半无限大固体表面温度变化情况

（ 2） （ 3）
x =0
x =0
2π π t－ － φ） ） 12 3 1 （ B + 1 ） 2 + B2 槡 B B +1 λ h = = λρc aT h 槡 24 a h 槡 24 槡 π λ π 1 π
设 x = 0 处的温呈度周期性变化， 令 θw = Tw － Ta ， （ 4） 式中 ω 为温度的频率， β 为温度的相位差。 根据杜哈美定理， 推导在初始温度 T i 为零时， 半无限大 固体内温度分布随时间的变化规律： π 槡 x2 （ 5） e cos［ － β） ］ dη ω（ t － 0 4 aη2 x 。第二项为瞬态项， 式中 θ0 = T i － T a ， 表示固体 η = 4 at 槡 θ / θ0 = e［－ x （
环境温度周期性变化， 那么表面温度应该和环境温度按 但其振幅不同且峰值相差一个相位， 即 同样的周期变化， θ w = cAcos（ ωt － β － ψ） = cAcos（ 2π π t－ － φ） 12 3 （ 7）
（ 1）
得出 c 和 φ 的表达式即可得到表面温度的变化趋势 。 将环境温度 θ e 和表面温度 θ w 表达式带入边界条件， 得： θ x cAcos（ = h（ Acos（ ωt － β） － θ w ） = h（ Acos（ 2π π t－ ） － 12 3 （ 8）
2
由初始温度为零忽然接触到环境温度产生的温度变化， 随着 时间的增长该项将趋向于 0 。 初始温度与环境温度越接近， 此项越趋于 0 。下面的推导将舍去该瞬态项， 不考虑初始温 度的影响， 以便得到表面温度 T s 的周期变化规律。 4］ ， 根据文 献［ 表 面 温 度 可 表 示 为 θ e = Asin［ ω（ t － t0 ） ］， 其中 t0 为最高气温滞后于太阳辐射强度峰值的时间， 在该表达式中可以取 2 。计算的时间周期为 24 小时， 频率为 2 π / 24 = π / 12 ， 则环境温度： θ e = Acos（ ωt － β） = Acos（ 2π π t－ ） 12 3 （ 6）
－ η2
可推导得到： c = （ 9） （ 10 ）
φ = arctg 式中 B =
ω ） 2a
0． 5
］ cos［ ωt － x （ω ） 2a0 /5
－ β］ －
2
∫
x/ 槡 4 at
带入表面温度的表达式， 得： Ti － Ta 2π B π Ts － Ta = cos（ t－ － arctg ） 2 2 12 3 B +1 （ B + 1 ） + B 槡 （ 11 ）
c、 法： 在保证 ρ、 λ 乘积不变时， 尽量使用导温系数较小的材料 。 【关键词】 半无限大； 周期性边界； 热穿透深度 【作者单位】 徐晓杰， 苏州大学物理科学与技术学院能源学院
一、 模型说明 在 x 方向无限延伸的半无限大固体， 初始温度 T i 。 边界 x = 0 处（ 上表面） 受到太阳辐照、 与环境的对流换热及与天空 太阳辐照密度为 q、 环境温度为 T e ， 天 的辐射换热三种影响， 空背景温度为 T sky ， 三者均可表示为成周期性变化的 、 时间的 c、λ 物性参数组合， 正弦函数。对该半无限大固体， 寻找 ρ、 保证使其表面温度 T s 变化一致。 （ 一） 简化边界， 推导分析解。由于存在与天空的辐射换 边界条件呈非线性， 直接推导分析解困难， 因此假设上表面 热， 。 仅有与环境间对流换热 在这种边界条件下， 将上表面温度 Ts 表达成含有固体密度 ρ、 比热 c、 导热系数 λ 的时间 t 的函数。 分别采用杜哈美定理法和近似分析法， 推导得到分析解： 1． 杜哈美定理法。一维半无限大固体的导热微分方程： T T = a 2， 0 ＜ x ＜ ! t x 初始条件： T（ x， 0） = Ti 上表面 x = 0 处边界条件： T －λ = h（ T e （ t） － T x x = 0 θ w = Acos（ ωt － β） ）
Industrial & Science Tribune 2011.（10）.9
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产业与科技论坛 2011 年第 10 卷第 9 期
定义 M = λ × ρ × c ， 则： 1 B = h 12 h2 （ T （ t） － T s ） dt 9 ρc λ e 定义 M = λ × ρ × c ， 上式可写为：
产业与科技论坛 2011 年第 10 卷第 9 期
半无限大固体表面温度变化情况研究
□徐晓杰
【摘
要】 红外示假指的是用外形尺寸一致 、 红外辐射和微波反射特性与真目标相类似的假目标来模拟真目标 ， 其中假目标表 。 面的温度变化情况和红外辐射特性成为发现和识别该目标的关键 本文将模型定义为放置在自然环境中的半无限 大固体， 其表面温度随着自然环境的周期变化而不停的变化 。寻找实现不同材料半无限大固体表面温度变化一致的 从而实现使用更经济的材料得到相同的表面温度变化趋势的目的 。通过在简化的边界条件下 ， 即仅有 热物性组合， c、 与环境的对流换热存在 ， 通过推导分析解， 发现当材料满足 ρ、 λ 乘积一定、 表面温度变化一致的规律 ； 猜测该结论 并通过数值计算的方法验证了猜想 。计算得到在不同的温度区间内表面温度变化一致的材料 ， 在实际边界下可行， 同时将表面温度与环境温度进行比较 。引入穿透深度的概念， 寻找表面温度变化一致 、 同时减薄半无限大固体的方
2 d （ Ti － Ts ） 12 h2 ［ ］ dT s = － （ T e （ t） － T s ） dt 9M dT s T e （ t） － T s
（ 26 ）
当 B 值不变、 即 M 值不变时， 式（ 11 ） 中表面温度的振幅 和相位差都不变， 即表面温度仅是时间 t 的函数。 2． 近似分析法。设半无限大固体中存在一个热层， 在计 热层以下保持初始温度不变， 令其厚度为 δ。 根 算的时间内， 据热层定义， 边界条件可以转化为： T = 0 x x = δ T －