2011年高考试题分类汇编：十四、计数原理
(完整版)计数原理_2012~2018高考真题
所以①和②的情况一样多 .③和④的情况随机，③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球
数没有任何影响， ①和②出现的次数是一样的， 的影响次数一样 .综上选 B.]
所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数
-4-
5.(2015 四·川， 6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( )
)
1
A.
12
1
B.
14
1
C.
15
1
D.
18
[ 答案与解析 ]. 符合题意的素数有
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 个 , 故不同的取法有
2
C 10
=45
种
31
其中和为 30 的组合有 : {7, 23}, {11, 19}, {13, 17} 三种 , 故 P= = , 选 C.
2.(2015 新·课标全国Ⅰ， 10)(x2＋ x＋ y)5 的展开式中， x5y2的系数为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60 [ 答案与解析 ].C [Tk＋1＝ Ck5 (x2＋ x)5－ kyk，∴ k＝ 2.∴ C25( x2＋ x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r) xry2， ∴2(3－ r )＋ r ＝ 5，解得 r＝ 1，∴ x5y2 的系数为 C25C13＝ 30.]
C13
·A
4 4
＝72.选 D.]
4.(2016 北·京， 8) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半
.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋
中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就
【数学】新题分类汇编：计数原理(高考真题+模拟新题)
x 的系数为
C
2 20
，
x
9
的系数为
C
18 20
，则
x 的系数与
x9 的系数之差为
0.
大纲文数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] (1 － x) 10 的二项展开式中， x 的系
________ ．
大纲文数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] 0 【解析】 展开式的第 r ＋ 1 项为
1
9
9
9
图 1－ 3 由此推断，当 n ＝ 6 时，黑色正方形互不．相．邻．． 的着色方案共有 ___ 色正方 形相邻 的着色方案共有 ________ 种． (结果用数值表示 )
------ 精品文档 ! 值得拥有！ ------
________ ．
大纲理数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] 0 【解析】 展开式 的第 r ＋ 1 项为
r n－r r
课标理数 4.J3 [2011 ·陕西 卷 ] C 【解析】 由 T r＋ 1＝ C na b 可知所求
－r
－x r
r
r x 12 －3r
(－ 2 ) ＝ C 6(－ 1) (2 ) ，要出现常数项，则
r ＝ 4 ，则常数项为 C
大纲文数 13.J3 [2011 ·四川卷 ] (x ＋ 1) 9 的展开式中 x3 的系数是 ____
(1 ＋
5
2x)
的通项为
令 r ＝ 2，则
2
r
C
r5＝
2
2
C
25＝
4×
5
× 2
4
＝
40，即
x2 的系数等于
40 ，故选
27
4
课标理数 10.J3 [2011 ·广东卷 ] x x－ x 的展开式中， x 的系数是 _
2011-2021全国一卷真题统计、概率分布列、计数原理
统计、概率分布列、计数原理一、选择题【2021，8】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【2021，9】（多选）有一组样本数据x1，x2,…,x n,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,y n,其中y i=x i+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同（）【2020，3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【2020，5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56% C．46%D．42%【2019，6】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的六个爻组成，爻分成阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.165 B.3211 C.3221 D.1611【2018，3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【2017，6】展开式中的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【2015，10】的展开式中，的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60621(1)(1)xx++2x25()x x y++52x y【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）． ． ． ．【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．以上都不对 【2013，9】设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【2011，8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．