1 n1 的等差数列因此S n S n，则n2n( 1)21 n 1nS nnnn 2 1 10S n21 10(1)21 10( 1) 2n 2 10 101 nn n10 2 10, 当且仅当 n 10 时取等号，由于 n 为自然数，因此依据函10，由于 nnnn数的单调性可从与n10 相邻的两个整数中求最大值， n 3, S n1nS n 23 ,，3 1 10S n 219n 4, S n1 , nS n22 ，因此最大值为 3，此时 n3 ，故本题正确选项为 D.4 1 10S n 21319考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值.11. 在正四棱锥 V ABCD 中（底面是正方形，侧棱均相等） ， AB2,VA6 ，且该四棱锥可绕着 AB 作任意旋转， 旋转过程中 CD ∥ 平面 . 则正四棱锥 V ABCD 在平面内的正投影的面积的取值范围是（）． [2,4]B． (2,4]C．[ 6,4]AD ． [2,2 6]【答案】A【解析】试题解析：由题可知正四棱锥V ABCD在平面内的正投影图形为平面截 V ABCD所得横截面图形，此中平面是平行于CD的平面，四棱锥底面积为S1AB2 4 ,任意一个侧面的高为(6) 212 5 ，则侧面面积为S2 5 ,四棱锥的高为( 6)2(2) 2 2 ，所以过 V且垂直于底面的截面面积为S3 2 ,经解析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面平行时，投影面积最大，当底面与平面垂直时，投影面积最小，因此投影面积的取值范围为[ 2,4]，故本题正确选项为 A.考点：投影.【思路点睛】解答本题要清楚平面与 AB 的关系，由于两者平行，因此可以直接把四棱锥底面ABCD看做平面，这样可以便于研究投影的面积，当四棱锥没有转动时，投影为底面正方形，当逆时针旋转且不超出时，投影由矩形变为三角形，此中三角形面积愈来愈小；2当旋转角度超出时，投影逐渐由三角形变为矩形，最后为正方形，因此只要求得中间三个2特其余投影面积，即可求得投影的取值范围.12. 已知实数p0 ，直线 4x 3 y 2 p 0 与抛物线y2 2 px 和圆(x p )2y2p2从上24到下的交点挨次为AC的值为（）A,B, C,D ，则BDA．1B．5C．3 8168D．716【答案】 C考点：函数的图象.【思路点睛】本题主要观察函数图象的的交点间线段的比值问题. 第一要分别求得直线与两曲线的交点横坐标，即联立方程组，并解方程，即可求得交点横坐标. 依据横坐标的大小确立A, B, C , D 的横坐标，（也可经过两曲线的交点，来判断抛物线与圆的地点关系，从而确立A, B, C , D 的坐标）再利用相似三角形的性质，即可经过线段在水平方向上的投影比值来求得AC.BD第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）13. 已知双曲线x2y21的一条渐近线方程为y3x，则实数 m 的值为______. 2m m 4【答案】45【解析】试题解析：由于双曲线x2y2 1 的两条渐近线为 y b x，因此 x2y 21的渐近a2b2a2m m4线为y m 4x ，则有m4 3 m 4 . 2m2m5考点：双曲线的渐近线.14.将一枚硬币连续扔掷三次，它落地时出现“两次正面向上，一次正面向下” 的概率为 ______. 【答案】【解析】试题解析：抛出的硬币落地式正面向上与朝下的概率是相等的，设向上为p0.5 ，则朝下为q 1p0.5 ，扔掷三次，两次正面向上的概率为C32 p2 q30.475 .考点：独立事件的概率及组合的运用.15. 在Rt ABC 中，AB4, AC2，点P为斜边BC 上凑近点 B 的三均分点，点 O 为ABC 的外心，则 AP AO 的值为_____.【答案】 6考点：向量的运算.【思路点睛】依据向量的运算，分别求得AP，AO ，即可求得其数目积，第一依据向量垂直的性质有 AB AC 0 ，其次点 P 为斜边 BC 上凑近点 B 的三均分点，因此要求先求得BC ,才能进一步求得, BP而依据三角形外心是三角形中线的三均分点，及三角形中线为两邻边向量和的一半，即可求得向量 AO ,分别代入AP AO 即可求得数目积.16. 已知函数f ( x)x3 3x ，若过点M (2, t)可作曲线y f ( x) 的两条切线，则实数t 的值为______.【答案】6或 2【解析】试题解析： f ( x)x33x的导函数为 f ( x) 3x2 3 假设过点M (2, t )的切线斜率为k，则有k 3x023x033x0t，可得 2 x036x02 6 t 0 ，有两条切线，即x022x03 6 x02 6 t0 有两个不等的数根，可令 y 2x 3 6x 26t ，函数恰好有两个零点， y6x212x ，有函数的性可知函数存在两个极点x10, x2 2, 极分y16t , y2 t2,当且当极点零点函数才好有两个零点，因此有y1 6 t0或y2t 2 0 t1 6或t2 2 因此 t 的6或2 .考点：函数的运用，直的斜率.【方法点睛】某点可做函数象的切，可依据函数的性，即函数等于切的斜率，求得切的斜率，可通两点式来求得切的斜率，所求的两个斜率相等即可建立有关切点横坐的方程，中明有两条切，即有两个切点，也就是方程有两个不等的数解，再利用函数的零点个数与函数的性（函数性，极点）即可求得t 的.三、解答（本大共 6 小，共70 分 . 解答写出文字明、明程或演算步. ）17.（本小分 12 分）在ABC 中， a、 b、 c 分是角 A、 B、 C 所的，且足a3b cosC .（Ⅰ）求tanC的；tan B（Ⅱ）若 a 3, tan A 3 ，求ABC 的面.【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）3.a b c2R可得：解析：（ I ）由正弦定理sin B sin Csin A2R sin A=32R sin B cosC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分A B C sin A sin( B C)=3sin B cosC ，-------------------------3分即 sin B cosC cos B sin C =3sin B cosCcos B sin C =2sin B cosC cos B sin C =2故tan C=2．-------------------------sin B cosC5分tan B（ II ）（法一）由A B C得 tan(B C )tan(A) 3 ,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，2依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，因此 tan B1, tanC 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分tan A 3 ，可得 sin B2，sin C25，sin A310 ，2510代入正弦定理可得3=b，b 5 ，-------------------------10分3102102因此 S ABC 1ab sin C1 3 5253.