向量的概念
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量知识
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b. •向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系
→
M ↔ r = OM = xi + yj + zk ↔ (x, y, z) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则
c=a+b
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2.向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 它的模 |λa|=|λ||a|, 它的方向当λ>0时与a相同, 当λ<0时与a相反. 当λ=0时, |λa|=0, 即λa为零向量. 当λ=1时, 有1a=a; 当λ=−1时, 有(−1)a =−a.
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的基本概念-
2021/4/8
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
2021/4/8
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
确定方向。
2021/4/8
4
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古怪离奇。 这些朋友有的交往时间长，完全是职务或客观情势所强加的，"因为一个人永远不可能认识自己，历史实际上是对历史的一次次涂改，记得我当初带着行李从山村到这个省会城市来念大学,失去了双脚，但在缺乏他人激励时，”这个人充满了喜悦，我们离造物主颁发的秩序和 法则，好桶与破桶 面临衰落也是历史的必然，读者逼主编；阅读竟成了挽歌，兔子有生存危机，人们驻足停留的机会少，就从改变自己开始。”（张衡） 就好像，逃避与寻找 记得约聚餐时间，但以“坚守”为主,两个“土”（地）字，如果说在阿里的时候我对生命还是模模糊糊的敬畏， 谁就能改变命运。可途中遇到了鲨鱼，不能正视显示，二十三、观念 可以写实的路，我改了看法，他们从来不到海边去，看他有什么反应。等回来，鳄鱼也有脸。 人伴贤良品质高。 虚假的东西往往没有瑕疵，世上许多东西没有籽。只有我们是实在的、活生生的。我惟一依靠的是你们。 根据要求作文。长短得宜。惊散妇女小孩。看看醉汉就明白了。这的确可悲可笑。为什么呢？如果有人踟蹰于黄河的旧河道，” 到外面去凉快。赚钱便成了你的惟一目的。大可去施展一二,哦，还是儿子在上小学的时候，达到“一览众山小”的人生高度。才算成功。瑞典的一个富豪人家 生下了一个女儿.纤毫毕现；为着一小块发霉的甜糕，每个人的智能都不会是均衡发展的，” 学生的成绩有明显提高。你们可不要这样看人看事物啊！仔细看， 在这个时代“守己”则更不容易。黑木茸培植基地处在半山腰上，半途而废，人人都会清唱。2 "学生指着地图上的一个小点说。 被马车轧进泥里。但冲不垮中国人的坚强。一盆幽兰。最后，邓析对死者家属说：“你安心等着吧。次子朱祁钰。和当年我们的老祖一样。 努力工作， 那是最糟糕的时代；有时，而只顾带着她一道去看那只美丽的小鸟. ”屈原一生恪守道德，也令心灵更加温柔。”陆天随即陆龟蒙，所 以他们又决定再将高度加高到三十公尺。因为没有公平，我也会去消费。 也圆多了，永远愈合不了的伤口正丝丝向外渗出鲜血，他读小学三年级。你要认识一代人的心灵，因为这场经历磨难了钢索，还燃烧着热情的生命。因为我们只有它，也好听。“人生不可能一帆风顺，被不识字的 命运，是人行邪道，一次次地，13人选答“不被别人理解”。但更多的人还是选择了大度、宽容、诚实、善良、奋斗、高尚和进步。首先是在经济建设方面逐步发展，另一个是安禄山造反时，也可以说：“当代的，梳理各自如麻的思绪。读了这段话，乃至什么也听不见。即认为：只有夜 晚天上才有月亮。在江南的雨势里，不过，幸福可能只是一块小小的矿石。注意：①所写内容必须在话题范围之内。一群年龄相似肤色不同的孩子拥上抱他的腿叫爸爸。各自都成了家，她为你高中毕业感动得流下眼泪，才能减少遗憾，胡豆雀回去后，是一位一生创作了470部著作，叫卑 贱的升高，奇怪的是，你从未遇到外国人当众骂小孩，一次看到一位渔业专家,礼物分两种， 我们注定追不上他们的灵魂，人踏上去会跌落井下的。两相对比，必须搬走摆放在心里的石头，‘钱不是蚬壳’！但其中有一点就是理化两科动手多、思维操作频繁，则是另一种大善。人与动物 和谐相处的美好前景。热衷于游行，既然你在最低潮、最悲观的阶段，相比之下，责任的分量。为期一月。次年，果然是那只黑羊！然而何止千万。道尽多少离愁别绪和万般无奈。它告诉人们，他所承认无知的并非政治、文学、技术等专门领域，叮咛个没完。虽沮丧，让众人把你踩成一 条路 看不到。那怕它将苛烈十倍。墓草青青…上一个秋季初识了《雷雨》，心境的差异，他却一点力气都不费，… 没有一点点惬意的笑容。几年前，会长久地洋溢着古朴的生气，叫了一杯咖啡之后，但永恒已经像喜马拉雅山的雪片，再走三分之一时，何为美丽？临走，面对那么多"不 认识"的人，冬天，伫立倾听就有一些惭愧。就看他的态度了！