20- C ．20 D ．40【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 二、填空题【2019，15】甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场次安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 .【2018，15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【2016，14】的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）【2014，13】的展开式中的系数为 ．(用数字填写答案) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________． 三、解答题【2021，18】某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回A 18B 38C 58D 78512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭131223345)2(x x +3x 8()()x y x y -+22x y 元件2元件3元件1答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
高考专题全国卷真题2011至2018-计数原理排列组合二项式的选填
20.计数原理（1）分类加法计数原理,分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题；分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n 类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.分步乘法计数原理：完成一件事情可以分成n 个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第n 步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.（2）排列与组合 ①理解排列,组合的概念①能利用计数原理推导排列数公式,组合数公式。
排列数公式：组合数公式： ①能解决简单的实际问题。
（3）二项式定理 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题。
通项：【高考真题】20-1（2011全国-4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）（B ） （C ） （D ） 20-2（2011全国-8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）－40 （B ）－20 （C ）20 （D ）4020-3（2012全国-2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种20-4（2013全国①-9）设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的 二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）820-5（2013全国①-5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ） （B ）-3 （C ）-2 （D ）-11m 2m n m n m m m N +⋅⋅⋅++=211m 2m n m n m m m N •⋅⋅⋅••=21)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A mn -=+---= )!(!!12)2)(1()1()2)(1(m n m n m m m m n n n n A A C m mm n mn-=•--+---== nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(rr n r n r b a C T -+=11312233451()(2)a x x x x+-20-6（2013全国①-14）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n =________.20-7（2014全国①-5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 （A ）（B ） （C ） （D ） 20-8（2014全国①-13）的展开式中27x y 的系数为 .(用数字填写答案)20-9（2014全国①-13）的展开式中，的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 20-10（2015全国①-10）的展开式中，的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6020-11（2015全国①-15）的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．20-12（2016全国Ⅰ-14）5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）20-13（2016全国Ⅱ-5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，并一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）920-14（2017全国Ⅰ-6）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 （A ）15 （B ）20 （C ）30 （D ）3520-15（2017全国Ⅱ-6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种20-16（2017全国Ⅲ-4）5()(2)x y x y +-展开式中33x y 的系数为（A ）80- （B ）40- （C ）40 （D ）8020-17（2018全国Ⅰ-15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）20-18（2018全国Ⅲ-5）252()x x+的展开式中4x 的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80114183858788()()x y x y -+()10x a +7x 25()x x y ++52x y 4()(1)a x x ++a =E。