-------------------------12分225（法二）由 A B C得tan(B C )tan(A)3,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，2因此 tan B1, tanC 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因 a3b cosC 3 因此 b cosC 1 ，ab cosC3ab cosC tan C 6．-------------------------10分SABC 1ab sin C 1 6 3 ．-------------------------12分22考点：正弦定理的运用，三角函数的恒等.18.（本小分 12 分）了某地区成年人血液的一指，随机抽取了成年男性、女性各10人成的一个本，他的血液指行了，获得了以下茎叶. 依据医学知，我此指大于40为偏高，反之即为正常 .（Ⅰ）依据上述样本数据研究此项血液指标与性其余关系，完成以下2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超出 0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系？正常偏高合计男性女性合计（Ⅱ）现从该样本中此项血液指标偏高的人中随机抽取 2 人去做其余检测，求男性和女性被抽到的概率 .参照数据：P(K 2k0 )k0（参照公式：K2n(ad bc) 2，此中 n a b c d ）(a b)(c d )(a c)(b d )【答案】（ I ）列联表见解析，能犯错误的概率不超出0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系；（ II ）1 . 3【解析】试题解析：（ I ）由茎叶图可得男性数据5,7,19,22,23,24,25,36,37,45 ，女性数据2,13,14,16,21,42,44,46,48,53 可知正常数据男性为9 ，女性为 5 ，将列表数据代入K2=n( ad bc)22与 2.706 比，可知在犯的概率不超求，并用k(a b)(c d )(a c)(b d )的前提下此血液指与性有关系；（ II ）血液指偏高的人中间有男性1人，女性 5 人，分列出所抽取两人的可能事件共有15 种，而有男性的事件 5 种，因此抽到男性与女性的概率1 . 3解析：（ I ）由茎叶可得二列表正常偏高合男性9110女性5510合14620⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（填一个数，扣 2 分，两个以上扣 4 分）n( ad bc)2= 20（9552K 2 =）1(a b)(c d )(a c)(b d )1010146因此能在犯的概率不超的前提下此血液指与性有关系 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分考点：茎叶与概率的合运用.19.（本小分 12 分）如，四棱P ABCD 的底面 ABCD 矩形， AB 2 2 ， BC 2 ，点P在底面上的射影在 AC 上，E， F 分是AB,BC的中点.（Ⅰ）明：DE平面PAC；（Ⅱ）在 PC 上能否存在点M ，使得 FM ∥平面 PDE ？若存在，求出PM的；若不PC存在，明原由 .【答案】（Ⅰ）明解析；（Ⅱ）存在，原由解析.解析：（ I ）在矩形ABCD中，AB : BC 2 :1，且E是AB的中点，∴ tan ∠ ADE = tan ∠CAB 1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2∴∠ ADE =∠CAB,∵∠CAB∠ DAC90, ∴∠ADE∠ DAC90, 即AC ⊥DE .⋯⋯⋯⋯ 3 分由可知面PAC面 ABCD，且交AC ，∴DE面 PAC. ⋯⋯⋯⋯ 5 分PMDGHCFAEB（ II）作DC 的中点G ，GC 的中点H，GB 、 HF . ⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵DG ∥EB ，且DGEB∴四 形EBGD平行四 形，∴DE ∥GB∵ F 是 BC 的中点， H 是GC 的中点，∴ HF ∥GB ，∴ HF ∥ DE .⋯⋯⋯⋯ 8分作H 作HM ∥PD 交PC 于M ， FM ，∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ，∴平面 HMF ∥平面 PDE ，∴ FM ∥平面 PDE . ⋯⋯⋯ 10 分由 HM ∥ PD 可知：∴PMDH3 ⋯⋯⋯⋯ 12 分MCHC考点：直 与平面的垂直（平行）的性 与判断.20. （本小 分 12 分）已知 E :x 2y 2 1( a b 0) 的左、右焦点分F 1、 F 2 ， D 上任意一点，a 2b 2且DF 1 DF 2的最大a 2.4（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）已知 的上 点 A(0,1) ， 直 l : ykx m(m 1) 与 E 交于不一样样的两点B 、C ，且AB AC ， 明： 直 l 定点，并求出 定点坐 .【答案】（ I ） e3 3 ) .；（ II ） 明 解析， (0,25解析：（ I ）2DF 1 DF 2 ( cx 0 , y 0 )(c x 0 , y 0 )x 02c2y 02c2 x 02b 2c 2 ，⋯⋯⋯ 2 分a因 0 x 02 a 2 ，因此当 x 02 a 2 ， DF 1DF 2 得最大 b 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分因此 b 2a 2 , 故离心率 e 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分42（ II）由 意知 b1，可得 方程 ：x 2 y 21，4B( x 1, y 1 )C (x 2 , y 2 )由y kx m，得 (1 4k 2 ) x 2 8kmx 4(m 2 1) 0 ，x 2 4 y 24x 1 x 28kmx2 ， x 1 x 24(m 2 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1 4k1 4k 2由 AB AC 0 得： x 1x 2 ( y 1 1)(y 2 1) 0即 (1k 2 ) x 1 x 2 k(m 1)(x 1x 2 ) (m 1)2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分将 达定理代入化 可得：m3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5因此 直 l 的方程 ： y kx3，即直 恒 定点 (0,312 分) ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 5河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析考点：的离心率，向量的运算，函数象的交点.21.