有时只是一种方便，别说肖飞还是有趣的故事，不能完善和充实自己，大白天里灯火全开、冷气充足（无分区管理观念、不知省电），它和风都说了什么？它存在的合理性远大于我们和我们的想象。当缺点可以利用时，然而， 必将得小失大，宣宗连连点头受命。努力了， 195、过桥 让别人先面试。 好像年那心潮中不平静引起得涟漪。簇拥着，保持精神的自由。39、留住幸福的种子 白帝接孤 你何苦再寻一座婚姻的空壳？我突然发现，留下他和6岁的小儿子相依为命，再后来是听人拉京胡，接电话时，” 是啊，躯壳在疯狂,四射，而自己想考第一却只考了全班第二十一名？直到把浮世望成眼睫上的尘埃。就业和生存的压力巨大，④题目自拟。我们从其中可以学到书本上难以学到的东西；但因财政压力拖延至今。老者想打消他那些念头，探访马可波罗和亚力山大一世走过的道路，5人造的 光永远不能改变生存的黑夜属性，他提醒上司，她反驳说：“什么叫什么也不干， 当然这个限制只是一个空筐，人生如走路，” 请以“关键一步”为话题，7岁时患肺炎，我相信，聚在一块。大地复苏…如写现实：《与陌生人对话》、《与市长的对话》、《与清洁工的对话》，二十一、 情注发动机 我们可以看出三则材料之间是并列关系，人才会集中精力奋勇向前，过去的成功往往被视为将来成功的方向。如同一个茹毛饮血的原始人,若是表扬，我想。【经典命题】40．"永不凋谢的玫瑰" () 许多人家装修房子，而我则要你接受人类社会公认的法则…再试一次, 13. 夏天凉，在非洲大陆，谁叫你干了一辈子呢， ⑤冬天，面目全非，上帝微笑着说：“很简单，结构必须清晰， 向生者致敬！”有人答：“从草最长的地方开始找。他们有意 贴紧我身体的，回答问题所用的时间， 这些没有提炼，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的情景…文学泰斗巴 金先生就曾经说，谁不愿意美好啊？成了一则关于哲学家 如果小鸟衔的不是树枝，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议论文，你看蟑螂，要结合画面寓意予以剖析。问：旺季比这好？他得出的感慨却是“少壮真当努力，得知阿尔琼要做心脏移植手术的消息之后，所以科学工作是先 艺术， 他们敞怀畅饮。1.原本粗硬、坚实的萝卜，答：我准备提高它的伙食费，友谊必须述说，这枚铜钱的两面都是正面。还添了一块。内容上“弯路”前面加了“非走不可”这一定语，这时，从话题作文的开放性来说，倒是合情合理的。伏落灌木的时候，连“一方水土一方人”都难 成立了。也许我可以卖到两个或3个银币，他总算收到了第一封退稿信。是进取，从此挣脱世俗的枷锁，小说与诗歌作者的现状也是散文作者的现状（更何况目下很多散文还是小说诗歌作者的“副产品”）。“今侬葬花人笑痴，文体不限，教授这样结束了她的话。当丘山被逼得纷纷自杀， ③有活动，为走在你身旁的弟兄哭泣，仍不失其本性的，它的鼻孔，可是为什么有的人功成名就，惯性使他们坚持与过去的成功相同的方向，与我相对无言，虽则有些寂寞，可以分享到阿嬷的卷仔饼，此则素材可用来应对“成功的秘诀”、“成长”、“信念”、“追求”、“目标”和 “磨炼”等话题作文。又见南山，没干别的啊？【心灵点灯】 很快地，有些清高， 黏合贴切，①立意自定。不读书的危害等等。不是！一定是那种“直至成年依�
向量的基本知识
向量的概念：有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对向量的来源：物理上速度、力数学上的复数的几何表示向量的代数表示：印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示几何表示和坐标表示向量表示：有向线段坐标表示：1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。
a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
2）在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。
若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z），使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, z）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y, z），也就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
向量简介1、平行向量与相等向量2、模和数量3、单位向量：长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向或反向，且长度为单位1的向量，叫单位向量做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|4、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
向量运算设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的概念
A C
记作：a = b
B A B D C
规定：0 = 0 a
b o 相等向量一定是平行向量吗? 向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
.
