结构力学第4章 三铰拱
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结构力学 第四章 三铰拱
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA
结构力学 三铰拱
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
结构力学之三铰拱
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§5-2 三铰拱的压力线
拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和
剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结
构体系。
因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料
（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。
V BV B 26 1 3 2899kN
HM C 1162637.5kN
f
4
M 2M 2 H y21 1323 1 .5 7 .53
1 .5 kN m
tg2d dy xx34lf 12lxx341 24121 23
0.667
Q 2Q 2 co s2H sin21 123 0 .8 3 2
7 .50 .5 5 5 0 .0 0 2 5 kN 0 .0 0 3 kN
2 3 3 4 1 ,s i n 2 0 . 5 5 5 ,c o s2 0 . 8 3 2N 2 7 Q .2 5 s 0 i. 8 2 n 3 H c 9 2 .0 o 2k 1 s N 1 5 1 2 3 0 .55
4f y l2
xlx
计算反力并绘
x
制内力图。
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN
（1）计算支座反力
6m
VB 9kN
V AV A 26 1 9 28311kN
（2）内力计算 以截面2为例
y 24 l2 fxl x4 1 2 2 4 3 1 2 3 3 m
三铰拱
M
O
0 FN ( FN d FN ) 0
可得 d FN 0 合理拱轴线方程为
FN q
FN =常数
d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为
2 FN sin sin d 2
圆弧线
因 d 极小
d 2
返 章
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0
1 2
qx ( l x )
0
三铰拱的推力为
FH
0
MC f
4f l
2
ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
FH
x (l x )
北京建筑工程学院
三铰拱合理拱轴线形状的确定
三铰拱
14kN m
A
50kN
B
C
75.5kN 58.5kN
175.5 201
M图(kNm)
与三铰拱相应弯矩相比，要大 很多。
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力
分解如图（b）。
由平衡条件可得 （a
F AV F
0 AV
, F BV F
0
FS F AV F1
0 0
轴力以压力为正
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。 由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。
结构力学第四章三铰拱
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2 13
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
d 2 y M 0dx)M 0 1 (2 y ( x2) (q0 2 g y) q(x) HH dx dx
8
Q YA P ,
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
解: (1)求反力
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
4m B
4 4 812 V A (2)作相应简支梁的N V A0 7k 16 A 6kN M°图和12 8 4 4 Q°图 0 8m VB VB 5k N 16 7kN 1kN/m (3)截面几何参数 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M C 58 4 4 H 6k N 4f x(16 x) 4 y ( x) f 2 x(l x) l 16 7 ＋ dy 4 f 8 x tg 2 (l 2 x) dx l 8 Q°图（kN）1
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
14
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 n q
t
d / 2
N+dN
r ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
d
N
由 t 0， N cos
d d N dN cos 0, 得 dN 0 2 2 由于d很小， 即拱截面上的轴力N为常数。 d d d d 由 n 0， N sin N dN sin qds 0, 取 sin , 2 2 2 2 得 Nd qds 0 并略去高阶微量，
结构力学(拱结构)
2、计算各截面内力 截面1 ql
x1 2m
qlcos1
由式（4-4） （4-5）
方向； 3、注意左半拱截面的方向角为正，右半拱 1 M 1 M 10 H y1 7 2 1 22 6 1.75 1.5kN m 截面的方向角为负。 2 （4-3）
0 MC 5 8 4 4 H 6kN f 4
2、计算各截面内力
9
三铰拱的内力计算
4f (l x1 ) x1 2 l N1 4 4 M1 qlsin1 2 (16 2 ) 2 1.75m 1 6 sin1 16 6 cos1 dy Q1 0 tan1 6kN dx x 2m 1 1、计算原理仍然是截面法； 7 sin1 2m 4f 44 2 l 2 x1 2、拱轴线方程主要用于确定截面的位置及 2 0.75 16 2 。 l 16 16 7 cos1 其法线方向，从而确定截面上的剪力和轴力 0.8 7kN 1 3652，, sin1 0.6 , cos 1 y1
