8.2.6直线和椭圆的关系
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.2. 注意根与系数的关系的应用.（1）弦长公式:斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦若A 、两点的坐标分别是A （x ,y ），B （x ,y ）1122则|AB =\:'(X i _x 2)2+(y 1_y 2)2=v1+k 23. 有关中点弦问题.（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系.（2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.二、题型梳理1. 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x （或尹）的一元二次方程的判断式/的符号来确定：当/>0时，直线和椭圆相交；当/=0时，直线和椭圆相切；当/<0时，直线和椭圆相离.2. 直线和椭圆相交的弦长公式|AB |=\：1+k 2[齐+七2—4X ]X 2]或|AB 戶\「（1+£|[儿+歹22—帅」3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 =鶯(1+k 2)[(x i +x )2一4xx ]212 =<1+k 2 l a l当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．本次授课内容授课标题直线与椭圆的位置关系学习目标1•直线与椭圆位置关系的判断2.直线和椭圆相交的弦长公式3.直线与椭圆相交时的常见处理方法重点难点直线与椭圆相交时的常见处理方法考点1点差法与中点弦例1⑴椭圆16+寻=1的弦被点P（2'1）所平分’求此弦所在直线的方程.(2)已知椭圆C：養+^2=l(a>b>0)过点P(T，T)，c为椭圆的半焦距，且c=⑵•过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求口尸肋的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.考点2直线与圆锥曲线的位置关系例2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆斗+y2二1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.规律方法(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；(2)直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)；(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对A进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论•考点3与弦长有关的问题x2□例3已知椭圆：古+y2二1,过左焦点尸作倾斜角为匚的直线/交椭圆于A、B两点，求96弦AB的长.考点4直线与椭圆综合x2y2例5如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆一+厂二1(a>b>0)(a>b>0)的离心a2b2率为#，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；考点5椭圆中的定点、定值问题例6椭圆C：a2+b2=l(a>b>0)的离心率为拿，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=l上的动点，直线PA与椭圆的另交点为直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点.x2y2例7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B,C是椭圆石+乞=1(°>&>°)上不同的三点，A(3\迂,爭)，B(-3,—3),C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆的标准方程；(2)求点C的坐标；(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C),且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，证明：OM・ON为定值，并求出该定值.探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：□从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关•□直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.考点6圆锥曲线中的最值、范围问题例8已知圆C：(x+1)2+y2二&定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP,NP-AM=0,点N的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程；(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=X FH，求九的取值范围.x2y21•已知直线尸-x+1与椭圆一+［二1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在a2b2直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率.x2y22•已知椭圆C的方程丁+y=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于该直线对称.3.已知椭圆C：匸+「二1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e二二，椭圆C上的点到Fa2b22的距离的最大值为、迈+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的方程；3,''2(2)若IAB1=十，求直线l的方程.4•已知椭圆—+二=1(a>b>0)的离心率为冷―，短轴的一个端点到右焦点的距离为詣a2b23直线l:y二kx+m交椭圆于不同的两点A,B.(I)求椭圆的方程；(II)若坐标原点O到直线/的距离为£,求A AOB面积的最大值.5•已知椭圆C：02+诗=l(a>b>0)过点P(—1，—1),C为椭圆的半焦距，且c=-j3b.过点P 作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求D PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6•已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．（口）求椭圆C的标准方程；（口）若直线l:y二kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.37•已知，椭圆C以过点A（1，2），两个焦点为（一1，0）（1，0）•（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.本次课课后练习1•椭圆36+才=1的一条弦被A(4,2)平分’那么这条弦所在的直线方程是一X2(11、2•已知椭圆〒+y2二1，求过点P-，-且被P平分的弦所在的直线方程.2\22丿x23•已知椭圆q：}+严=1,椭圆C2以q的长轴为短轴，且与q有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=204,求直线AB的方程.x2y24•如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆石+右=1(。
直线与椭圆
x1
x2 x2
4
5 1
5
弦长问题 例1：已知直线 y x 1与椭圆x2+4y2=2.