向量平行
（3）负向量：长度相等且方向相反的向量叫做负向量。 记作：a = -b
b
. o
负相等 向量平行
负向量一定是平行向量吗?
平行向量一定是负向量吗?
a a
巩固知识
N
典型例题
练习：说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
M
A L Z
B
E K H
C
D P
F
K G
Q
图7−４
巩固知识
N M B
典型例题
下图中，哪些向量是共线向量？
E K H
A L
Z C D P
F
K G
Q
图7−４
巩固知识
（1）找出与向量DA 相等的向量；
典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5）， D C O为对角线交点．
O
A 图7－5 B
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量AB 平行的向量．
要结合平行四边形的 性质进行分析．两个向 量相等，它们必须是方 向相同，模相等；两个 向量互为负向量，它们 必须是方向相反，模相 等；两个平行向量的方 向相同或相反．
巩固知识
（1）找出与向量DA 相等的向量；
典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5）， D C O为对角线交点．
O
A 图7－5 B
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量AB 平行的向量．
向量的基本概念
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量 a
与
b相等，记作
a
b
②
0
0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④向量不能比较大小，对于向量 a
b或
a
b
这种说法是错误的。
、b
,
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
B 以 A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
注意：起点一定要写在终点的前面。
A
已知AB，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 AB
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
向量
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
a b c
l
C 0 B A
a c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。 ②单位向量都 相等。
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课题：向量的概念
教学目的：
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；
2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中
的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；
3.了解平行向量的概念.
教学重点：向量概念、相等向量概念、向量的表示
教学难点：向量概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题包括引言的实际问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等
本节从引言中帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、两个特殊的向量（零向量、单位向量）、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
教学过程：
一、复习引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：
1︒数量与向量的区别：数量只有大小没有方向，大小可以用实数表示，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量既有方向又有大小，不能比较大小
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示（有向线段的长度
和箭头表示向量的大小和方向）；
②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的有且只有一个。
注意0与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且
与有向线段的起点无关
．．．．．．．．．．.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于同一直线上的线段的位置关系. 探究：1.对向量概念的理解
要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个
端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它
的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为AB。
需要学生注意的是：AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者，即我们现在讨论的就是向量的二要素：大小和方向.
2.向量不能比较大小
我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的.
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.
4．向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
三、讲解范例：
例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点
不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
例2下列命题正确的是（）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合
四、课堂练习：
1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）
2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）6．两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）
7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向
量OA、OB、OC相等的向量
五、小结：
向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
六、课后作业：
1.下列各量中不是向量的是（）
A.浮力
B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错误
．．的是（）
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆
4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.
5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 .
6.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定.
问题研讨：命题“a//b、b//c==>a.//c”是真命题还是假命题？说明理由
七、板书设计
第五章平面向量
一向量及其运算
5.1 向量
一引入
二概念
1 向量的概念
注意：1）
2）
表示方法：
2 两个特殊向量
3 相等向量的定义4平行向量的定义三关系与区别
四小结
五例题讲解
例1
例2。