三铰拱的内力计算11三铰拱的内力计算3内力图绘制弯矩图绘制12弯矩图绘制等代梁弯矩图水平推力引起的弯矩图竖向荷载作用下拱结构的受力特点1三铰拱与对应的等代梁相比弯矩要小得多其原因是水平推力的存在所致
江苏大学本科生课程课件
江苏大学土木工程与力学学院
1
第四章 静定拱
4.1
概述
1、拱结构的定义 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下，支座产生水平推力的结构。
VB0
1
N K VAsinK P sinK HcosK 1 (VA P )sinK HcosK 1
0 K
0 A
0 0 QK VA P1 VA P1
结构力学4 三铰拱
10.5 12 12
sinϕ D = −0.555 cosϕ D = 0.832
A
3m
0 M = M D − Hy D = 12 × 3 − 10.5 × 3 = 4.5kN ⋅ m 0 QD左 = QD左 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 2 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = 4.16kN 0 N D左 = −QD左 sin ϕ D − H cos ϕ D = −(− 2 )× (− 0.555) − 10.5 × 0.832 = −9.85kN 0 QD右 = QD右 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 12 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = －4.16kN
在竖向荷载作用下，三铰拱 平拱 的支座反力有如下特点： 平拱)的支座反力有如下特点 在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱 的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 ）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 ）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 ）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力 与拱高 成反比， f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力 越大。 越大， 越小，反之， 越小，水平推力H越大 越大。 趋近于零时， 推力） 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 （水平推力 趋近于无穷大， 三铰在一条直线上， 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构 、 、 三铰在一条直线上 构成瞬变体系，不能作为结构.
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 （2）画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 ） 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， ）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 ）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 即剪力为零处弯矩为极值； ） 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本 60 图4-6）； 图均不再为直线（ ） 图均不再为直线 参见书本P ）； 3）集中力作用处 图将发生突变； 图将发生突变； ）集中力作用处Q图将发生突变 4）集中力偶作用处 图将发生突变。 图将发生突变。 ）集中力偶作用处M图将发生突变
sinϕ D = −0.555 cosϕ D = 0.832
A
3m
0 M = M D − Hy D = 12 × 3 − 10.5 × 3 = 4.5kN ⋅ m 0 QD左 = QD左 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 2 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = 4.16kN 0 N D左 = −QD左 sin ϕ D − H cos ϕ D = −(− 2 )× (− 0.555) − 10.5 × 0.832 = −9.85kN 0 QD右 = QD右 cos ϕ D − H sin ϕ D = (− 12 )× 0.832 − 10.5 × (− 0.555) = －4.16kN
在竖向荷载作用下，三铰拱 平拱 的支座反力有如下特点： 平拱)的支座反力有如下特点 在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱 的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 ）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 ）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 ）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力 与拱高 成反比， f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力 越大。 越大， 越小，反之， 越小，水平推力H越大 越大。 趋近于零时， 推力） 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 （水平推力 趋近于无穷大， 三铰在一条直线上， 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构 、 、 三铰在一条直线上 构成瞬变体系，不能作为结构.
