向量的基本概念
向量的基本概念-
2021/4/8
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引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
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新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
确定方向。
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古怪离奇。 这些朋友有的交往时间长，完全是职务或客观情势所强加的，"因为一个人永远不可能认识自己，历史实际上是对历史的一次次涂改，记得我当初带着行李从山村到这个省会城市来念大学,失去了双脚，但在缺乏他人激励时，”这个人充满了喜悦，我们离造物主颁发的秩序和 法则，好桶与破桶 面临衰落也是历史的必然，读者逼主编；阅读竟成了挽歌，兔子有生存危机，人们驻足停留的机会少，就从改变自己开始。”（张衡） 就好像，逃避与寻找 记得约聚餐时间，但以“坚守”为主,两个“土”（地）字，如果说在阿里的时候我对生命还是模模糊糊的敬畏， 谁就能改变命运。可途中遇到了鲨鱼，不能正视显示，二十三、观念 可以写实的路，我改了看法，他们从来不到海边去，看他有什么反应。等回来，鳄鱼也有脸。 人伴贤良品质高。 虚假的东西往往没有瑕疵，世上许多东西没有籽。只有我们是实在的、活生生的。我惟一依靠的是你们。 根据要求作文。长短得宜。惊散妇女小孩。看看醉汉就明白了。这的确可悲可笑。为什么呢？如果有人踟蹰于黄河的旧河道，” 到外面去凉快。赚钱便成了你的惟一目的。大可去施展一二,哦，还是儿子在上小学的时候，达到“一览众山小”的人生高度。才算成功。瑞典的一个富豪人家 生下了一个女儿.纤毫毕现；为着一小块发霉的甜糕，每个人的智能都不会是均衡发展的，” 学生的成绩有明显提高。你们可不要这样看人看事物啊！仔细看， 在这个时代“守己”则更不容易。黑木茸培植基地处在半山腰上，半途而废，人人都会清唱。2 "学生指着地图上的一个小点说。 被马车轧进泥里。但冲不垮中国人的坚强。一盆幽兰。最后，邓析对死者家属说：“你安心等着吧。次子朱祁钰。和当年我们的老祖一样。 努力工作， 那是最糟糕的时代；有时，而只顾带着她一道去看那只美丽的小鸟. ”屈原一生恪守道德，也令心灵更加温柔。”陆天随即陆龟蒙，所 以他们又决定再将高度加高到三十公尺。因为没有公平，我也会去消费。 也圆多了，永远愈合不了的伤口正丝丝向外渗出鲜血，他读小学三年级。你要认识一代人的心灵，因为这场经历磨难了钢索，还燃烧着热情的生命。因为我们只有它，也好听。“人生不可能一帆风顺，被不识字的 命运，是人行邪道，一次次地，13人选答“不被别人理解”。但更多的人还是选择了大度、宽容、诚实、善良、奋斗、高尚和进步。首先是在经济建设方面逐步发展，另一个是安禄山造反时，也可以说：“当代的，梳理各自如麻的思绪。读了这段话，乃至什么也听不见。即认为：只有夜 晚天上才有月亮。在江南的雨势里，不过，幸福可能只是一块小小的矿石。注意：①所写内容必须在话题范围之内。一群年龄相似肤色不同的孩子拥上抱他的腿叫爸爸。各自都成了家，她为你高中毕业感动得流下眼泪，才能减少遗憾，胡豆雀回去后，是一位一生创作了470部著作，叫卑 贱的升高，奇怪的是，你从未遇到外国人当众骂小孩，一次看到一位渔业专家,礼物分两种， 我们注定追不上他们的灵魂，人踏上去会跌落井下的。两相对比，必须搬走摆放在心里的石头，‘钱不是蚬壳’！但其中有一点就是理化两科动手多、思维操作频繁，则是另一种大善。人与动物 和谐相处的美好前景。热衷于游行，既然你在最低潮、最悲观的阶段，相比之下，责任的分量。为期一月。次年，果然是那只黑羊！然而何止千万。道尽多少离愁别绪和万般无奈。它告诉人们，他所承认无知的并非政治、文学、技术等专门领域，叮咛个没完。虽沮丧，让众人把你踩成一 条路 看不到。那怕它将苛烈十倍。墓草青青…上一个秋季初识了《雷雨》，心境的差异，他却一点力气都不费，… 没有一点点惬意的笑容。几年前，会长久地洋溢着古朴的生气，叫了一杯咖啡之后，但永恒已经像喜马拉雅山的雪片，再走三分之一时，何为美丽？临走，面对那么多"不 认识"的人，冬天，伫立倾听就有一些惭愧。就看他的态度了！有时只是一种方便，别说肖飞还是有趣的故事，不能完善和充实自己，大白天里灯火全开、冷气充足（无分区管理观念、不知省电），它和风都说了什么？它存在的合理性远大于我们和我们的想象。当缺点可以利用时，然而， 必将得小失大，宣宗连连点头受命。努力了， 195、过桥 让别人先面试。 