数学分析第五章第一节

0
d x=x0 x
d x=x0 x
即 ′(x ) = y′ x=x = f 0
0
f (x +∆ )− f (x ) x d f d y y ∆ 0 0 . = = lim = lim 0 x 0 d x=x0 d x=x0 ∆x→ ∆ ∆x→ x x x ∆
若此极限不存在,则称 ( )在点x 处不可导. 若此极限不存在,则称ƒ(x)在点 0处不可导.
s(t0 +∆ )−s(t0) t s ∆ v(t0) =lim =lim t 0 t t 0 ∆→ ∆ ∆→ t ∆
5
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
2.平面曲线的切线斜率(P87) .平面曲线的切线斜率 的方程为y=ƒ(x),P(x0 ,y0)为C上一定点,Q(x0+∆x,y0+∆y)为 设曲线C 的方程为 为 上一定点, 为 上一动点 C上一动点,作割线 PQ, 与x轴夹角为,则割线 的斜率为 上一动点, , 轴夹角为 则割线PQ的斜率为
8
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若令 x 0 ∆ 注 (2)若令 x= x +∆ 则 x→ ⇔x→x 0 0
f (x)− f (x ) 0 f ′(x ) = lim 0 x→ 0 x x−x 0
, 从而
f (x +∆ )− f (x )可变化为 x 0 0 f 0 即 ′(x ) = lim x 0 ∆→ x ∆ f (x +h − f (x ) ) f (x)− f (x ) 0 0 0 f ′(x ) =lim = lim 0 h 0 x→ 0 x → h x−x 0 f 0 在 例若 ′(x )存 ,则 f (x −∆ )− f (x ) x 0 0 lim =−f ′(x ), 0 x 0 ∆→ x ∆ f (x )− f (x −h ) 0 0 lim = f ′(x ). 0 h 0 → h
s(t0 +∆ )−s(t0) t s ∆ lim = lim 0 t 0 ∆t→ ∆ ∆t→ t ∆
如果极限
s(t0 +∆ )−s(t0) t s ∆ lim =lim t 0 t t 0 ∆→ ∆ ∆→ t ∆
存在
则称此极限值为动点在时刻t 的瞬时速度, , 则称此极限值为动点在时刻 0的瞬时速度, 即
9
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
f (x +h − f (x −h ) ) 0 0 再 如 lim 例 h 0 → 2 h
[ f (x +h − f (x )]+[ f (x )− f (x −h ) )] 0 0 0 0 =lim h 0 → 2 h = f ′(x ) 0
例1(P88) 求函数 f (x)在x2= 1处的导数 处的导数 =x
f (x +∆ )− f (x ) x y ∆ 0 0 lim = lim x 0 x x 0 ∆→ ∆ ∆→ x ∆ 则称此极限值为函数ƒ(x) 在点 x0 处的导数 或微商 也称 处的导数(或微商 或微商). 存在,则称此极限值为函数 则称此极限值为函数 y d f 在点 处可导 ƒ(x)在点 x0处可导. 记作 f ′(x ), y′ x=x , d , . 0
f (x)− f (0 ) x −0 解 因 lim 为 =lim x→ 0 x→ 0 x−0 x x =lim x→ x 0 −x x ′(0 = lim =− , ′ ) 1 而 f+(0 = lim =1 f− ) , − + x→ x 0 x→ x 0
y
y= x =
o
x
′ ). f ) 存 . 以′ ) 所 f+(0 ≠ f−(0 故 ′(0 不 在
(四)左右导数 四 左右导数
则称此极限值为函数ƒ(x)在点 0处的右导数.也称 在点x 右导数.也称ƒ(x)在点 0的右 在点x 则称此极限值为函数 在点 在点 可导. 可导 记作
左导数. 也称ƒ(x)在点 x0 左可导 记 限值为函数 ƒ(x)在点 x0 处的左导数 也称 在点 在点 左可导. 作
f (x +∆ )− f (x o x )
x
f (x +∆ )− f (x ) x y ∆ 0 0 k = lim = lim . x 0 x x 0 ∆→ ∆ ∆→ x ∆
6
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
(二)导数的定义 定义1 (P88)设函数 定义1'(P88)设函数 y =ƒ(x)在点 0的某个邻域内有定义,设自 ( )在点x 的某个邻域内有定义, 变量在点x 处有增量Δ +Δx也在该邻域内 也在该邻域内) 变量在点 0处有增量Δx ≠ 0 时(x0+Δ 也在该邻域内) , 函数有相 应增量Δy ( +Δx) ( 应增量Δy = f(x0+Δ )-f(x0), 若极限
3
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
一 导数的定义 (一)引例 一 引例 1.变速直线运动的瞬时速度 变速直线运动的瞬时速度(P87) 变速直线运动的瞬时速度 匀速直线运动的(瞬时 速度： 瞬时)速度 匀速直线运动的 瞬时 速度： v =
s t
