正常水准面不平行性及其改正数计算.

§5.7 正常水准面不平行性及其改正数计算如果假定不同高程的水准面是相互平行的，那么水准测量所测定的高差，就是水准面间的垂直距离。

这种假定在较短距离内与实际相差不大，而在较长距离时，这种假定是不正确的。

5.7.1 水准面不平行性在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。

对于水准面上的单位质点而言，它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。

我们把这种随着位置和重力加速度大小而变化的位能称为重力位能，并以W 表示，则有gh W = （5-17） 式中，g 为重力加速度；h 为单位质点所处的高度。

我们知道，在同一水准面上各点的重力位能相等，因此，水准面称为重力等位面，或称重力位水准面。

如果将单位质点从一个水准面提高到相距h ∆的另一个水准面，其所做功就等于两水准面的位能差，即h g W ∆=∆。

在图5-51中，设A h ∆、B h ∆分别表示两个非常接近的水准面在B A ,两点的垂直距离，A g 、B g 为B A ,两点的重力加速度。

由于水准面具有重力位能相等的性质，因此B A ,两点所在水准面的位能差W ∆应有下列关系B B A A h g h g W ∆=∆=∆（5-18） 我们知道，在同一水准面上的不同点重力加速度g 值是不同的，因此由式（5-18）可知，A h ∆与B h ∆必定不相等，也就是说，任何两邻近的水准面之间的距离在不同的点上是不相等的．并且与作用在这些点上的重力成反比。

以上的分析说明水准面不是相互平行的，这是水准面的一个重要特性，称为水准面不平行性。

重力加速度g 值是随纬度的不同而变化的，在纬度较低的赤道处有较小的g 值，而在两极处g 值较大，因此，水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆形的曲面。

水准面的不平行性，对水准测量将产生什么影响呢？我们知道，水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。

在图5-34中，地面点B 的高程可以按水准路线OAB 各测站测得高差 ,,21h h ∆∆之和求得，即∑∆=OABB h H 测如果沿另一条水准路线ONB 施测，则B 点的高程应为水准路线ONB 各测站测得高差,,21h h '∆'∆之和，即 图5-33∑'∆='ONBB h H 测由水准面的不平行性可知∑∑'∆≠∆ONBOABh h ，因此B H 测'也必定不等，也就是说，用水准测量测得两点间高差的结果随测量所循水准路线的不同而有差异。

如果将水准路线构成闭合环形OABNO ，既然B BH H 测测'≠，可见，即使水准测量完全没有误差，这个水准环形路线的闭合差也不为零。

在闭合环形水准路线中，由于水准面不平行所产生的闭合差称为理论闭合差。

由于水准面的不平行性，使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产生多值性，为了使点的高程有惟一确定的数值，有必要合理地定义高程系，在大地测量中定义下面三种高程系统：正高，正常高及力高高程系。

5.7.2 正高高程系正高高程系是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高高程（简称正高），即该点沿垂线方向至大地水准面的距离。

如图5-34中，B 点的正高，设以B H 正表示，则有⎰∑=∆=BCBCBdH H H 正 （5-19）设沿垂线BC 的重力加速度用B g 表示，在垂线BC 的不同点上，B g 也有不同的数值。

由式(5-18)的关系可以写出gdh dH g B = 或dh g gdH B=（5-20）将（5-20）式代入（5-19）式中，得⎰⎰==OAB BBC Bdh g g dH H 正（5-21） 如果取垂线BC 上重力加速度的平均值为Bm g ，上式又可写为⎰=OABB mBgdh g H 1正 （5-22）从（5-22）式可以看出，某点B 的正高不随水准测量路线的不同而有差异，这是因为式中Bm g 为常数，⎰gdh 为过B 点的水准面与大地水准面之间的位能差，也不随路线而异，图5-34因此，正高高程是惟一确定的数值，可以用来表示地面的高程。

如果沿着水准路线每隔若干距离测定重力加速度，则（5-22)式中的g 值是可以得到的。

但是由于沿垂线BC 的重力加速度B g 不但随深入地下深度不同而变化，而且还与地球内部物质密度的分布有关，所以重力加速度的平均值Bm g 并不能精确测定，也不能由公式推导出来，所以严格说来，地面一点的正高高程不能精确求得。

5.7.3 正常高高程系将正高系统中不能精确测定的B m g 用正常重力Bm γ代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高，用公式表达为⎰=gdh H BmBγ1常 （5-23）式中，g 由沿水准测量路线的重力测量得到；dh 是水准测量的高差，Bm γ是按正常重力公式算得的正常重力平均值，所以正常高可以精确求得，其数值也不随水准路线而异，是惟一确定的。

因此，我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。

下面推导正常高高差的实际计算公式。

首先推导高出水准椭球面m H 的正常重力的计算公式。

在这里，我们把水准椭球看成是半径为R 的均质圆球，则地心对地面高H 的点的引力为2)(H R Mfg += 对大地水准面上点的引力为20R M fg = 两式相减，得重力改正数))(11(2201H R R fM g g g +-=-=∆ ])1(11[22RH R fM +-= 上式右端括号外2R fM 项，可认为是地球平均正常重力0γ；由于H <<R ，可把2)1(-+RH 展开级数，并取至二次项，经整理得)]321(1[2201RH R H g +--=∆γ220032R H R Hγγ-=将地球平均重力0γ及地球半径R 代入上式，最后得2711072.03086.0H H g -⨯-=∆这就是对高出地面H 点的重力改正公式，式中H 以m 为单位，g 1∆以mGal 为单位。

