三锥四柱铺满体
投影原理—绘制三棱锥的三视图(化工制图课件)
b
a
c
s
b
任务拓展
棱锥表面上取点
如图所示，已知棱面△SAB 上点M的正面投影m`和棱面 △SAC上的点N的正面投影n`， 求作M、N两点的其余投影。s`源自s``（n`）m`
a` b`
a
c` a``（c``）
b``
c
s
b
任务拓展
s`
s``
k`
k``
（n`）
n``
m`
m``
c`
a`
b`
a``（c``）
a
c
YW
n ks
YH
m
b
（1）棱面△SAC为侧垂面,利用积聚性可直接求出n``，再由 n``、n`求得n。
b``
s`
S
m`
C
i`
M
A
I
B
s im
（2） M点所在棱面△SAB为一般位置平面，可作辅助线的方法求解。
a'
b' c'
s"
C a" c"
A
sB
b"
a
c
b
根据正三棱锥的投影特点，可以归纳出正棱锥的三视图的投影特征： 当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该头一个面上的投影的外轮廓为与其底 面全等的正多边形，而另外另个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。
任务实施
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b
c a(c)
（任务实施）
1、正三棱锥的形体分析
任务实施
任务实施
2、正三棱锥的视图分析
主视图：底面的投影为一直线，三条侧棱线缩短的投影构成两个三角形线框。 俯视图：反映出底面的实形，三条侧棱线缩短的投影交于锥顶的水平投影。 左视图：底面及后侧面的投影均为直线，位于最前面的侧棱线的投影反映实长。
柱、锥、台、球的结构特征PPT完美课件
(3)因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的
两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．
(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的
底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧
面不一定是矩形．
故(1)(2)(3)正确，(4)不正确．
柱、锥、 台、球 的结构 特征PPT 完美课 件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
柱、锥、 台、球 的结构 特征PPT 完美课 件
解
(1)由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧
面内两条底边也互相一个 n 棱柱的底面是一个 n 边形，因此每个底面都有 n 个顶
点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即 2n 个．
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题型三 简单组合体的结构特征 【例 3】 若右图中的平面图形绕直线 l 旋转一周，试说明形成 的几何体的结构特征．
[思路探索] 由平面图形可以看出，该平面图形旋转后形成的几 何体是组合体，可对所给平面图形进行适当的分割，再进行空 间想象．
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图形
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表示法
圆柱用表示它的 轴的字母表示， 左图中圆柱表示
为圆柱OO′
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柱、锥、 台、球 的结构 特征PPT 完美课 件
以直角三角形 的 一条直角边 所 在直线为旋转轴， 圆锥 其余两边旋转形成 的面所围成的旋转 体叫做圆锥
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． [思路探索] 通过举特殊情况说明错误．
眼睛都看花了，这个几何体对视觉太有挑战力了
眼睛都看花了，这个几何体对视觉太有挑战力了先看看下面这个图吧。
看起来是不是很复杂？眼睛快看花了吧？其实这是一个由多个四面体组成的立体几何图形。
三棱锥是几何体中锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。
有六条棱长，四个顶点，四个面。
像这样一个看起来很复杂，富有视觉冲击力的几何体，就是用5个四面体拼装而成，也叫五重四面体。
我们来一步一步看是怎么做出来的。
1、长方形彩纸，平均折成四等份，如下图...2、参照下图所画的斜线折出折痕，右侧是两条折完的折痕，左侧是如何教大家折的。
3、打开，上下两端向中间折去，且看到下图的折痕。
4、翻过去，如下图，折出折痕来。
5、翻过来，得到下图的折痕。
6、如下图，对角折。
7、上一步骤对角多出来的，压进没有对角折的里面，且没有对角折的两端像后折去。
