8. 图形的平移、旋转与对称
平移旋转与对称
平移旋转与对称平移、旋转和对称是几何学中常见的变换形式，在数学中有着重要的应用和研究价值。
本文将介绍平移、旋转和对称的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、平移平移是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，移动后的图形与原来的图形形状完全相同。
我们可以通过向量来描述平移。
设有平面上的一点A，平移的向量为v，则A点平移后得到的点A'可表示为A + v。
简单来说，平移是保持形状不变的移动。
平移的性质：1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
2. 平移保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。
3. 平移具有可逆性，即可以通过反向平移将图形移回原来的位置。
二、旋转旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线旋转一定的角度，使得旋转后的图形在形状上与原来的图形相似。
我们可以通过旋转矩阵来描述旋转变换。
设有平面上的一点A，绕O点逆时针旋转θ度后得到的点A'可表示为：[x' y'] = [cosθ -sinθ] [x - x0] + [x0][y - y0]其中(x0, y0)为旋转中心坐标。
旋转的性质：1. 旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。
2. 绕同一个点旋转的图形之间的大小和形状相似。
3. 旋转保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。
4. 旋转也具有可逆性，即可以通过逆时针旋转将图形旋转回原来的位置。
三、对称对称是指将一个图形中的点绕着一个轴进行翻转，使得翻转后的图形与原来的图形完全重合。
我们可以通过对称轴来描述对称变换。
设有平面上的一点A，关于对称轴l对称后得到的点A'可表示为A' = 2l - A。
简单来说，对称是保持形状不变的镜像变换。
对称的性质：1. 对称不改变图形的大小和方向，只改变图形的位置。
2. 关于直线对称的图形之间的大小和形状完全相同。
3. 对称保持图形上的任意两点关于对称轴的距离不变。
4. 对称具有可逆性，即可以通过再次对称将图形还原到原来的位置。
图形的平移、旋转与轴对称单元知识点总结
二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。
●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。
●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。
●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。
●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。
●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。
2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。
这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。
●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。
为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。
●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。
3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。
●轴对称图形至少有一条对称轴。
●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。
●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。
●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。
平移旋转和对称的基本概念
平移旋转和对称的基本概念平移、旋转和对称是数学中的基本概念，它们在几何学、代数学以及实际生活中具有重要的应用。
本文将通过解释这些概念的意义和原理，以及它们在不同领域的应用，来帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
1. 平移的概念与应用平移是指在平面上将一个图形移动到另一个位置，移动的距离和方向保持不变。
例如，我们可以将一个正方形从原来的位置移动到其他位置，而它的边长、面积和角度并不改变。
平移可以用向量来表示，通过将所有的点都按照相同的向量进行平移即可。
平移在几何学中有广泛的应用。
例如，在设计建筑物时，建筑师可以通过平移来确定各个房间的位置和相对位置，从而在平面上合理地布局。
另外，在计算机图形学中，平移也是实现图像移动和交互的重要手段，通过改变图像的位置实现动画效果。
2. 旋转的概念与应用旋转是指以某个中心点为基准，将图形按照一定角度旋转。
旋转使得图形的形状保持不变，只是在空间中发生了位置的改变。
旋转可以用角度来表示，通过将图形中的每个点绕着中心点旋转相同的角度即可。
旋转在几何学中也有很多应用。
在地理学中，地球的自转和公转使得我们能够感知到昼夜的变化和季节的交替。
在艺术作品和设计中，旋转被广泛地运用，例如一幅画中的旋转图案或者轮廓线。
3. 对称的概念与应用对称是指一个图形在某个中心点或者轴线的两侧是完全相同的。
简单来说，我们可以把一个图形沿着中心点或轴线对折，两边的形状是相同的，就可以说这个图形具有对称性。
对称可以分为平面对称和轴对称。
对称在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，对称是图形重要特征之一，通过对称性质可以简化计算和分析。
在物理学中，许多物理现象都具有对称性，例如轨道运动、电磁场分布等，通过对称性原理可以简化实际问题的求解。
通过对平移、旋转和对称的解释和应用，我们不仅能够更好地理解和运用这些基本概念，还能够在实际生活中发现它们的应用。
几何学中的这些基本概念贯穿了数学的各个领域，并且具有广泛的实际应用，对我们的日常生活和学习有着重要的影响。
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。
它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。
本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。
下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。
性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。
4. 任意两个平移可以合成为一个平移。
二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。
下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。
性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。
2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。
三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。
下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。
性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。
2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。
4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。
综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。
它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。
理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。
图形的变换：轴对称,平移与旋转
•①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的 两个图形全等).
•②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼 此相等(都是旋转角).
•③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.
•3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
(五)图形的三种主要变换：
平移、旋转、轴对称
共同特征：变换后图形的形状和大小 都没有改变，线段的长度和角的大小 都不变，前后两个图形能完全重合， 即是全等图形.
•6. 性质：
•①两个图形全等.
•②对称中心平分两个对应点所连的线 段.
二、平移
•1.平移： •如果一个图形沿某个方向平移一定的距离， 这样的图形运动称为平移.
•2.性质： •①平移不改变图形的形状和大小(即平移前 后的两个图形全等).