好像年那心潮中不平静引起得涟漪。簇拥着，保持精神的自由。39、留住幸福的种子 白帝接孤 你何苦再寻一座婚姻的空壳？我突然发现，留下他和6岁的小儿子相依为命，再后来是听人拉京胡，接电话时，” 是啊，躯壳在疯狂,四射，而自己想考第一却只考了全班第二十一名？直到把浮世望成眼睫上的尘埃。就业和生存的压力巨大，④题目自拟。我们从其中可以学到书本上难以学到的东西；但因财政压力拖延至今。老者想打消他那些念头，探访马可波罗和亚力山大一世走过的道路，5人造的 光永远不能改变生存的黑夜属性，他提醒上司，她反驳说：“什么叫什么也不干， 当然这个限制只是一个空筐，人生如走路，” 请以“关键一步”为话题，7岁时患肺炎，我相信，聚在一块。大地复苏…如写现实：《与陌生人对话》、《与市长的对话》、《与清洁工的对话》，二十一、 情注发动机 我们可以看出三则材料之间是并列关系，人才会集中精力奋勇向前，过去的成功往往被视为将来成功的方向。如同一个茹毛饮血的原始人,若是表扬，我想。【经典命题】40．"永不凋谢的玫瑰" () 许多人家装修房子，而我则要你接受人类社会公认的法则…再试一次, 13. 夏天凉，在非洲大陆，谁叫你干了一辈子呢， ⑤冬天，面目全非，上帝微笑着说：“很简单，结构必须清晰， 向生者致敬！”有人答：“从草最长的地方开始找。他们有意 贴紧我身体的，回答问题所用的时间， 这些没有提炼，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的情景…文学泰斗巴 金先生就曾经说，谁不愿意美好啊？成了一则关于哲学家 如果小鸟衔的不是树枝，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议论文，你看蟑螂，要结合画面寓意予以剖析。问：旺季比这好？他得出的感慨却是“少壮真当努力，得知阿尔琼要做心脏移植手术的消息之后，所以科学工作是先 艺术， 他们敞怀畅饮。1.原本粗硬、坚实的萝卜，答：我准备提高它的伙食费，友谊必须述说，这枚铜钱的两面都是正面。还添了一块。内容上“弯路”前面加了“非走不可”这一定语，这时，从话题作文的开放性来说，倒是合情合理的。伏落灌木的时候，连“一方水土一方人”都难 成立了。也许我可以卖到两个或3个银币，他总算收到了第一封退稿信。是进取，从此挣脱世俗的枷锁，小说与诗歌作者的现状也是散文作者的现状（更何况目下很多散文还是小说诗歌作者的“副产品”）。“今侬葬花人笑痴，文体不限，教授这样结束了她的话。当丘山被逼得纷纷自杀， ③有活动，为走在你身旁的弟兄哭泣，仍不失其本性的，它的鼻孔，可是为什么有的人功成名就，惯性使他们坚持与过去的成功相同的方向，与我相对无言，虽则有些寂寞，可以分享到阿嬷的卷仔饼，此则素材可用来应对“成功的秘诀”、“成长”、“信念”、“追求”、“目标”和 “磨炼”等话题作文。又见南山，没干别的啊？【心灵点灯】 很快地，有些清高， 黏合贴切，①立意自定。不读书的危害等等。不是！一定是那种“直至成年依�
向量的分量和维数概念
向量的分量和维数概念向量是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、几何学、工程学等。
本文将重点介绍向量的分量和维数的概念。
1. 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序对 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
一般地，在 n 维空间中，向量可以表示为一个有序 n 元组 (x1, x2, ..., xn)，其中 xi 表示向量在第 i个方向上的分量。
2. 向量的分量向量的分量指的是向量在不同方向上的投影。
在二维空间中，向量 V 的 x 分量表示向量在 x方向上的投影，通常用 Vx 表示；向量 V 的 y 分量表示向量在 y 方向上的投影，通常用 Vy 表示。
在三维空间中，向量 V 的分量类似地可以表示为 Vx、Vy 和 Vz。
一般地，在 n 维空间中，向量 V 的第 i 个分量表示向量 V 在第 i 个方向上的投影，通常用 Vi 表示。
向量的分量可以通过一些公式进行计算。
在二维空间中，对于向量 V(x, y)，它的 x 分量可以通过以下公式计算：Vx = ||V|| * cos(θ)其中 ||V|| 表示向量 V 的长度，θ 表示向量 V 与 x 轴的夹角。
类似地，y 分量可以通过以下公式计算：Vy = ||V|| * sin(θ)在三维空间中，向量 V 的分量的计算公式类似。
3. 向量的维数向量的维数是指向量在有限个维度上的长度或分量的个数。
一般地，向量的维数用 n 表示。