8、对折。
9、一个四面体需要6个，一个五重四面体共需要30个。
10、如下图做连接。
11、完成一个四面体。
12、第二个四面体如下图所示完成。
13、上一步骤的上下两个四面体左右旋转得到下图的形状。
14、下面的四面体就不是很容易了，挑战也就开始了，仔细看图吧。
15、拼完上一个的三个小单元，像左转，得到下图，并且在连接一个小单元，画圈的那里。
16、在一个小单元。
17、找到第三个四面体的最后一个小单元连接的那里，如下图。
18、如下图连接完成第三个四面体。
19、整理形状。
20、找到下图中的部分。
21、三个小单元，如图连接。
22、翻转过来，如下图。
23、接着连接，完成第四个四面体，如下图。
24、第五个四面体，如下图。
25、第四个四面体和第五个四面体几乎是完全一样的连接方式。
26、如下图，完成第五个四面体，并且整理形状，完成。
新手是不建议用一个颜色的彩纸来完成的。
整篇教程都是用不同颜色的彩纸来表达的，可以让大家看的更清楚一些。
加油吧！你也会挑战成功的！。
柱、锥、台、球的结构特征 PPT课件 1 人教课标版
S
A1
D1 B1C1
D
A
B
A1 D1
D C
A
C
B1
1
C
B
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1
D
C B1 1
C
A
B
上底面
侧面 侧棱 下底面 顶点
2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得 的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台… 3、棱台的表示法：
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
•
22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。
•
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转 轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称球。
（1）半圆的半径叫做球的半径。
（2）半圆的圆心叫做球心。
A
（3）半圆的直径叫做球的直径。
【素描入门】方锥方柱贯穿体绘画流程
【素描入门】方锥方柱贯穿体绘画流程
第1步
定位：画出贯穿体的最上、下、左、右四点的位置。
注意构图上紧下松左右相等。
第2步
找到方锥的上下左右4个点与中心线。
第3步
找到方柱的上下左右4个点和上下面、左右面的分界线。
第4步
根据面少点高，面多点低的关系找到左右两个面3个点的位置，高的点高于中心线多少，低的点就会低于中心线多少。
第5步
完成方锥的绘制。
第6步
在长方体最右边面画出竖着的中心线，并且在3条斜着的边上分别找到他们的交汇点，两点一线连接起来。
第7步
根据成角透视画出剩余的线条。
第8步
透视结构图。
第9步
擦除多余的线条。
第10步
根据光源找出物体的黑白灰三大面与阴影。
作品完成！。
柱、椎、台、球的结构及其直观图和三视图PPT课件
4.（2008·广东理，5）将正三棱柱截去三个角 （如图1所示），A，B，C分别是△GHI三边的 中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示 方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）
第34页/共46页
解析 当三棱锥没有截去三个角时的左视图如图 （1）所示，由此可知截去三个角后的左视图如 图（2）所示.
视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几
何体的侧面积为
（B ）
A. 3 π B.2 π
C.3 π
D. 4 π
3
解析 由三视图知，该几何体为一圆锥，其中
底面直径为2，母线长为2，S侧=πrl =π×1×2=2π.
第21页/共46页
题型四 多面体与球 【例4】 （12分）棱长为2的正四面体的四个顶点
所以A1D1= 3 a, 2
在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，
∴O1A1= 6 a,
2
根据直观图画法规则知：OA 2O1A1 2
6a 2
6a,
∴△ABC的面积为1 a 6a 6 a2.
2
2
答案 C
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6.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都 在
第28页/共46页
3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段. “平行于x轴的线段平行性不变，长度不变； 平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图； 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能力.