•②对应线段平行且相等,对应角相等.
•③经过平移,两个对应点所连的线段平行且 相等.
练习3：对于一个任意的平面图 形(如图),是否存在一条直线,将 它分割成面积相等的两部分?
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3，把一个三角尺ACB绕着30°
的顶点B顺时针旋转，使得点A与
CB的延长线上的点E重合。则三角 尺旋转了__1_50____度，∠BDC=
由旋转变换性质 可知图中有哪些 等量关系？
__1_5____度
△BDC是什么
的面积？
S=(8+5) ×4÷2=26
A
D
3
8
H
5
B4 E
F C
2,如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现 将△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA ． 则△ABC所扫过的图形面积为________．
B
F
C
A(C)
由平移变换特征可知图中有 哪些三角形全等？
平移旋转与对称
平移旋转与对称平移、旋转与对称一、引言平移、旋转与对称是几何学中常见且重要的概念，它们在数学、物理学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
本文将从数学的角度介绍平移、旋转与对称的基本概念、性质和应用。
二、平移1. 平移的定义平移是指在平面上将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而不改变其形状、大小和方向。
形式化地说，平移是通过一个向量来描述的，该向量表示了平移的方向和距离。
2. 平移的性质- 平移不改变图形的面积和内角和。
- 平移保持图形的等边性，即等边图形在平移后仍然是等边图形。
- 平移保持图形的平行性，即平行线在平移后仍然是平行线。
3. 平移的应用- 平移在几何学中常用于构造等边多边形、拼图等问题。
- 平移在计算机图形学中广泛应用于图形的移动和动画效果的实现。
- 平移在物理学中用于描述质点在空间中的位移。
三、旋转1. 旋转的定义旋转是指在平面上围绕某个中心点将一个图形按照一定的角度转动，而不改变其形状、大小和面积。
旋转可以通过一个角度和一个旋转中心来完全描述。
2. 旋转的性质- 旋转不改变图形的面积和内角和。
- 旋转保持图形的对称性，即旋转图形的对称轴仍然是旋转后图形的对称轴。
- 旋转保持图形的相似性，即相似图形在旋转后仍然是相似图形。
3. 旋转的应用- 旋转在几何学中用于构造正多边形、旋转体等问题。
- 旋转在计算机图形学中广泛应用于图形的旋转变换和特效的实现。
- 旋转在物理学和力学中用于描述刚体的转动和角速度问题。
四、对称1. 对称的定义对称是指在平面上沿着某条线、点或面将一个图形折叠，使得折叠前后的图形完全重合，或者称为对称轴或对称中心。
根据对称的方式可以分为线对称和点对称。
2. 对称的性质- 对称不改变图形的面积和内角和。
- 线对称保持图形的形状和大小不变，点对称既保持形状和大小也保持方向不变。
- 对称保持图形的对称性，即对称图形的对称轴或对称中心仍然是对称后图形的对称轴或对称中心。
3. 对称的应用- 对称在几何学中用于构造对称多边形、折纸等问题。
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。
它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。
一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。
平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。
二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。
旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。
3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。
三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。
对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。
综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。
它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。
通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。
通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。
《轴对称图形》平移、旋转和轴对称
对于任何一对对称点，它们到对称轴的距离相等，且连线垂直于对 称轴。
旋转与轴对称的关系
一个图形以某点为旋转中心旋转一定角度后与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条旋转中心成轴对称。
轴对称应用
艺术领域
许多艺术作品都利用了轴对称原 理，如建筑、雕塑、绘画等，给
人以美的感受。
自然界中
自然界中许多物体也具有轴对称 性，如叶子、花朵、动物身体等 ，这反映了自然界中一种平衡和
平移的性质
平移不改变图形的形状、 大小和方向，只改变图形 的位置。
平移性质
对应线段相等
平移后得到的图形与原图形对应线段相等。
对应角相等
平移后得到的图形与原图形对应角相等。
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
平移后得到的图形与原图形对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
平移应用
平行四边形的判定
旋转定义
旋转
在平面内，将一个图形绕 一个定点沿某个方向转动 一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