2 (1)判断它们的位置关系.(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？
解：联立方程组
y
x
1 2
消去y
x2 4 y 2 2
5x2 4x 1 0 （１）
(4)2 45 (1) 36 0
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2 )2
4 x1 x2
=
4 3
2
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ， F11y求(21△, 01F)的1, AF左2B(1的 、, 0面 右) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
A(x1, y1), B(x2, y2) ,则它的弦长
AB
1k2 x1 x2
(1k2) (x1 x2)2 4x1x2
1两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标
设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行
计算. 当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
例
2:已知点 F1
、F2
分别是椭圆
x 2
2
y2 1
1
的左、右
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
y x
直线y=kx+b与椭圆的位置关系种类： 与椭圆的位置关系种类： ３.直线 直线 与椭圆的位置关系种类 ⅰ. 相离 y x ⅱ.相切 相切 y x ⅱ.相交 相交 y x
x 2 y2 椭圆的标准方程为：2 + 2 =1 a b
（2）判别式法 ）
要具体判断出直线和圆的关系， 要具体判断出直线和圆的关系， 应该将两个方程式联立． 应该将两个方程式联立．
2
= 75 , b
2
= 25
.故所求的椭圆方程为:
2 2
y2 x2 + = 1 75 25
x y 例3过椭圆 + = 1内一点 M (2,1)引一条弦 16 4
，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 M
[分析 本题和例 有相似之处，可仿其解法进 分析]本题和例 有相似之处， 分析 本题和例2有相似之处 由于本题的实质是求出直线的斜率， 行。由于本题的实质是求出直线的斜率，在所 给的条件下求直线的斜率的方法较多， 给的条件下求直线的斜率的方法较多，故本题 的解法较多。 的解法较多。
2
分析：根据题意可设椭圆的标准方程， 分析：根据题意可设椭圆的标准方程， 与直线方程连里解方程组，利用中点公式求 得弦的中点的横坐标，最后解关于 a, b 的方 程组即可．
x2 y2 解：设所求椭圆的方程为 2 + 2 = 1 a b
由 F (0, 50 ) 得 a 2 b 2 = 50 ① 把直线方程代入椭圆方程，整理得
例４已知椭圆
mx + ny = 1 与直线
2 2
x + y = 1 相交于 AB 两点， 是的 AB 中 两点， c
点．若 AB = 2 2 ， 求椭圆方程． 求椭圆方程．
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的位置关系(2课) 椭圆弦长公式)
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
（A、B不是左右顶点），且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标
9. 试 确 定 实 数 m 的 取 值 范 围 , 使 得 椭 圆
x2 y2 1 上存在关于直线 y 2x m 对称的 43
点.
1m 1
2
2
思考:已知椭圆
x2 9
y2 5
1 的焦点为 F1 , F2 ,在
例 4:已知椭圆 x2 8 y2 8 ,直线 x y 4 0 ,求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式.
d x0 y0 4 且 x02 y02 1
2
81
尝试遇到困难怎么办?
代数法
----求解直线与二次曲线有 关问题的通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
例1： 直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断位置关系。
2
解：联立方程组
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2
2
4．若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆
1 m 5 妙解 : 直线y kx 1过定点(0,1), 则只要点(0,1)在椭圆上或椭圆内
0 1 即 1 m 1 5 m
2 2
x y 1总有公共点，求m的取值范围 5 m
2
2
1 m 5
6．直线l与椭圆4 x 9 y 36交于A、B 两点，并且线段AB的中点坐标为（ ， , 1 1） 求直线l的方程
为30的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解： a 3, b 1, c 2
2 F (2 2 ,0)
与椭圆方程联立消元得
3 ∴直线方程为 y (x 2 2) 3 2
x 1 x 2 3 2 设A(x1,y1)、B(x2,y2)， 15 则由韦达定理可知 x1 x 2 4 1 2 | AB | 1 | x1 x2 | ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 3 3
2
2
x y 2．求直线y 2 x 1被椭圆 1 4 2 所截得的弦长及弦的中点的坐标 2 9x 8x 2 0
AB
Δ (1 k ) | x 2 - x1 | = (1 + k 2 ) • |a|
2
2
2
2 170 9
4 1 ( , ) 9 9
x2 3.已知椭圆 y 2 1 ,过左焦点F作倾斜角 9
妙解 :
1 m 5
问题3：点和椭圆的位置关系:
x0 y0 P ( x0 , y0 )在椭圆内 2 2 1 a b x0 y0 P ( x0 , y0 )在椭圆上 2 2 1 a b x0 y0 P ( x0 , y0 )在椭圆外 2 2 1 a b
2 2 2 2
2
4．若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆 x y 1总有公共点，求 的取值范围 m 5 m y kx 1
2 2
2 分析：由题意得 x 总有解且0 m 5 y2 1 m 5 x 2 ( kx 1) 2 即 1总有解 5 m 即(m 5k 2 ) x 2 10kx 5 5m 0总有解 2 2 即 100k 4(m 5k )(5 5m) 0恒成立 2 2 即100mk 20m 20m 恒成立
x 2 5.已知椭圆 y 1 2
2
(1).求 斜率为2的平行弦的中点轨迹方程. (2).过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求被截得的弦 的中点轨迹方程. 1 1 (3).过点 P ( , )且被P点平分的弦所在直线的 2 2 方程.