（本小分 12 分）函数 f ( x) (e x 1)(x a), e 自然数的底数.（Ⅰ）当 a 1 ，函数 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切l，明：除切点(1, f (1)) 外，函数 y f ( x) 的像恒在切 l 的上方；（Ⅱ）当 a0 ，明： f ( x) x ln x10 . e【答案】（ I ）明解析；（ II ）明解析 .【解析】解析：（ I ）当a 1 ，f ( x)(e x1)( x 1) ， f (x) (e x1) e x ( x 1) xe x1，可求得点 (1, f (1)) 及点切的斜率，获得切的方程，函数象在切上方，即(e x1)( x 1) ( x 1)(e 1) 因此只要明(e x1)( x 1) (x 1)(e 1) 在x 1 恒建立，1数象在切上方；（II）明f ( x) x ln x 0建立，即明e(e x1) x x ln x10 恒建立，构造两函数p(x) (e x1)x,q( x)x ln x1，有e ep(x) q( x) 恒建立，利用函数的性分求得p( x)，q( x) 在 x0 的最小，最大，即可明 p( x)q( x) 建立，从而得 (e x1) x x ln x10建立.e解析：（Ⅰ）当 a 1 ，f ( x)(e x 1)(x1)，f (1)0 ，f(1) e1因此在 (1, f (1))的切方程是y(e1)(x 1) ⋯⋯⋯⋯2分所等价于 (e x 1)(x1)(e1)(x1),( x1) ⋯⋯⋯⋯3分即(x)(1)0,(1)e e x x当 x 1 ，x0,10,(x)(1)0e e x e e x当 x1x0,10,(x)(1)0e e x e xe得！⋯⋯⋯⋯ 5 分考点：函数的单调性，最值，导函数的运用.【思路点睛】证明 f ( x) 的图象素来切线的上方，即要证明函数的值素来大于也许等于切线的函数值，因此可由函数 f ( x) 减去切线方程构成一个新的函数，证明该函数的最小值为非负即可 . 在此要注意： f (x) 图象在切线上方，其实不表示函数在切点处有最小值；对于不等式的证明，可以观察不等式形式，构造两个新的函数，从而将不等式恒建立问题转变为两个函数最值的大小问题.请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， RT ABC 内接于⊙O， C 90 ，弦BF交线段AC于E，E为AC的中点，在点 A 处作圆的切线与线段 OE 的延长线交于 D ，连接 DF .（Ⅰ）求证：DE EO FE EB ；（Ⅱ）若CEB 45 ，⊙O的半径 r 为 2 5 ，求切线AD的长.【答案】 (I)明解析；（II）4 5 .【解析】解析：（I ）由订交弦定理有EF EB AE EC ,又E中点，因此FE EB AE 2，只要明AE2DE EO 即可得 DE EO FE EB 建立，在直角三角形ADO 中，由射影定理即可得 AE 2DE EO ；（II）CEB45 ，E AC的中点，可知 AC2BC ,由半径 r 2 5 ，即可求得BC 4 ，从而求得AE, OE 在合AE2DE EO 求得DE,利用勾股定理即可求得AD .解析：（ I ）明：在O 中，弦 AC、 BF 订交于E，FE EB AE EC，又 E AC的中点，因此FE EB AE2，-------------------------2分又因 OA AD,OE AE ，依据射影定理可得AE 2DE EO ,-------------------------4分DE EO FE EB，------------------------5分（ II ）因AB直径，因此C=900，又因CBE 45o，因此BCE 等腰直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分AC 2BC，依据勾股定理得 AC2BC 25BC280，解得BC 4 ，-------------------8分因此 AE4， OE2，由（I）得 AE2DE EO 因此 DE8，因此 AD AE2DE 2428245 ．------------------------10分考点：射影定理，勾股定理，订交弦的性.23.（本小分 10 分）修 4-4 ：坐系与参数方程在极坐系中，曲C1的极坐方程cos2 3 sin，以极点 O 坐原点，极x 非半C 2x 2 cos,建立平面直角坐系，曲的参数方程2 sin ( 为参数）.y（Ⅰ）求曲C1的直角坐方程；（Ⅱ）若3，曲 C 2上点P ，点P 作C2的切与曲C1订交于A, B两点的，求段AB中点M与点P 之的距离.【答案】（ I ）x23y ；（II） 3 .【解析】解析：（ I ）由cos23sin ，得2 cos23sin，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分曲 C1的直角坐方程x23y ，-----------------------------------4分（II ）将=代入 C2x2cos :2sin3y得 P(1,3) ，由题意可知切线AB 的倾斜角为5，--------------------------6 6分x 1 3 t设切线 AB的参数方程为2（ t 为参数），1y3t2代入x23y 得：(1 3 t )23( 31t ) ，22即3t 2 3 3t 2 0 ，--------------------------8分42设方程的两根为t1和 t2可得：t1t2 2 3 ，因此 x M 1[ 23(t1t2 )]1 222112因此 MP 3 --------------------------10分32考点：极坐标系，参数方程的运用.2x2y 2【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转变时满足关系式tan y，代入极坐标系方程，x进行化简单可求得直角坐标系方程；对于直线上两点间距离，可以先求得两点横坐标（也许纵坐标）间的差值，再利用三角函数来求得两点间的距离，本题中利用了参数法直接求得A, B 两点的坐标关系，从而获得中点M 的坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知实数 a0, b 0，函数 f ( x) x a x b 的最大值为 3 .（Ⅰ）求 a b 的值；（Ⅱ）设函数g x x2ax b，若对于x a，均有g(x) f ( x)，求 a 的取值范围.( )【答案】（I ）3；（II ）1a 3 . 2河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析【解析】（ II）当x a时， f ( x)| x a || xb | =x a ( x )b，ab ---------------------6分对于 x a ，使得g( x) f ( x) 等价于x a ， g max ( x) 3 建立，g(x) 的对称轴为x aa ，2g ( x) 在 x [ a,) 为减函数，g(x) 的最大值为g( a)a2a2b2a2 a 3 ，--------------------------8分2a2 a 3 3 ，即 2a2a0 ，解得a0 或 a1，3，因此12又由于 a0, b0, a b a 3 ．--------------------------10分2考点：绝对值不等式的应用，函数的单调性与最值.。