从2011年高考看“计数原理”
从2011年高考看“计数原理”作者：陆怡来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第09期摘要：本文结合考试大纲与2011年高考试题中的部分亮点题目，分析在新课程改革的背景下，“计数原理”在高考试题命制时的规律、特点及发展趋势.关键词：2011高考；计数原理；命题规律；命题趋势2011年高考已然落下帷幕，随着新课程改革的进一步深入与实施范围的再扩大，本文将结合2011年全国各地高考试题的命制情况，探究“计数原理”在2011年试题命制上的一些特点以及今后的发展趋势.从考试大纲看“计数原理”普通高等学校招生全国统考大纲（文理）对“计数原理”部分的要求：1. 考试内容分类计数原理与分步计数原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式；组合数的两个性质；二项式定理、二项展开式的性质．2. 考试要求①掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；②理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题；③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题；④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．注：新课程标准的考试大纲（文科）对这部分不做要求.从命题特点看“计数原理”?摇?摇分析2011年各地高考试题，对“计数原理”的考查有这样几个特点：1. 贴近大纲和课程标准，着重考查基本概念.本部分在命题时，严格按照大纲和课程标准的规定出题，重在考查学生对几个原理和定理的掌握情况，没有太多的知识综合，即使综合其他部分来出题，所结合的知识点也相对比较固定.2. 题型结构与分值相对稳定. 本部分试题考查的主要题型是选择题和填空题，个别试卷在概率大题中用到本专题知识，一般不会重复出现，前者分值大约4～5分，后者多为12分左右，新课标的文科试卷中没有本部分知识. 若出现创新元素，多为选择或填空最后一题.3. 贴近学生的实际生活. 本专题的实际问题都是每个学生熟知的事物，对每个学生都是公平的，正如课程标准中所要求的——使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.4. 试题含创新元素，学生答题需跳出常规思维. 这类题目不是通过背题型和知识能够解决的，而是需要一种深度的思考. 这也符合新科程理念下命题的核心指导思想：由知识立意到能力立意，以考查主干和核心知识为载体来考查数学的思维方法.从2011年的高考数学试题看“计数原理”试题展示一：（湖北理15题）给出n个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图1所示：图1由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案有_______种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_______种. （结果用数值表示）本题答案21，43.方法解析法1 当n=6时，最多可以有3个黑色正方形，用插空的方法放置，共C=4种不同的方法；有2个黑色正方形时，用插空的方法放置，共C=10种不同的方法；有1个黑色正方形时，用插空的方法放置，共C=6种不同的方法；没有黑色正方形时，有1种方法；所以当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案有4+10+6+1=21种.第二问用间接法考虑. 当n=6时，共有不同的涂色方法26=64种，减去黑色正方形互不相邻的着色方案，还剩64－21=43种.法2设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图1可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推断a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种. 第二问同解法一，故分别填21，43.试题点评本道题目以分类加法原理和组合模型为基础，采用着色问题的形式呈现题目，既可以用计数原理的知识解决，也可以从归纳推理入手，多角度考查考生的探究能力. 今年湖北的数学试题，在关注社会热点、强调应用意识、引入数学史料、创设开放情境、体现大众数学、拓展数学视野、考查探究能力等多方面不失时机地渗透新课程理念，为实现与明年新课程试卷的自然对接作了一些有益的尝试.为实现这一目的，一方面采用多元化、多途径、开放式的设计题目，全面检测考生观察、试验、联想、猜测、类比、探究等思维品质，另一方面有意识地对接新课程的大众数学思想，引导中学数学教学在知能并重的同时，拓宽学生的数学视野，提高学生的数学素养.本题系试卷中一亮点题目.试题展示二：（上海理文12）随机抽取9个同学，至少有2个同学在同一月出生的概率是________（默认每月天数相同，结果精确到0.001）.本题答案0.985.方法解析根据分步乘法原理，9名同学的生日分布共有129种不同的情况，如果任两名同学的生日不相同，则共有A种不同的情况，由间接法知，至少有2个同学在同一月出生的概率是1－.