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3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥
的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是(C )
2021年高中数学第1章 学案北师大版必修2(付,143页)
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25，解得l ＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法 解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为433. 解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，由题意可知∠ASO ＝30°，所以在Rt △AOS 中，SA ＝SO cos ∠ASO ＝2cos30°＝433. 类型三 有关球的截面问题【例3】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径．【思路探究】 作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】 两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7(cm)，由πr 2＝400π，得r ＝20(cm)，在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：如图所示，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°，∴△P AA ′为等边三角形，∴AA ′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】 如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【思路分析】 求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】 将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12AM ·SR ，所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.【解后反思】 求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解． 解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A 1M 的长度，所以∠AOA 1＝10－520×360°＝90°， 设OB ＝l ′，则5l ′·360°＝90°， 所以l ′＝20 cm ，所以OA ＝OA 1＝40 cm ，OM ＝30 cm.在Rt△A1OM中，A1M＝OA21＋OM2＝402＋302＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49π cm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.1．2 简单多面体知识点一多面体与棱柱[填一填]1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：[答一答]1．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．知识点二棱锥[填一填](1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的高．(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….[答一答]2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点三棱台[填一填](1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的高．(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….[答一答]3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．4．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.类型一概念的理解与应用【例1】下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．【解析】①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确．根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确．正确的个数为3.【答案】 3规律方法有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下面属于多面体的是①②.(将正确答案的序号填在横线上)①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．解析：①②属于多面体；③④属于旋转体．类型二棱柱的结构特征【例2】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【思路探究】判断一个几何体是否是棱柱，关键是验证几何体是否满足棱柱的定义．如果是棱柱，一是要找到两个面平行，二是要判定其余各个面的公共边平行；如果不是棱柱，则需指出不满足定义或举出反例．【解】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．规律方法棱柱的两个主要结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，就是棱柱“两头一样平，上下一样粗”．下列说法中，正确的是(C)A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：正棱柱是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，故A错误；棱柱中可以有两个侧面互相平行，不一定是底面，同时底面可以是平行四边形，故B，D错；由棱柱的概念知C正确．故正确答案为C.类型三棱锥的几何特征【例3】已知正三棱锥V－ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，试求该截面的周长和面积．【思路探究】依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．【解】 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋(23)2＝27，VD ＝42＋(3)2＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.规律方法 1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.类型四 棱台的几何特征【例4】 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均为17，求四棱台的高．【思路探究】 思路一：用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解；思路二：依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何的计算问题．【解】解法一：如图所示，设O 1，O 分别为正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ABCD 的中心，则P ，O 1，O 三点共线．