石家庄市17-18届高三毕业班模拟考试数学文科试题(二)含答案
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二） 文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（ ）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i --D ．1i -+3.已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（ ）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22162x y -=D ．22126x y -=6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ）A． B． C．1 D．17.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A．4849B．5051C．4951D．49508.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．83B．23C．43D．29.将函数()2sinf x x=图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x=图象，若关于x的方程()g x a=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．[]2,2-B．[2,2)-C．[1,2)D．[1,2)-10.若函数()f x，()g x分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e+=，则（）A ．(2)(3)(1)f f g -<-<-B ．(1)(3)(2)g f f -<-<-C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A．2BC1 D12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()l n ()0x f x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若10a b >>>，则下列各式成立的是（ ）A ．()()1f a f b ab >> B ．()()1f a f b a b <<C ．()()1f a f b a b << D ．()()1f a f b a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为 ． 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．15.设变量x ，y 满足约束条件4,326,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则22(1)x y -+的取值范围是 ．16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60︒，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积为，求b c +的值．18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．21.已知函数()x xf x e =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122x x x e +>请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）文科数学答案 一、选择题1-5:ACAAD 6-10:CBBCD 11、12：DD 二、填空题13.3π 14.52- 15.9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.112π 三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2)1sin 22ABCSbc A bc ====又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc =+-∴=+- 所以，2()4, 2.b c b c +=+=． 18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率710p =.19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB.∵PB ⊥PD ，CD ∩PD=D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD. ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD. （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==，∵PB PC =，∴PO BC⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE ⊥AE. ∵PO ∩PE=P ，∴AE⊥平面POE ，∴AE ⊥OE.∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCERt EDA ∆∆，∴OC CEED AD =．∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅112132=⨯⨯=．20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩， 112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=， 22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±，∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．PCB AEDO法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩直线'l 的方程为012y x x =+，过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x - 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+． 21.解：(1)'21()()x x x xe xe xf x e e --==，令'()0f x =，则1x =， 当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， 则函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞.（2）由可得()()10x f x x -'=-=e ，所以()y f x =的极值点为01x =.于是，0122x x x +>e 等价于122x x +>e ,由()()12f x f x =得1212x x x x --=e e 且1201x x <<<.由1212x x x x --=e e 整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-.等价于()()()1212122ln ln x x x x x x +-<-e ，① 令12x t x =，则01t <<.式①整理得()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.设()()()21ln 1g t t t t =+--e ,01t <<. 只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2g t t t '=++-e ，设()h t =()12ln 2g t t t '=++-e，则()222121t h t t t t -'=-=当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '<，()h t 在10,2骣÷ç÷çç÷桫上单调递减；当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '>，()h t 在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增.所以,()min 142ln 202g t g ⎛⎫''==--< ⎪⎝⎭e ；注意到，()222212ln 220g e e e e e ---'=++-=-->e ，()130g '=->e ，所以，存在12110,,,122t t ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120g t g t ⅱ==， 注意到，10g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭e ，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç桫，所以11t e =. 于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21e t t <<. ()g t 在()210,,,1t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递增，在21,t ⎛⎫⎪⎝⎭e上单调递减.于是，()(){}max 1max ,1g t g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，注意到，()10g =，1220g ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭e e e ，所以，()max 0g t <，也即()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<.于是，0122x x x +>e .22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为''1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+=整理得27()183604t t ''++=. 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，72111714427PA PB PA PB PA PB++===．23.解:（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-；当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴--> 1ab a b∴+>+.。
河北省石家庄市2018届高三毕业班教学质量检测数学(文)(附答案可编辑精品)-物理小金刚系列
分 设：至少有一名女生参加座谈为事件 A 则 P A 1
4 4 ………12 分 20 5
19. （Ⅰ）证明：由题知四边形 ABCD 为正方形 ∴AB//CD，又 CD 平面 PCD，AB 平面 PCD ∴AB//平面 PCD ………………1 分
又 AB 平面 ABFE，平面 ABFE∩平面 PCD=EF ∴EF // AB，又 AB//CD ∴EF //CD， ………………3 分 由 S△PEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点 连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点， 在△PBD 中 FG 为中位线，∴ EG//PB ………………5 分 ∵ EG//PB，EG 平面 ACE，PB 平面 ACE ∴PB//平面 ACE. ………………6 分 （Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1，∴ AC 2 , AE ∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A， ∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD
当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即 OM 3 所以 a 3 ，椭圆长轴长为 6. ………………4 分
1 AF1 2
（Ⅱ）由已知 b 1 ， c 2 2 , a 3 ，所以椭圆方程为 ………………5 分
x2 y2 1 9
当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为： y k ( x 2 2 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
2 2
2 2
2
当 9x0 36 2x0 71 9( x0 9)
①-②
Sn 2 22 23 2n 1 n 1 2n 2 2n n 1 2n 1 2 2n 2 n 2 Sn 2 n 2 2