设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0时 设作变速直线运动的质点 运动轨迹为 刻到t 时刻, 刻到 0+∆t时刻 动点 在∆t 这段时间内经过的路程为 时刻 动点P在
例5(0)
14
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
二 导函数 定义(P90) 如果函数 如果函数ƒ(x)在某区间 b)内每一点都可导,则称 在某区间(a, 内每一点都可导 内每一点都可导, 定义 在某区间 内可导. ƒ(x)在该区间 (a, b)内可导. 在该区间 内可导 设函数ƒ(x)在区间 b)内可导, ∀ ∈ a,b 设函数 在区间(a, 内可导, 在区间 内可导 x 都有一个导数值 与之′(x) ( ) f 对应, 从而得到一个定义在(a, 内的新函数 对应, 从而得到一个定义在 b)内的新函数 .将它称为 f ′(x) 的导函数, ƒ(x)的导函数,简称导数, 记为 的导函数 简称导数,
) 存 . 故 f ′(0 不 在
1 x sin ) f (x)− f (0 x =lim s 1 =0 x in (2因 lim ) 为 =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x x−0 x
2
) . 故 f ′(0 =0
11
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
(三 有 增 公 （9 ) ） 限 量 式 p8
10
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
点处的可导性： 例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性：
1 x≠0 xsin (1 f (x) = ) ; x x=0 0 1 2 x≠0 x sin (2 f (x) = ) . x x=0 0
1 xsin f (x)− f (0 ) x =lim 1不 在 存 ) 为 解 (1因 lim sin =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x−0 x x
第五章 导数与微分
§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
§1 导数的概念
2
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
在第一章研究了变量与变量之间的依赖关系即函数 关系.在第二、三章研究了变量的变化趋势即函数极限. 关系.在第二、三章研究了变量的变化趋势即函数极限. 除此之外,还要研究各变量之间相对变化快慢的程度：如 除此之外,还要研究各变量之间相对变化快慢的程度： 质点运动速度、城市人口增长的速度、 质点运动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的 速度等等, 这就需要用导数来研究. 速度等等, 这就需要用导数来研究.
P ∆s
∆s = s(t0+∆t)－s (t0) ， 平均速度为
•
t0
t0 +∆ t
•
t s ∆ s(t0 +∆ )−s(t0) v= = t t ∆ ∆
4
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
即路程的增量与时间的增量之商. 即路程的增量与时间的增量之商 变化, 也随之而变; 当∆t变化, v 变化 也随之而变;当∆t→0时, 可看作是质点在时刻 0 时 可看作是质点在时刻t v 瞬时速度”的近似值.从而对平均速度取极限, 的“瞬时速度”的近似值.从而对平均速度取极限,便有
′ 0 f−(x ) = lim −
x 0 ∆→
定理5.2(P89) ƒ(x)在 x0 处可导, 导数为 定理 在 处可导,
f ′(x )⇔ 0
′ 0 ′ 0) 存 且 等 . f+(x ) = f−(x（ 在 相 ）
13
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
讨论函数y 点处的可导性. 例2(P88) 讨论函数 = |x|在x =0点处的可导性. 在 点处的可导性
7
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若 点 动 律 s= 则 点 to时 的 时 度 质 运 规 是 s(t), 质 在 刻 瞬 速 s s ; v(to)=lim∆ = ′(to) t ∆
∆t→ 0
曲 y = f (x)在x , y )处 切 斜 线 ( o o 的 线 率 y ∆ k = lim∆ = f ′(x ). o x 0 x ∆→ 0 0 注 (1 ∆y = f (x +∆x)− f (x ) 反映的是自变量 从x0 改变到 反映的是自变量x从 ) ∆x ∆x
f ′(1 . )
x 处 得 个 量x 应 解在 =1 取 一 增 ∆ , 相 地
y ∆ y x x x ∆ =(1+∆ ) −1=(∆ ) +2 x⇒ =∆ +2 ∆ x ∆ ∆ y f 1 ( x ) . 故 ′( ) = lim = lim ∆ +2 =2 x 0 x x 0 ∆→ ∆ ∆→