显然式中第一项是主项，大约每升高3m ，重力值减少1mGa1。

第二项是小项，只在特高山区才顾及它，在一般情况下可不必考虑，这样通常可把上式写成H g 3086.01=∆ 于是得出地面高度H 处的点的正常重力计算公式H 3086.00-=γγ （5-24）式中0γ为水准椭球面上的正常重力值，在大地控制测量中，采用1901～1909年赫尔默特正常重力公式：)2sin 000007.0sin 005302.01(030.978220ϕϕγ-+= （5-25）将重力g 写成下面的形式γγγγ-+-+=Bm B m g g （5-26）式中γ用（5-24）式计算。

在有限路线上，可以认为正常重力是线性变化，因此可认为Bm γ是B H 处的γ值，即)23086.0(0BB B mH ⋅-=γγ，进而 γγγγ--+⋅--+=)3086.0()23086.0(00H H g g BB Bm )2(3086.0)()(00H H g BB B m -+-+-+=γγγγ （5-27） 分项积分得到⎰⎰⎰-=-OABOABB OABB Hdh dh Hdh H H 2)2(可近似地写成：022)2(22=-=-⎰B B OABB H H dh H H 因此，有正常高计算公式：⎰⎰⎰-+-+=OABBmBBmOABBdh g dh dh H )(1)(100γγγγγ常（5-28） 上式右端第一项是水准测量测得的高差，这是主项；第二项中的0γ是沿B A O --水准路线上各点的正常重力值，随纬度而变化，亦即B 00γγ≠，所以第二项称为正常位水准面不平行改正数。

第一、二项之和称为概略高程。

第三项是由正常位水位面与重力等位面不一致引起的，称之为重力异常改正项。

当计算两点高差时，有式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+=-⎰⎰⎰⎰⎰OB OA A m B m OB OA AA m BB mAB A B dh g dh g dh dh dh H H )(1)(1)(1)(10000γγγγγγγγγγ常常 （5-29）将上式右端第二、三大项分别用ε和λ表示，则λε++=-⎰ABAB dh H H 常常（5-30） 上式中ε称为正常位水准面不平行引起的高差改正，λ称为由重力异常引起的高差改正，经过ε和λ改正后的高差称为正常高高差。

下面推导ε和λ的计算公式。

首先推导ε的计算公式。

由于 ⎰⎰---=OAA Am OBBBm dh dh )(1)(10000γγγγγγε⎰⎰⎰⎰---+-+---=OAA AmOABA AB mOABBmOBBB mdh dh dh dh )(1)(1)(1)(10000000000γγγγγγγγγγγγγγ⎰⎰⎰⎰---+-+-=OAA Am OAA Bm OABA Bm ABBBm dh dh dh dh )(1)(1[)(1)(100000000γγγγγγγγγγγγ于是 ⎰⎰-⋅-+-+-=OAA Bm A m BmA m AB m B A ABBB mdh H dh )()(1000000γγγγγγγγγγγγε （5-31）上式中最后一项数值很小，可略去；第一项在B A ,间距不大的情况下，可认为0γ呈线性变化，0γ可用平均值代替，亦即)(21000B Aγγγ+=，则 2)()2(1)(1000000hdh dh Bm A B ABBBA B mABB Bm∆⋅--=-+=-⎰⎰γγγγγγγγγγ （5-32） 这样m BmA B A B m A B H H h γγγγγγε)()2()(0000--=+∆--= （5-33） 式中，m H 为B A ,两点平均高度（可用近似值代替），γγγ∆=-A B 00。

又由（5-25）式可知，若忽略右端第三项（即含ϕ2sin 2项），并令ϕϕ2cos 21212sin 2-=，则把它改写成 )]2cos 2121(1[0ϕβγγ-+=e]2cos 21211[ϕββγ-+=e （5-34） 当 45=ϕ时，得)211(45βγγ+=e 。

因此上式可写成 )2cos 21(45450ϕγγβγγe⋅-= 将有关数值代入，于是)2cos 002644.01(9806160ϕγ-⨯=（5-35） 因此对上式取微分得ρϕϕγ''⨯⨯=22sin 2002644.09806160d 亦即ϕϕγ'∆⨯=∆2sin 508344.1（5-36） 当（5-33）式中的Bm γ以我国平均纬度 35=ϕ代入算得)70cos 002644.01(980616 -⨯=Bm γ979773=将以上关系式及数据代入（5-33）式，得ε的最后计算公式：m m H ϕϕε'∆⋅-=2sin 0000015395.0 （5-37）或 m H A ⋅'∆-=ϕε （5-38） 式中，m ϕ是B A ,两点平均纬度，系数A 可按m ϕ在水准测量规范中查取，A B ϕϕϕ-='∆是B A 、两点的纬度差，以分为单位。