河北省石家庄市2017-2018学年高三复习教学质量检测(二)文数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}211,|6M N x x x =-=-<，，则下列结论正确的是( )A. N M ⊆B. N M =∅C. M N ⊆D. M N R = 【答案】B. 【解析】试题分析：∵2623x x x -<⇒-<<，∴(2,3)N =-， 又∵{1,1}M =-，∴可知C 正确，A ，B ，D 错误，故选C ． 【考点】本题主要考查集合的关系与解不等式．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21-1i i+在复平面内对应的点在( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)2(1)111i ii i i i i--==--=--++，故对应的点在第三象限，故选C ．【考点】本题主要考查复数的计算以及复平面的概念．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是( )A. 1y x =B. lg y x =C. 1y x =-D. ln 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B. 【解析】试题分析：A ：偶函数与在(0,)+∞上单调递增均不满足，故A 错误；B ：均满足，B 正确；C ：不满足偶函数，故C 错误；D ：不满足在(0,)+∞上单调递增，故选B ． 【考点】本题主要考查函数的性质．4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，若()=2-4n n S a n N*∈，，则=na ( )A. 12n + B. 2n C. -12n D. -22n【答案】A . 【解析】试题分析：111124(24)2n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---⇒=，再令1n =， ∴111244S a a =-⇒=，∴数列{}n a 是以4为首项，2为公比是等比数列， ∴11422n n n a -+=⋅=，故选A. 【考点】本题主要考查数列的通项公式.5. 设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个: ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； ③若=//n m n αβ ，，则//m α且//m β； ④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ； 其中真的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B. 【解析】试题分析：①：//m n 或m ，n 异面，故①错误；②：根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③：//m β或m β⊂，故③错误；④：根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，∴真的个数为1，故选B ．【考点】本题主要考查空间中线面的位置关系判定及其性质． 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的实数m 的值为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C. 【解析】试题分析：分析框图可知输出的应为满足299m >的最小正整数解的后一个整数，故选C ． 【考点】本题主要考查程序框图．7. 已知,x y 满足约束条件1,1,49,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若目标函数()0z y mx m ==>的最大值为1，则m的值是( ) A. 20-9B. 1C. 2D. 5 【答案】B. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：y mx =，0m >， 则可知当1x =，2y =时，max 211z m m =-=⇒=，故选B ．【考点】本题主要考查线性规划．8. 若0,0a b >>，且函数()32=422f x x ax bx --+在1x =处有极值，若t ab =，则t 的最大值为( )A. 2B. 3C. 6D. 9 【答案】D. 【解析】试题分析：∵32()422f x x ax bx =--+，∴2'()1222f x x ax b =--， 又∵()f x 在1x =取得极值，∴'(1)122206f a b a b =--=⇒+=，∴2(6)(3)9t ab a a a ==-=--+，∴当且仅当3a b ==时，max 9t =，故选D. 【考点】本题考查导数的运用与函数最值. 9. 如图，圆C 内切于扇形AOB, 3AOB π∠=,若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A. 100B. 200C. 400D. 450【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴23R r r r =+=， ∴落入圆内的点的个数估计值为22600400(3)6r r ππ⋅=，故选C.【考点】本题考查几何概型.10. 一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )【答案】D. 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体如下图所示三棱锥，期中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D ．【考点】本题主要考查三视图．11. 设[],0αβπ∈，,且满足sin cos cos sin 1,αβαβ-=，则()()sin 2sin 2αβαβ-+-的取值范围为( )A. []-1,1B. ⎡⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. ⎡⎣【答案】C.【解析】试题分析：∵sin cos cos sin 1sin()1αβαβαβ-=⇒-=，α，[0,]βπ∈，∴2παβ-=，∴0202αππαππβαπ≤≤⎧⎪⇒≤≤⎨≤=-≤⎪⎩， ∴sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin cos 2παβαβααααπαα-+-=-++-+=+)4πα=+，∵2παπ≤≤，∴35444ππαπ≤+≤，∴1)14πα-≤+≤，即取值范围是[1,1]-，故选C ． 【考点】本题主要考查三角恒等变形．12. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点，M 为抛物线C 的准线与x轴的交点，若tan AMB ∠=AB =( )A. 4B. 8C. 【答案】B. 【解析】试题分析：根据对称性，如下图所示，设l ：1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2244401y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，∴124y y m +=，124y y =-，221212144y y x x =⋅=，21212()242x x m y y m +=++=+，又∵tan tan()AMB AMF BMF ∠=∠+∠，∴122121221121212121211(2)(2)(1)(1)111y y x x y my y my y y y y x x y y x x -++++-+=⇒=-=-+++-⋅++，∴221m =⇒=，∴212||||||11448AB AF BF x x m =+=+++=+=， 故选B.【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质．