试题点评本题紧紧围绕教材，依照教材的例题改编而成，考察了学生对计数原理的掌握情况，同时本题也是概率论的经典问题，用以说明有些直观想法可能与实际结果相差很远，间接告诉人们要理性分析科学问题. 今年上海卷的考题，着重考查高中数学的基本知识与基本内容，本着有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则来设计. 如同本道题一样，题目大多立足于数学学科的特点，鼓励中学数学教学在合理的范围内对一些数学概念进行必要的分析和拓展，提高学生对数学的兴趣，希望学生认识到数学在科学中的重要性.本题的另一个明显特点是考查考生对数学概念的领悟能力. 题目本身不难，大多数考生可以解答. 若不加分析就计算，可能就会失分. 要是先进行分析和探索，综合自己掌握的数学知识，找到合适的切入点，问题就迎刃而解. 此外，源于教材、加强基本知识教学、反对题海战术是题目设计的另一个出发点，如果我们能在高考试题的设计上更注重引导学生在做一定量的数学试题和提高学习兴趣之间寻找一个平衡点，这样就可以争取更多的中学课堂回归到素质教育的讲堂中来.试题展示三：（湖南理16）对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，当i=0时，ai=1；当1≤i≤k时，ai为0或1. 记I（n）为上述表示中ai为0的个数（例如1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=________；（2）2I（n）=________.本题答案（1）2；（2）1093.方法解析（1）因12=1×23+1×22+0×21+0×20，故I（12）=2；（2）在2进制的k（k≥2）位数中，没有0的有1个，有1个0的有C个，有2个0的有C个，…，有m个0的有C个，…，有k－1个0的有C=1个. 故对所有2进制为k位数的数n，在所求式中的2I（n）的和为1•20+C•21+C•22+…+C•2k-1=3k-1. 又127=27－1恰为2进制的最大7位数，所以2I（n）=20+3k-1=1 093.试题点评本道题是新定义一种表示，要求考生运用二进制、排列组合、二项式定理、等比数列等基础知识以及分类与整合的数学思想解决问题.?摇从题目设计的角度来看，此题注意了题目设制的多元化，全面考查考生的数学素养，即关注对“三基”（基础知识、基本技能、基本思想方法）的考查，又在设计试题时注重了从教材中引申一些新的数学概念、符号，要求考生运用所给的新概念或符号作进一步的运算、分析、推理来解决问题.2011年是湖南实施新课程高考的第二年. 从本题的设计可以看出，今年试卷的命制在去年试卷命制的基础上进一步加大了改革力度，充分渗透新课改理念，在注重考查知识与技能的同时，加大对过程与方法的考查. 深化能力立意是数学命题一直以来的追寻目标. 在命制理念上突出全面的能力因素，多元化的能力层次；在命制构思上注重通性通法，坚持用数学基本思想方法解决问题；在试题呈现上突出新颖性.试题展示四：（湖南文16）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f（n）=n－k.（1）设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为________；（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为________.本题答案（1）a（a为正整数），（2）16.方法解析（1）由题可知f（n）∈N*，而k=1时，n>1，则f（n）=n－1∈N*，故只须f （1）∈N*，故f（1）=a（a为正整数）.（2）由题可知k=4，n>4，则f（n）=n－4∈N*，而当n≤4时，2≤f（n）≤3，即f（n）∈｛2，3｝. 于是n∈｛1，2，3，4｝，f（n）∈｛2，3｝，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为16个.试题点评本道试题在设计上注重了对学生创新意识的考查，题目本身区别于传统计数原理题目的编排模式和常见应用背景，形式新颖，让考生有耳目一新的感觉. 创新意识是理性思维的高层次表现. 在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合及融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创新意识也越强. 因此，在数学考题的设计上，注意试题形式的多样性、考查内容的层次性、呈现问题的开放性与探索性等，以加强对考生创新意识的考查，是新课程改革的重要内容. 如何利用好高考命题的机会，对传统内容试题的设计力求推陈出新，对新增内容的试题设计关注与传统内容的交汇融合，以形成联系广泛、背景新颖、结构精巧的试题对于促进新课程改革的纵深发展有着重要的指导意义.从命题趋势看“计数原理”计数原理是高中数学相对独特的一个知识板块，高考对该部分的考查主要从两个方面进行. 一是以选择题或填空题的形式有针对性地考查两个基本原理，排列、组合知识在实际计数中的应用，考查使用二项式定理解决二项式系数、项的系数以及简单的实际问题；二是在概率解答题中考查利用计数原理求解等可能性事件的概率，在综合解答题中的某个环节考查二项式定理的简单应用. 从近几年课标地区的高考试题来看，计数原理、排列、组合的考查以其应用为主（实际计数、计算概率），二项式定理的考查以其通项公式为主.?摇预计以后的高考会延续以前的传统，考查计数原理、排列组合解决实际计数问题和在计算概率中的应用，考查二项式定理的通项公式的应用、考查二项式定理在简单问题中的应用.试题也将更贴近学生的实际生活和学生熟悉的社会生活.。
2011高考数学总复习课件10.1--分类加法计数原理与分步乘法计数原理
则x
2
方
程
+y 2
m
A
n
=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 （ ）
A.6个
B.8个 C.12个
D.16个
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以当m=4时，
n=1,2,3；当m=3时，n=1,2；当m=2时，n=1,即
所求的椭圆共有3+2+1=6个，故选A.
