第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率_瞬时变化率教案
2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大选修2-2)
其中自变量的变化
x2－x1
称作自变量的改变量，记
作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量， 记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改 fx2－fx1 Δy 变量与自变量的改变量之比，即 ＝ x2－x1 . Δx (2)作用：刻画 函数值 在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)
Δx＝2.01－2＝0.01， Δy 0.080 2 ∴ ＝ ＝8.02. Δx 0.01 (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1
＝2Δx(2x0＋Δx)， Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx
s3－s2.5 2－1.25 (2)t∈[2.5,3]时， v ＝ ＝ ＝1.5. 0.5 3－2.5 s3＋Δt－s3 t∈[3,3＋Δt]时， v ＝ Δt Δt2＋2Δt ＝ ＝Δt＋2. Δt 当Δt趋于0时， v 趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．
4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时 的瞬时速度为12，求a.
答案：B
2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，
[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．
f3－f1 解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为 ＝4. 3－1 f2－f1 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝3. 2－1 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 ＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 1.1－1 f1.001－f1 ＝2.001. 1.001－1
2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1
变化的快慢与变化率学案一
变化的快慢与变化率()-一、学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2.2. 知道平均变化率的定义。
二、课前自学A 阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1）x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x .（2） 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________.2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；(2)求函数的增量________________；(3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②Δf=Δy=y 2-y 1；B 小试牛刀：1.函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ）A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .三、合作学习在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形计算和思考，展开讨论；四、课堂训练1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41 D 、432. 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]3、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率2.1.2瞬时变化率教案北师大版选修2_2word格式
1.变化的快慢与变化率—瞬时变化率一、回忆旧知对于函数y＝f(x)，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f(x)的函数值由f(x1)变化到f(x2)，它的平均变化率为，把自变量的变化x2－x1称作，记作，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作的改变量，记作，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 .二、探究新知(一) 自学探究：认真阅读课本27-30页的内容，回答对一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是 Δy Δx＝ ＝ 。
而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 .（二）典例精析例1.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2， Δx ＝0.1时平均变化率的值．变式训练：分别求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在x ＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小． 例2.已知s (t )＝12gt 2，其中g ＝10 m/s 2. (1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．变式训练；以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度． 三、课堂检测1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.442．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt3.课本30页练习题24. 专家伴读18页打基础4、5、6四、知识小结1．函数的平均变化率的概念2. 平均变化率与瞬时变化率的关系。
北师大版高中数学《导数及其应用》教材介绍
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
一、教材编写的基本结构
1.§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落. 2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题
1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力. 5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】
第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
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变化的快慢与变化率——瞬时变化率
一、教学目标：
1、理解函数瞬时变化率的概念；
2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：函数平均变化率的概念
1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。
平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为
x
y
∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。
2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为
2
2
1gt s =
其中，g 为重力加速度)/8.9(2
s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式
101)
()(t t t s t s t s --=
∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度
9.531
5.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。
我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度
5.491
.05
.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。
用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的
1
，计算出相应的平均速度得到下表： 可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。
从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m 。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。
x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
x x f y 2)(==。
估计该合金棒在x =2m 处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。
解：由x x f y 2)(==，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
可以看出，当x 1趋于x 0=2m 时，平均线密度趋于0.71kg/m ，因此，可以认为合金棒在x 0=2m 处的线密度为0.71kg/m 。
从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m 的物理意义是，如果有1m 长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg 。
（三）、小结：对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从x 0变到x 1的过程当中，若设Δx = x 1－x ０，)()(01x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是
x
x f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=
--=∆∆)
()()()(000101， 而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
（四）、练习：课本30P 练习2：1、2. （五）、作业：课本31P 习题2-1：3、4、5 五、教后反思：。