A 1O 1＝12A 1C 1＝12×42＝22，AO ＝12AC ＝12×82＝4 2.∵△P A 1O 1∽△P AO ，∴A 1O 1AO ＝P A 1P A ，即P A 1P A ＝12.又∵P A ＝P A 1＋A 1A ＝2P A 1，∴P A 1＝A 1A ＝17， 在Rt △PO 1A 1中，PO 1＝P A 21－A 1O 21＝(17)2－(22)2＝3.又∵PO 1PO ＝A 1O 1AO ，∴PO ＝6，∴OO 1＝3.∴四棱台的高为3.解法二：如图所示，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E ，则A 1E 就是四棱台的高．在Rt △A 1EA 中，AE ＝12×(82－42)＝22，A 1A ＝17，∴A1E＝A1A2－AE2＝(17)2－(22)2＝3，即四棱台的高为3.规律方法正棱台的计算1．将正棱台补成棱锥(1)大、小棱锥中用解直角三角形方法求解；(2)两棱锥之间运用“对应高之比等于相似比”及相似形知识求解．2．在正棱台中作直角梯形，进而化为矩形和直角三角形求解．下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意，②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意，④符合棱台的定义，故填④.——多维探究系列——几何体的侧面或表面展开图问题展开图问题是转化思想的体现，是把立体几何问题转化为平面几何问题的重要手段之一，所以要重视这种问题的应用．【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【思路分析】图①中，有5个平行四边形，而且还有2个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且有共同的顶点，还有1个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，还有2个相似的三角形，符合棱台的特点．【精解详析】由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把。
【新人教版】数学必修二第八章 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
【新人教版】数学必修二第八单元8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.知识点一多面体、旋转体的定义类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点四棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点.1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(×)2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(√)3.棱柱最多有两个面不是四边形.(√)4.棱锥的所有面都可以是三角形.(√)一、棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的说法的序号是________.答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.②错误，棱柱的底面可以是三角形.③正确，由棱柱的定义易知.④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.跟踪训练1下列命题中正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D二、棱锥、棱台的结构特征例2(1)有下列三种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.(2)下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行.A.①B.①②C.②D.③答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.空间几何体的表面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案 A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.[素养提升]多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.1.下面多面体中，是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.下面图形中，为棱锥的是()A.①③B.①③④C.①②④D.①②答案 C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥答案 B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.4.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体答案 B解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°1.知识清单：(1)多面体、旋转体的定义.(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.方法归纳：举反例法.3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错答案 B解析由棱锥的结构特征可得.2.下列关于棱柱的说法中，错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形答案 C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确.3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台答案 B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误.4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是()答案 C解析C无法将其折成三棱柱，故选C.5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案 D6.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.答案487.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.答案5698.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解(1)如图折起后的几何体是三棱锥.(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝32a2.10.一个长方体的容器里装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台成棱锥，对吗？解(1)不对，水面的形状始终是矩形.(2)不对，水的形状只能是棱柱.11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D.AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不符合题意；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不符合题意；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ，故C 符合题意；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.12.