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。 （2）画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 ） 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， ）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 ）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 即剪力为零处弯矩为极值； ） 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本 60 图4-6）； 图均不再为直线（ ） 图均不再为直线 参见书本P ）； 3）集中力作用处 图将发生突变； 图将发生突变； ）集中力作用处Q图将发生突变 4）集中力偶作用处 图将发生突变。 图将发生突变。 ）集中力偶作用处M图将发生突变
结构力学 三铰拱
9 / 13
À
第四章 静定拱
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线
q y A x q f C B
FH=ql2/8f M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=M0/FH=4fx(l-x)/l2
l
x
抛物线À
10 / 13
第四章 静定拱
荷载布置改变，合理拱轴亦 改变 荷载确定、拱脚位置确定， 则顶铰位置决定水平反力， 因此，有无限多个相似图形 可作合理拱轴 三铰位置确定，合理拱轴唯 一确定 设计时只能根据主要荷载选 择近似合理拱轴
第四章 静定拱 §4-1 概述
三铰拱(three-hinges arch)的构成
拱顶 拱轴线 拱高 拱址 起拱线 拱跨 拱址
1 / 13
ÀБайду номын сангаас
第四章 静定拱
1)拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
2 / 13
À
第四章 静定拱
2)拱的受力特点
FP
曲梁
FP • 在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
6 / 13
À
第四章 静定拱
拱的内力图
− y ⎤⎧M ⎫ ⎧M ⎫ ⎡1 0 ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨FS ⎬ = ⎢0 cosϕ − sinϕ⎥⎨ FS ⎬ ⎪F ⎪ ⎢0 sinϕ cosϕ ⎥⎪ F ⎪ ⎦⎩ H ⎭ ⎩ N⎭ ⎣
0
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形 的，内力图要通过逐点描图的方法绘制。
拱
• 由于水平推力的存 在，使得拱内弯矩大 大减小。
3 / 13
À
第四章 静定拱 §4-2 三铰拱的计算
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0 N D右 QD右 sin D H cos D 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力 都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受 二、合理拱轴线的确定 竖向荷载作用
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+γy。
解：将式 y M /H 对x微分两次，得
0
qC
x
d 2 y 1 d 2M0 dx 2 H dx 2
qC+γy A
C
f
q(x)为沿水平线单位长度的荷载值，则 l/2 l/2 d 2 y q(x) d 2M0 2 q(x) 2 dx dx H y 将q=qC+γy代入上式，得： 常数A和B可由边界条件确定： q qC d2y γ x 0, y 0 : A C y γ 2 dx H H dy 该微分方程的解可用双曲函数表示： q γ γ y Ach x Bsh x C H H γ
VAl P b1 P2b2 0 1
P b1 P2b2 VA 1 l Pi bi 0 VA l
HB
VB
C
P2
A
f
HA
VA
x l1
l P1 P2
B
l2
mA 0
Pi ai VB VB0 l
A C
0 VA
B
mc 0
VB0
H A f P (l1 a1 ) VAl1 0 1
HA VA
A
C D 4f y (x ) 2 x (l x) l
6m
3m
3m
VB VB0
0 M C 6 12 3 10 H 10 .5k N f 4 V0
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
10kN
A
VB0
(2) 内力计算 截面几何参数
x D 9m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M H f
例4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试 求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f
B
y x A
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 M C ql 2 推力H为： H f 8f
l/2
l/2
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
§4-1
一、梁与拱的关系 F
HA＝0 A
概
述
F
B
HA＝0 A
B
曲梁 F
拱：杆轴线为曲线，
且在竖向荷载作用下会 产生水平推力的结构。
HA≠0
A
拱
B
二、 拱的常见类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱
静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
平拱：两拱趾在同一水平线上的拱 斜拱：两拱趾不在同一水平线上的拱
D
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
A