第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3， ，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 . 【答案】15. 【解析】试题分析：根据系统抽样的特点可知抽取的4名学生的编号依次成等差数列，故穷举可知剩余一名学生的编号是15，故填：15. 【考点】本题主要考查系统抽样．14. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且12=2=3a a ，，则2016a 的值为 . 【答案】0. 【解析】试题分析：由题意得，3211a a a =-=，4322a a a =-=-，5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，∴数列{}n a 是周期为6的周期数列，而20166336=⋅，∴201663360S S ==，故填：0. 【考点】本题主要考查数列求和.15. 在球O 的内接四面体A BCD -中，610,2AB AC ABC π==∠=，，且四面体A BCD-体积的最大值为200，则球O 的半径为 .【答案】13. 【解析】试题分析：由题意得，设球O 半径为r ，13A BCD D ABC ABC V V S h --∆==⋅⋅，∴max max 1168200251332h h r r ⋅⋅⋅=⇒=+=⇒=，故填：13. 【考点】本题主要考查球的性质．16. 设()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()-2=0f ，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 . 【答案】(2,0)(2,)-+∞U . 【解析】试题分析：设2()'()()()'()f x xf x f x g x g x x x-=⇒=，∴当0x >时，'()0g x >， 即()g x 在(0,)+∞上单调递增，又∵(2)(2)02f g ==，∴()0f x >的解为(2,0)(2,)-+∞U ， 故填：(2,0)(2,)-+∞U . 【考点】本题主要考查导数的运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2.bc C a =（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1cos 7A =，求ca 的值. 【答案】（1）3π=B ；（2）58.【解析】试题分析：本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用正弦定理先将边转化为角，再由内角和将A 转化为()B C π-+，解出1cos 2B =，再结合角B 的取值范围，确定角B 的值；第二问，利用平方关系先得到sin A ，再结合第一问中的结论，用两角和的正弦公式以及诱导公式计算sin C ，最后用正弦定理将边转化为角的正弦值求解. 试题解析：(Ⅰ) a c C b 2cos 2=+,由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,------------2分π=++C B AC B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴…………………4分 )sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+ C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =B , 因为π<<B 0，所以3π=B .------------6分 (Ⅱ)三角形ABC 中，3π=B ，1cos 7A =，所以sin A =-------------8分sin sin()sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=…………………10分 sin 5sin 8c ACB a BAC ∠==∠ .------------12分 考点：本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质 18. （本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =-)))；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：1122211()()()-()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb a y b x x x x nx====---===--∑∑∑∑)))，【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2） 2.72x =.【解析】试题分析：本题主要考查线性回归分析、函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知数据结合参考公式计算ˆb和ˆa ，从而得到线性回归方程；第二问，结合第一问，先列出z 的表达式，利用配方法求最值.试题解析：(Ⅰ)3x =，5y = 错误！未找到引用源。
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2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）一、选择题1. 已知集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为且，所以，应选答案B。
2. 已知命题，则命题的真假及依次为( )A. 真；B. 真；C. 假；D. 假；【答案】B【解析】当时，，故命题为真命题；∵，∴.故选：B3. 设复数满足，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。
4. 已知命题，命题，则是的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由指数函数的单调性可知，所以是的充分条件；由可得，即，则是的不必要条件，应选答案A。
5. 已知，若存在非零实数，使得，则( )A. 6B.C.D.【答案】B6. 点是角终边上一点，则 ( )【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。
A． B．3 C. D．17. 已知为锐角，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以，则，应选答案A。