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥答案 D解析 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.13.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )答案 AC解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB 可折成正四面体，CD 不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.14.从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.答案 4解析 如图所示：四边形ACC1A1为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.15.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体对角线的长是________.答案 6解析设长方体长、宽、高为x，y，z，则yz＝2，xz＝3，yx＝6，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝6，解得x＝3，y＝2，z＝1，所以x2＋y2＋z2＝3＋2＋1＝ 6.16.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.。
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三锥四柱铺满体
立体几何在高中阶段是重要的一个环节，在历年高考中占有不少的分量。
中学立体几何主要研究点、线、面、体的各种位置关系，并且要突出基本几何体：三棱锥、正四面体、正方体等的熟练应用，使学生关于空间模型的认知结构逐步丰富起来，在遇到新问题时，能迅速从复杂图形中识别出基本模型，并一层层剥离开来，用于解决问题。
那么，如何使学生达到这一高度，是摆在我们广大数学教师面前的一大难题。
实际上，我们如果能在某些方面作出一点研究的话，这一类思维的提升将成为可能。
是否有此感觉：在反复观察某些立体图形时，有过似曾相识的感觉。
正是由于这种感觉，在脑海里形成的固定模型给你指明了解题的方向。
三棱锥及四棱柱的模型构造，在解决立体几何问题上尤为突出。
以下是笔者的浅薄之见，以便于同行探讨。
一、棱锥
三棱锥是几何体中一种最基本的模型，它由四个点构成：四点不共面，任三点不共线。
此空间几何体又是最简单的模型，因此在教学过程中，注意以三棱锥即四面体作为依托，来解决一些几何问题。
（一）一般三棱锥
在各类考试中，经常以三棱柱、四棱柱、四棱锥作为载体来考查几何体的体积、点到面的距离等。
如果单纯从现有的几何体上入手，有时会理不出解题思绪，此时应考虑能否提炼出一个简单的几何体——三棱锥。
（二）特殊三棱锥
经常碰到的特殊三棱锥有：正四面体、四个角均为直角三角形的三棱锥、三个侧面两两垂直的三棱锥等。
如果我们在平时的教学中能有效地研究利用它们，将会得到意想不到的收获！
1.正四面体
正四面体，如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体。
正四面体的主要特征都集中在它的对称面上。
正由于它的特殊之处，所以在各类考试中出现的几率也比较大。
2.四个面均为直角三角形的三棱锥
例5.在四面体的四个面中最多有个直角三角形。
分析：最多4个直角三角形。
它的构造实际上就是三垂线定理及逆定理的应用（如图）。
三棱锥p－abc，pa⊥平面abc，∠acb＝90°，则结合三垂线定理可得，四个面均为直角三角形。
评注：平时要注意观察和总结，才能立于不败之地。
例6.已知平面α∥平面β，直线l?奂α，点p∈l，平面α、β间的距离为a，则在β内到点p的距离为c，且到直线l的距离为b （a<b<c）的点的轨迹（）
a.是一个圆
b.是两条直线
c.不存在
d.是四个点
分析：面面距离转化为点p到面β的距离pa＝a，距离c转化为
两平行直线l、m之间的距离pb，即pb⊥m，在直线上取c，使pc ＝c，可构造三棱锥p－abc，四个面均为直角三角形。
从题意可知，可得到满足要求的四个三棱锥，又四个三棱锥正好拼成一个四棱锥p－c1c2c3c4（如图），而c1、c2、c3、c4就是所求点。
故答案为d。
评注：注意将题目简化，不要被题目束缚，这是解决本题的关键！
3.三个侧面两两垂直的三棱锥
三个侧面两两垂直的三棱锥，可在实际生活中找到相匹配的实物，即用平面去截墙角得到的四面体，故也称为“墙角问题”。
教室的墙形成的空间图形，也就是长方体的局部，这成为历年高考的热门话题。
此类三棱锥的构造主要是结合长方体来研究的，下面将有相应的涉及。
二、四棱柱
四棱柱是立体几何中经常出现的载体之一，比如正方体、长方体等特殊的四棱柱的利用更是繁多，因此，如何很好地认识和利用它们，是我们解决立体几何的首要问题。
1.正方体
例7.正四面体的棱长为a，求正四面体体积。
分析：设四面体为a－bcd。
常规作法也不乏是个好办法：具体作出顶点a到底面bcd的距离，根据正三角形的对称性可知，a在底面的射影必在△bcd的中心上，再构造截面计算便得。
评注：一旦正四面体放入一个正方体后，成为正方体的一部分，那么正四面体的性质和特征，都可以结合正方体来完成。
比如对棱
的距离、体积等。
因此，构造正方体来研究正四面体，为我们提供了方便。
（构造正方体在某些情况下仿长方体）
2.长方体
长方体的构造范围比正方体广，有的是在正方体的构造基础之上得到的。
例9.四面体中，四个面是全等的三角形还是正四面体吗？
分析：如果对长方体及内接四面体相对结构非常熟悉的话就不难解决：观察可得，长方体的内接四面体的四个面是三角形，均是由长方体的三条不同的面对角线围成的，因此是四个全等的三角形。
评注：有效地认识正方体或长方体与其内接的四面体之间的关系，也会达到事半功倍之效！
三、其他构造
以上所述的构造方式是最常用的，在立体几何中应用的比较多，为我们解决某些题提供了一些方法。
但在立体几何中，还有一些其他构造也应值得注意。
例11.求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上。
已知：∠bac在平面α内，点p?埸α，pe⊥ab，pf⊥ac，pd⊥α垂足分别是e、f、o，pe＝pf。
求证：∠bao=∠cao。
变题：若∠pab=∠pac，则p在平面α上的射影也在∠acb的平分线上。
这虽然是一个课本上的例子，但它背后却隐含着可以被我们
直接利用的一些有益东西。
我们可以观察从它身上反射出来的一个结构：三棱锥p－abc，（1）若pb⊥ab，pc⊥ac，pb＝pc或（2）若∠pab=∠pac。
由（1）或（2）均可得到p在平面abc上的射影在∠bac的平分线上。
这个结论为解决问题提供了方便。
例12.已知三棱柱abc－a1b1c1，底面是边长为5的正三角形，其中一条侧棱与底面的两边都成60°，侧棱长为4，求它的侧面积。
分析：本题的困难之处在于，难以求出侧面bcc1b1的面积，试想如能确定四边形bcc1b1的形状，那么此题的难点也就攻破了。
仔细观察，图形中有我们熟悉的结构：三棱锥a1－abc，∠a1ac＝∠a1ab=60°，则可知a1在平面abc上的射影o在∠bac的平分线上，这样就可以构造一个线面垂直：bc⊥平面a1ao，易得bcc1b1是一矩形。
评注：解题要抓住关键，本题的关键就在于判断bcc1b1形状，对现成的图形要学会提炼简图，为解题服务。
以上所涉及的均是将空间图形进行变形处理，这是学好立体几何的硬功夫，也是空间想象能力深化的标志。
因此，我们在教学过程中，应有意识地加强这方面的训练，使原本僵化、呆板的空间图形变得灵活、有生气；使学生原本枯燥的学习变得生动、有趣！这样才能在立体几何问题上处于不败之地！
（作者单位江苏省震泽中学）。