旋转角
图形旋转时转动的角度。
旋转中心
图形旋转时，定点所在的 位置称为旋转中心。
旋转性质
旋转方向：可以是顺时针或逆 时针方向。
旋转角度：可以是任意角度， 但必须是0°的整数倍。
旋转前后图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线 段长度、对应角大小相等。
根据平行四边形对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另 一个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四 边形。
梯形的判定
根据梯形一组对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另一 个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是梯形。
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第二单元：图形的平移、旋转与对称
教师：先看这样一些现象。
（课件出示生活中的一些平移现象）知道这是一些什么现象吗？
引导学生说出：这是生活中的一些平移现象。
教师：在三年级时我们就观察过一些生活中的平移现象，你能用手做一做平移吗？
学生用手做平移。
教师：很好，原来我们都是研究生活中的平移现象，今天我们要从数学的角度来深入研究图形的平移。
（板书课题）
二、教学新课
1．教学例1
①研究长方形的平移
教师：我们以长方形为例，（课件出示长方形和方格图）仔细看看长方形是怎样平移的？（课件演示长方形从位置①平移到位置②）看清楚了吗？再看一遍。
（课件放慢速度再演示一遍）
引导学生说出：长方形从位置①平移到了位置②。
教师：长方形平移了多少格呢？请先用学具在方格纸上移一移。
学生操作学具后讨论。
估计有的学生会说移动了6格，有的会说8格。
教师：说一说你是怎样观察长方形移动格数的？
请持两种意见的学生各一个到视频展示台上边展示边介绍，说6格的是两个长方形间相隔6格，说8格的是从位置①的某个点到位置②相应点相隔8格。
教师：你们觉得谁的意见对呢？
如果学生能说出平移是点到点的移动，则加以肯定；如果学生思考有困难，则可以用课件再演示一遍。
演示时先在位置①的长方形上找一个点A闪烁，让学生直观地观察这个闪烁的点到A′平移了多少格，通过演示统一学生的意见。
教师：你们觉得是平移了6格还是平移了8格呢？
学生：8格。
教师：从中你知道什么？
引导学生说出：我知道平移的距离是平移前的点到平移后相应点的距离。
教师：现在谁能完整地说说长方形是怎样从位置①平移到位置②的？
引导学生说出：长方形从位置①向右平移8格到位置②。
②研究的平移
教师：通过刚才的研究我们知道了研究平移现象时要关注点到点的距离。
现在我们回到开始上课时看的图片中，（课件出示例2）这也是一个平移现象，把它和刚才的长方形的平移相比，你能发现它们之间有什么相同和不同吗？
（学生讨论后回答，估计会回答：相同的是和长方形都在平移而且都是点到点之间的平移；不同的是长方形是沿水平方向平移而是沿竖直方向平移）
教师：在方格纸上竖直平移了多少格呢？
（如果学生能直接看出来，教师给予表扬；如果学生不能直接看出，仍可以在方格纸上用学具操作后再说出平移了5格）
教师：现在你又能说说是怎样从位置③平移到位置④的？
学生有了前面的经验能说完整：是从位置③向下平移5格到位置④的。
教师：从上面的研究中你知道我们研究平移时需要注意哪些问题？
（学生讨论后回答：要注意图形平移的方向和平移的距离）
教师：很好！我们观察平移现象时就应该注意观察图形的平移方向和平移距离。
（板书：方向距离）
③练习
教师指导学生合作完成练习六第1(1)题，完成后集体订正。
2．教学例2
教师：同学们学得不错，（课件出示如下图情景）你能再说一说三角形怎样从位置①平移到位置②吗？
学生：三角形从位置①向左平移5格到位置②。
教师：不错，（课件出示位置③的三角形）三角形怎样才能从位置①平移到位置③呢？小组讨论，想一想你能发现什么？
学生用三角形在方格纸上平移，操作完以后抽学生展示汇报，汇报的结果可能有两种：学生1：三角形先向左平移5格，再向上平移4格到位置③。
学生2：三角形先向上平移4格，再向左平移5格到位置③。
教师：同学们有这么多种方法，你们赞成哪一种呢？
学生：两种方法都可以。
教师：我们就以第1种方法来研究（课件演示三角形从位置①平移到位置②再到位置③的过程）请同学们思考一下，这次我们研究的平移和前面我们研究的平移有什么不同呢？
引导学生发现：前面我们研究的是1次平移，现在我们研究的是2次平移。
教师：对，你能介绍一下三角形是怎样从位置①平移到位置③的吗？注意两次平移都要介绍清楚。
请先在小组内交流一下。
学生讨论后汇报。
教师：把同学们的说法综合起来，我们可以像这样介绍：（课件出示）三角形先由位置①向平移格，到位置②；再由位置②向平移格，到位置③。
学生一起介绍一遍。
教师：你能用这种方法来介绍刚才同学们汇报的第2种方法吗？
学生：能。
（抽学生介绍）
教师：同学们在介绍的时候把两次平移有顺序地介绍清楚了。
你觉得在介绍两次平移时要注意什么呢？
引导学生说出：要有顺序地介绍，还要注意把两次平移的方向和距离都介绍清楚。
三、巩固练习
学生独立完成练习六第1（2）（3）题，在完成第2题后，抽学生的作业在视频展示台上展示，集体订正。
四、课堂小结
教师：这节课你学到了什么？有哪些收获？在平移时要注意哪些问题？
学生回答略。
【课后反思：本节课主要有这样几个特点：一是每道题教学的侧重点都不同，例1中的第1个小题从数学的角度研究平移现象，重点让学生理解平移距离是点到点的距离；而第2个小题重点让学生比较水平平移和竖直平移的相同点和不同点，使学生了解平移与方向和距离有关。
这样从不同的侧重点设计教学，使学生感到每个小题都有新意，能自始至终地对学习保持浓厚的兴趣；二是注意了新旧知识的联系，依靠学生对原有平移现象的了解来教学新知识；三是教学内容紧密贴近学生的生活实际，用设计花边的活动让学生体会所学知识的应用价值，这样有利于激发学生学习的兴趣，使学生从中获得价值体验，坚定学生学好数学的信心】。