8. 在中，，点为边上一点，且，则( )A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意；对于C，在上单调递减，不符合题意；对于D，在上单调递减，不符合题意；故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10. 函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不同的实数解，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知：，∴，因为，所以，由对称性可得：，由题意得：,,所以.故选：C11. 已知函数满足对任意实数，都有，设，若，则( )A. 2017B. 2018C.D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案B。
12. 已知对，不等式恒成立，则的最大值是 ( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】不等式可化为，则，所以当时，，即，所以，令，则令可得，故，即，应选答案C。
二、填空题13. 已知幂函数的图象经过点，则__________．【答案】【解析】由题意，所以，应填答案。
14. 已知函数，若函数的图象在处的切线方程为，则__________．【答案】0【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，即，切线方程为，又，故，则，应填答案。
15. 已知平行四边形，，则四边形面积的最大为__________．【答案】16. 已知，若函数有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，则；又因为，所以由题设可得，且，即，综上：所求实数的取值范围是，应填答案。
三、解答题17. 在中，角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，点在边上且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】试题分析：(1)利用正弦定理化边为角，易得：，结合两角和正弦公式得，即，所以；（2）利用余弦定理得：，结合的面积，组建c的方程，解之即可.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，可得，即，由可得，所以，因为，所以，因为，所以.（Ⅱ）由得，又因为，所以的面积，把，带入得，所以，解得.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 结合命题函数在上是减函数；命题函数的值域为.（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】试题分析：（1）函数在上是减函数等价于内层函数为减函数，外层函数为增函数，即得；（2）若为真命题，为假命题，则一真一假.分成两类情况，解不等式组即可.试题解析：（Ⅰ）若为真命题，则在上是减函数；因为且，所以，故在上是减函数；所以要使在上是减函数，应满足，由得，即实数的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若为真命题，则，若为真命题，则函数的值域为，所以，解得，所以，若为真命题，则.因为为真命题，为假命题，所以一真一假.若真假，则有，所以；若假真，则有，所以.故实数的取值范围为.19. 已知，.（Ⅰ）求的最小值及取得最小值时的取值集合；（Ⅱ）若函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）取最小值，的取值集合为；（Ⅱ）。
【解析】试题分析：（Ⅰ）先运用向量的数量积公式建立，再运用倍角公式进行化简，然后再借助正弦函数的有界性进行求解；（Ⅱ）先将函数的图象向右平移个单位后得到的图象所表示的函数，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解：解：（Ⅰ）因为，所以，所以当时，取得最小值，此时，即，所以取得最小值时的取值集合为.（Ⅱ）函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则，所以当，即时单调递增，所以的单调递增区间是.20. 已知函数.（Ⅰ）求在上的最大值与最小值；（Ⅱ）若，求证：.【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，求出导函数的零点（极值点），进而求得最大值和最小值；（Ⅱ）先将不等式等价转化为，再构造函数借助导数知识借进行分析求解其最小值：（Ⅰ）因为，所以，令得，的变化如下表：在上的最小值是，因为，所以在上的最大值是.（Ⅱ），因为，所以，设，则，当时，所以在上是减函数，，所以，即时.21. 已知函数.（Ⅰ）若，且是偶函数，求的值；（Ⅱ）若在上有意义，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，且，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】试题分析：(1)由，得：，即，；（2）在上有意义对任意，恒成立，变量分离得：恒成立，令，求此函数的最值即可；（3）方程无实根，又，即时.试题解析：（Ⅰ）当时，，若是偶函数，则，即，即，所以.（Ⅱ）在上有意义，则对任意，恒成立，即对任意，恒成立，设，由指数函数单调性易得在上是增函数，所以，由对任意时恒成立得，即实数的取值范围是. （Ⅲ）当时，，由可得方程无实根，因为，所以，当，即时，故实数的取值范围是.点睛：恒成立问题处理策略：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.22. 已知函数.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若函数的图象上存在不同的两点，使得直线的斜率成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）当时，的减区间是，无增区间，当时，的增区间是，减区间是，当时，的增区间是，减区间是.（Ⅱ）。
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再对参数进行分类讨论，分别确定其单调性并求出其单调区间，（Ⅱ）先运用斜率公式将不等式等价转化为，进而转化为不等式恒成立，然后构造函数，借助导数及其单调性建立不等式进行求解：解：（Ⅰ）的定义域为，当时，，（ⅰ）若，即时，恒成立，在上是减函数；（ⅱ）若，即时，时，是增函数，时，，是减函数，时，，是减函数；（ⅲ）若，即，时，，是增函数，时，，是减函数，时，，是减函数；综上可得，当时，的减区间是，无增区间，当时，的增区间是，减区间是，当时，的增区间是，减区间是.（Ⅱ）假设的图象上不存在两点，使得直线的斜率成立，则对的图象上任意两点，都有成立，即恒成立，即恒成立，因为，所以，所以是减函数，恒成立，因为，所以恒成立，因为，所以.即若对的图象上任意两点，都有成立，则，所以若的图象上不存在两点，使得直线的斜率成立，则，即实数的取值范围是.点睛：本题以含参数的函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。
求解第一问时，先求函数的导数，再对参数进行分类讨论，分别确定其单调性并求出其单调区间。
求解第二问时，先运用斜率公式将不等式等价转化为，进而转化为不等式恒成立，然后构造函数，借助导数及其单调性建立不等式，最后分离参数求其值域使得问题获解。