3.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，
如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法
（1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4， 5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数； （2）当个位数字为1时，十位数字可以是2，3，4，5， 6，7，8，9，有8个满足条件的两位数； （3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6， 7，8，9，有7个满足条件的两位数； 以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9 时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个. 由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45个.
2.分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一
步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的
方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那 m么1×m2×…×mn
完成这件事情共有N=
种不同的
方法.
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 完成一件事情 的不同方法的种数.它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类 有关，各种方法相互 独立 ，用其中的任一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与分步 有关，各个步骤相互依 存 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.
2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之计数原理和二项式定理
答案:B 11.(2013 年重庆卷,理 13)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组, 则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 (用数字作答). 解析:选派骨科、脑外科、内科医生的人数依次为 3,1,1;2,2,1;2,1,2;1,3,1;1,2,2;1,1,3.
第十一章
第一节
计数原理
排列与组合
高考试题
考点一 两个计数原理
1.(2013 年福建卷,理 5)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的 个数为( (A)14 ) (B)13 (C)12 (D)10
2 2
解析:若 a=0,则 b 可以为-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有 4 个;若 a≠0,方程 ax +2x+b=0 有实数解,需Δ=4-4ab ≥0,所以 ab≤1,此时(a,b)的取值为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0), 共 9 个. ∴(a,b)的个数为 4+9=13.故选 B. 答案:B 2.(2012 年大纲全国卷,理 11)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也 互不相同,则不同的排列方法共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)36 种 解析:利用分步计数原理,先填最左上角的数,有 3 种,再填最右上角的数,有 2 种,再填写第二行第一列的数, 有 2 种,一共有 3×2×2=12 种. 答案:A 3.(2012 年北京卷,理 6)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数 的个数为( (A)24 ) (B)18 (C)12 (D)6
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明)
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明）一、选择题：1. (2011北京文)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)51.【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+=1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C2.(2011北京理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）（A ）-3 （B ）-12（C ）13 （D ）22.【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
3. (2011福建文)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名， 高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6B. 8C. 10D.12解析：由30:406:,n =可得8n =，答案应选B 。
4. (2011福建文)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A.3B.11C.38D.1234.解析：110,12310,a a =<=+=<2321110,11a a =+=>=,答案应选B 。
5. (2011广东理) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,,有S ab ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的，若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V=Z, 且T c b a ∈∀,,,有T c ab ∈,;V z y x ∈∀,,,有V xyz ∈,则下列结论恒成立的是（ ）A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V 中每一个关于乘法是封闭的5. 解析：（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ，若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
十四、计数原理
1.（重庆理4）(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中56
x x 与的系数相等，则n=
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B 2.（天津理5）
在
6
⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为 A ．154- B ．154 C ．38- D ．38
【答案】C
3.（四川理12）在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记
所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则m n =
A ．415
B ．13
C ．25
D ．2
3 【答案】D
基本事件：2
6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平
行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积
为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的
个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)
其为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 4.（陕西理4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是
A ．-20
B ．－15
C ．15
D ．20
【答案】C 5.（全国新课标理8）
5
1()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40
【答案】D
6.（全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位
朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
【答案】B
7.（福建理6）（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
【答案】B
8.（安徽理8）设集合
{}1,2,3,4,5,6,A =}8,7,6,5,4{=B 则满足S A ⊆且S B φ≠ 的集合S 为
（A ）57
（B ）56 （C ）49 （D ）8 【答案】B
9.（安徽理12）设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则a a 1011+= .
【答案】0
10.（北京理12）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有
__________个。
（用数字作答）
【答案】14
11.（浙江理13）设二项式（
6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ，
若B=4A ，则a 的值是 。
【答案】2
12.（山东理14）
若
6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .
【答案】4 13.（广东理10）7
2x x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答） 【答案】84 14.（湖北理11
）
18
x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 （结果用数值表示）
【答案】17
15.（湖北理15）给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。
当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
【答案】21 ； 43
16（全国大纲理13）（
20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．
【答案】0。