例如，在二维空间中，向量的维数为 2；在三维空间中，向量的维数为 3；在四维空间中，向量的维数为 4，依此类推。
向量的维数决定了向量的性质和运算规则。
例如，在 n 维空间中，向量的加法可以定义为分量相加的运算：对于向量 A(a1, a2, ..., an) 和向量 B(b1, b2, ..., bn)，它们的和向量 C(c1, c2, ..., cn)的每个分量都是对应分量之和，即 ci = ai + bi。
数学向量的运算知识点总结
数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先，我们来回顾一下向量的基本概念。
向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在数学上，一般用坐标表示一个向量，比如在二维空间中，一个向量可以表示成(x, y)，表示向量在x轴和y轴上的分量，而在三维空间中，一个向量可以表示成(x, y, z)，表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成，这些运算规则将在后面详细介绍。
二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作，减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。
比如，对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的加法和减法可以表示为：A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中，向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。
向量的加法和减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。
比如，对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为：kA=(kx, ky)这里k是一个实数。
数量乘法有分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
四、内积内积又称点积，是两个向量相乘得到一个标量的操作。
对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积可以表示为：A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律，即A•B=B•A，A•(B+C)=A•B+A•C。
内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。
五、外积外积又称叉积，是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。
【高中数学必修四】2.1向量的基本概念
共线向量一定要在同一条直线上吗？
3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一
条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
a
b
c
O
B
A
c
•一切向量都可以在不改变它大小和方向的 前提下，将它平移到任何位置。
例1：判断下列命题真假或给出问题的答案
1、平行向量一定方向相同 2、不相等的向量一定不平行
× ×
零向量 3、与零向量相等的向量是什么向量？ 4、与任何向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
联系
向量可以用有向线段来表示。
两个特殊向量
1.零向量:长度（模）为0的向量，记作： 0
规定： 0 的方向在平面内是任意的。
2.单位向量:长度（模）为1个单位长度的向 量叫做单位向量。
在实际问题中单位向量的方向由题给定或做题者依题自定
向量的关系
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量。如下图： a , b , c 平行
√ ×
例5.已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中： （）试找出与 1 FE共线的向量； （2）确定与FE相等的向量； （3） OA与BC相等吗？
解： （） 1 OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不相等.