x 2 5.已知椭圆 y 1 2
2
x 2 练：已知斜率为 的直线l过椭圆 1 y 1 4 的右焦点交椭圆于A、B两点, 求弦AB的长
= (1 + k 2 ) | x2 - x1 | = (1 + k 2 )[( x2 + x1 )2 - 4 x1 x2 ]
1 Δ (1 2 ) = (1 + k 2 ) • k | a | |a|
消去y(或x ), 得ax + bx + c = 0 (或a' y + b' y + c' = 0)
解： a 3, b 1, c 2
2 F (2 2 ,0)
与椭圆方程联立消元得
3 ∴直线方程为 y (x 2 2) 3 2
x 1 x 2 3 2 设A(x1,y1)、B(x2,y2)， 法二:|AB|=|AF|+|BF|=(a+ex1)+(a+ex2) 15 则由韦达定理可知 x x2 = 12a + e(x1+x2) 4 1 2 | AB | 1 | x1 x2 | ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 3 3
2 2
由方程组
y mx n
2 2
Ax By 1
设直线l：y mx n( m ≠ ), 椭圆方程 0 Ax By 1 ( A 0, B 0, A ≠B )
2 2
由方程组
y mx n
Ax By 1
2 2
2 2
消去y(或x ), 得ax bx c 0(或a' y b' y c' 0)
4 x 12 2 x 15 0 (1)
题型3：中点弦问题
2 2
4、直线l与椭圆4 x 9 y 36交于A, B两点， 并且线段AB的中点坐标为 1,1)，求直线l的 ( 方程 设l : y 1 k ( x 1 ) 将其代入椭圆方程得：
( 9k 4 ) x 18( k k ) x 9k 18k 27 0
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
△<0
△=0
n=0
直线与圆相离
n=1
n=2
直线与圆相切 直线与圆相交
△>0
题型1：直线与椭圆的位置关系
设直线l：y = mx + n( m ≠ ), 椭圆方程 0 Ax + By = 1 ( A > 0, B > 0, A ≠B )
2 2 2 2
18( k k ) x1 x 2 2 9k 4
2
2
4 k 9
(1).求 斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
x 2 5.已知椭圆 y 1 2
2
(1).求 斜率为2的平行弦的中点轨迹方程. (2).过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求被截得的弦 的中点轨迹方程.
①b2-4ac>0,直线与椭圆有两个不同的交点 —相交
②b2-4ac=0,直线与椭圆有且只有一个交点 —相切
③b2-4ac<0,直线与椭圆无公共点 — 相离
应用
1．当m取何值时，直线l : y = x + m 与椭圆9x 2 + 16y 2 = 144相切、相 交、相离
m 5时， 相切 5 m 5时， 相交
直线与圆的位置关系判断
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(xa)2+(y b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r d=r
d<r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d
aA bB C A B
2
(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
4 x 12 2 x 15 0 (1)
焦点弦:
AB 2a e( x A x B ) AB' 2a e( x A x B' )
y F1 B A F2 B
x
x2 3.已知椭圆 y 2 1 ,过左焦点F作倾斜角 9
为30的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
2 2
7．一中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的 椭圆与直线x y 3相交于A、B两点，C是 AB的中点，若 AB＝2 2，O是坐标原点， OC的斜率为2，求椭圆的方程
8.设椭圆3 x y 6与一斜率为 3的直
2 2
线交于A, B两点, 求O AB 面积的最大值
m 5或m 5时， 相离
问题2：弦长公式
若直线y＝kx + m与二次曲线f ( x , y )相交 于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点，则 AB 的长为
| AB |= (x 2 - x1 )2 + (y 2 - y1 )2
= (x2 - x1 )2 + (kx2 - kx1 )2 = (1 + k 2 )(x2 - x1 )2