4f y D 2 x(l x) l 4 4 2 9(16 9)＝3m 12 dy 4 f 16 tg D 2 (l 2 x ) dx l 4 4 2 12－2 9 ＝－0.667 12
3m
D 33.70
sin D 0.555
cos D 0.832
(2) 内力计算
x D 9m yD 3m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 16
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
x 0, dx
y
B
0:
qC γ
B0
γ ch x 1 H
二、内力的计算
P Qk Mk
y a1
a2 b1 P1 k k yk C
b2
Nk
P2
HA
A HA VA
xk l1 l P1
f
x l2
B HB VB
VA
Qk0 V A0 P 1
M k0 V A0 xk P xk a1 1
P2
A k C
M k V A xk P xk a1 H A yk 1
sin D 0.555 cos D 0.832
A
3m
0 M M D Hy D 12 3 10.5 3 4.5kN m 0 QD左 QD左 cos D H sin D 2 0.832 10.5 0.555 4.16 kN 0 N D左 QD左 sin D H cos D 2 0.555 10.5 0.832 9.85kN 0 QD右 QD右 cos D H sin D 12 0.832 10.5 0.555 －4.16 kN
q
A x ql/2 l
B ql/2
1 qx(l x) M 4f 2 y 2 (l x)x ql 2 H l 8f
0
三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理 拱轴线为一抛物线。
解法2：
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
ql 2 VA 2
ql 2 HA 8f
0 A k
B
0 VA V x P xk a1 H A yk 1
VB0
N k V A sin k P sin k H A cos k 1 V A0 P sin k H A cos k 1 Qk0 sin k H A cos k
（2）画三铰拱内力图的步骤
1）计算支座反力 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本P60 图4-6）； 3）集中力作用处Q图将发生突变； 4）集中力偶作用处M图将发生突变。
1997年建成的重庆万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥，主拱圈 为钢管混凝土劲性骨架箱型混凝土结构，全长 856.12米，主跨420米，桥面宽 24米，为双向四车道，是世界最大跨径的混凝土拱桥。由重庆交通大学土木建 筑学院顾安邦教授主研完成,设计施工技术的研究成果获国家科技进步一等奖
甘肃灞陵桥，又名卧桥，在渭源县城南门外的清源河上，是一座古典纯木结 构伸臂曲拱型廊桥, 主跨：40米，始建于明洪武年间(公元1368-1398年)， 后被洪水冲毁。1919年仿兰州卧桥改建，被称为“渭水长虹”。
M k0 H A yk Qk V A cos k P cos k H A sin k 1
V P cos k H A sin k 1
0 A
Qk0 cos k H A sin k
M k M k0 H A yk 内力的计算公式： Q Q 0 cos H sin k k k A k N k Qk0 sin k H A cos k
例4-1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN 4m B
HB VB
解: (1) 反力计算
V A V A0 10 3 3 6 9 12 16 kN 3 6 3 10 9 12 12 kN
0 VAl1 P (l1 a1 ) M C 1 HA HB f f
反力计算公式：
V V 0 A A VB VB0 0 MC H A H B H f
在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱)的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力H越大。 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构.
f
f l
高跨比
§4-2 三铰拱的计算
因为简支梁的内力计算大家非常熟练，所以 在计算三铰拱（平拱）在竖向荷载作用下的内力 时，和同跨度同荷载的简支代梁对应起来，以找 出两者在支座反力计算、内力计算方面的区别， 加以对比，便于理解和记忆。
一、支座反力的计算
y a1 P1 a2 b1 b2
mB 0
M x M 0 x Hy x
M x 0 M 0 x Hy x 0
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力 都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受 二、合理拱轴线的确定 竖向荷载作用
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+γy。
解：将式 y M /H 对x微分两次，得
0
qC
x
d 2 y 1 d 2M0 dx 2 H dx 2
qC+γy A
C
f
q(x)为沿水平线单位长度的荷载值，则 l/2 l/2 d 2 y q(x) d 2M0 2 q(x) 2 dx dx H y 将q=qC+γy代入上式，得： 常数A和B可由边界条件确定： q qC d2y γ x 0, y 0 : A C y γ 2 dx H H dy 该微分方程的解可用双曲函数表示： q γ γ y Ach x Bsh x C H H γ
VAl P b1 P2b2 0 1
P b1 P2b2 VA 1 l Pi bi 0 VA l
HB
VB
C
P2
A
f
HA
VA
x l1
l P1 P2
B
l2
mA 0
Pi ai VB VB0 l
A C
0 VA
B
mc 0
VB0
H A f P (l1 a1 ) VAl1 0 1
HA VA
A
C D 4f y (x ) 2 x (l x) l
6m
3m
3m
VB VB0
0 M C 6 12 3 10 H 10 .5k N f 4 V0
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