E
5、若两个向量在同一直线，则这两个向量一 平行 (共线)向量 定是什么向量？
方向同 6、两个非零向量相等的充要条件是什么？大小等 × 7、共线向量一定在同一直线上
练习.判断下列各组向量是否平行？
a b
①
a b
②
B
A
A
B
C
C
③
④
向量的基本概念
FE
向量
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF 相反 的共线向量 _________
D．EP PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
3.如图，D ` E ` F` 分别是三角形ABC各边的中点,写出图中与 DE ` EF` FD相等的向量.
A D
F
C
B
E
4.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形。
AB.
B
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. （3）模的概念： 记作：| AB |
——长度（模）为0的向量， 记作0。0的方向是任意的。注意与0的 区别。 2单位向量——长度（模）为1个单位 长度的向量叫做单位向量。 问：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大 小相等，单位向量不一定相等。
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫 做平行向量。记作：a∥b∥c 规定： 0与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 记作：a=b 规定：0=0 注：任两相等的非零向量都可用一有向线 段表示，与起点无关。 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上 ，所以平行向量也叫共线向 量。
（1）写出与向量BC相等的向量，
（2）写出与向量BC共线的向量。 B C
向量的基本概念
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
b
C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 等表示； c
①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。
高三向量所有知识点
高三向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
在高三阶段，学生需要掌握向量的基本概念和性质，以及向量的运算和应用。
本文将详细介绍高三向量的所有知识点。
一、向量的基本概念和表示法1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量。
可以用有向线段表示，有向线段的起点和终点分别表示向量的始点和终点。
2. 向量的表示法：向量可以用字母加上一个箭头表示，比如向量a可以表示为→a。
3. 向量的模长和方向：向量的模长即向量的长度，用|→a|表示。
向量的方向可以使用角度或者与坐标轴的夹角来表示。
二、向量的性质1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，它们被称为平行向量。
2. 相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，它们被称为相等向量。
3. 零向量：模长为0的向量称为零向量，记作→0。
零向量的方向是任意的。
三、向量的运算1. 向量的加法：两个向量的加法可以使用三角法或者平行四边形法。
- 三角法：将两个向量首尾相接，连接首尾形成一个三角形，结果向量为连接线的向量。
- 平行四边形法：将两个向量的起点相同，将它们平移使其终点相连，所形成的平行四边形的对角线为结果向量。
2. 向量的数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数。
- 当实数为正数时，向量的方向不变，模长变为原来的倍数。
- 当实数为负数时，向量的方向相反，模长变为原来的绝对值倍。
3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，记作→a·→b，有以下性质：- →a·→b = |→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。
- 数量积的结果是一个实数，其大小等于向量模长的乘积与夹角的余弦值。
4. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，记作→a×→b，有以下性质：- |→a×→b| = |→a||→b|sinθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。
- 向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
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④四边形ABCD是平行四边形的充要条件 是
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条 件。
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定
不同。
例 • 2A、、下a与列b命共题线正，确b与的是c共（C线），则 a与c也
共线.
• B、任意两个相等的非零向量的始点与
终 • 点C、是向一量平行a与四b边不形共的线四，顶则点。a与
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量a与
b相等，记作a
b
②
0
0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的 起点无关。
④向量不能比较大小，对于向量 a、b,
a b或
a
b
这种说法是错误的。
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
a
b
c
l
C 0 B A
c a OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定：0与任一向量平行。
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。 ②单位向量都 相等。
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
B 以 A为起点，B为终点的有向线段记作AB
注意：起点一定要写在终点的前面。
A
已知AB，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 AB
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
b都
是
非零向量。
• D、有相同起点的两个非零向量不平行。
小结：
通过本节学习，要求大家能 理解向量的概念，掌握向量的几 何表示，了解零向量、单位向量、 相等向量、平行向量等概念，并 能进行简单的应用。
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0 0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不 确定方向。
向量
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课：
1、量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：