10kN
A
VB0
(2) 内力计算 截面几何参数
x D 9m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M H f
例4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试 求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f
B
y x A
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 M C ql 2 推力H为： H f 8f
l/2
l/2
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
§4-1
一、梁与拱的关系 F
HA＝0 A
概
述
F
B
HA＝0 A
B
曲梁 F
拱：杆轴线为曲线，
且在竖向荷载作用下会 产生水平推力的结构。
HA≠0
A
拱
B
二、 拱的常见类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱
静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
平拱：两拱趾在同一水平线上的拱 斜拱：两拱趾不在同一水平线上的拱
D
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
A
4f y D 2 x(l x) l 4 4 2 9(16 9)＝3m 12 dy 4 f 16 tg D 2 (l 2 x ) dx l 4 4 2 12－2 9 ＝－0.667 12
3m
D 33.70
sin D 0.555
cos D 0.832
(2) 内力计算
x D 9m yD 3m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 16
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
x 0, dx
y
B
0:
qC γ
B0
γ ch x 1 H
二、内力的计算
P Qk Mk
y a1
a2 b1 P1 k k yk C
b2
Nk
P2
HA
A HA VA
xk l1 l P1
f
x l2
B HB VB
VA
Qk0 V A0 P 1
M k0 V A0 xk P xk a1 1
P2
A k C
M k V A xk P xk a1 H A yk 1
sin D 0.555 cos D 0.832
A
3m
0 M M D Hy D 12 3 10.5 3 4.5kN m 0 QD左 QD左 cos D H sin D 2 0.832 10.5 0.555 4.16 kN 0 N D左 QD左 sin D H cos D 2 0.555 10.5 0.832 9.85kN 0 QD右 QD右 cos D H sin D 12 0.832 10.5 0.555 －4.16 kN
q
A x ql/2 l
B ql/2
1 qx(l x) M 4f 2 y 2 (l x)x ql 2 H l 8f
0
三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理 拱轴线为一抛物线。
解法2：
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
ql 2 VA 2
ql 2 HA 8f
0 A k
B
0 VA V x P xk a1 H A yk 1
VB0
N k V A sin k P sin k H A cos k 1 V A0 P sin k H A cos k 1 Qk0 sin k H A cos k
（2）画三铰拱内力图的步骤
1）计算支座反力 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本P60 图4-6）； 3）集中力作用处Q图将发生突变； 4）集中力偶作用处M图将发生突变。
1997年建成的重庆万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥，主拱圈 为钢管混凝土劲性骨架箱型混凝土结构，全长 856.12米，主跨420米，桥面宽 24米，为双向四车道，是世界最大跨径的混凝土拱桥。由重庆交通大学土木建 筑学院顾安邦教授主研完成,设计施工技术的研究成果获国家科技进步一等奖
甘肃灞陵桥，又名卧桥，在渭源县城南门外的清源河上，是一座古典纯木结 构伸臂曲拱型廊桥, 主跨：40米，始建于明洪武年间(公元1368-1398年)， 后被洪水冲毁。1919年仿兰州卧桥改建，被称为“渭水长虹”。
M k0 H A yk Qk V A cos k P cos k H A sin k 1
V P cos k H A sin k 1
0 A
Qk0 cos k H A sin k
M k M k0 H A yk 内力的计算公式： Q Q 0 cos H sin k k k A k N k Qk0 sin k H A cos k
例4-1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN 4m B
HB VB
解: (1) 反力计算
V A V A0 10 3 3 6 9 12 16 kN 3 6 3 10 9 12 12 kN
0 VAl1 P (l1 a1 ) M C 1 HA HB f f
反力计算公式：
V V 0 A A VB VB0 0 MC H A H B H f
在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱)的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力H越大。 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构.
f
f l
高跨比
§4-2 三铰拱的计算
因为简支梁的内力计算大家非常熟练，所以 在计算三铰拱（平拱）在竖向荷载作用下的内力 时，和同跨度同荷载的简支代梁对应起来，以找 出两者在支座反力计算、内力计算方面的区别， 加以对比，便于理解和记忆。
一、支座反力的计算
y a1 P1 a2 b1 b2
mB 0
M x M 0 x Hy x
M x 0 M 0 x Hy x 0