2.不定积分的计算
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
不定积分的计算
5 u 4 du u 5 c sin 5 2 x c. 引出凑公式法: Th 若 f ( x) dx F ( x) c,
u sin 2 x
(x )
连续可导,
则
f [ (t)] ( t) dt F [ (t )] c.
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为 g ( t ) f [ ( t )] (t ) 则有
们就可以用分部积分把不容易积分的 例4 若令
u (x )v (x )dx
计算出来
u x , v cos x v sin x ， 代入分部积分公式
x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
但若令 u cos x , v x v x 2 / 2 ， 代入分部积分公式 x2 1 x cos xdx cos x x 2 sin xdx 2 2 比原积分还复杂
x ln xdx
u ln x , v x v x 2 / 2
相比之下显然， x 容易积分，所以取
x2 1 x2 x2 x2 x ln xdx 2 ln x x 2 dx 2 ln x 4 C
由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那 个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计 算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把 （相比之下） 容易积分， 积分后比较简单的函数作为 v ， 积分较难或积分后比较复杂的函数作为 u 例 4
2 arctgtdarctgt ( arctgt ) 2 c ( arctg x ) 2 c . 其他凑法举例: 例 18 e x e x d (e x e x ) dx x ln( e x e x ) c . e x e x e ex ln x 1 d ( x ln x ) (x ln x ) 2 dx (x ln x )2
高中不定积分的计算
高中不定积分的计算在高中数学的学习中，不定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅能够帮助我们求解函数的原函数，还能用于解决一些实际问题。
为了更好地掌握不定积分的计算方法，我们需要了解其基本概念、性质以及常见的计算技巧。
一、不定积分的基本概念不定积分是定积分的逆运算。
给定函数f(x)，在定义域上存在一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则我们说F(x)是f(x)的一个原函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
这个过程被称为不定积分，其中，被积函数f(x)称为被积表达式，x称为积分变量。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 基本积分法：常见的函数的原函数有一一对应的关系，我们可以通过查表或基本积分法来求解不定积分。
3. 参数积分法：对于∫f(g(x))g'(x)dx的求解，我们可以通过令u = g(x)来转化为∫f(u)du的形式进行求解。
4. 分部积分法：对于∫u(x)v'(x)dx的求解，我们可以通过分部积分公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx进行转化。
三、不定积分的计算技巧1. 基本初等函数的积分：常见的初等函数如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等，都有一一对应的积分表达式。
2. 适当变量代换：通过适当的变量代换，可以将被积式转化为较简单的形式。
比如，对于根式中含有x的表达式，可以尝试令u = g(x)，从而简化积分的计算过程。
3. 利用性质和技巧：对于复杂的积分表达式，可以利用积分的性质和技巧，如分部积分、参数积分等，将其转化为更简单的形式进行求解。
四、实例分析下面通过一些具体的例子，来展示不定积分的计算过程。
例一：计算∫(2x + 1)dx。
解：根据不定积分的线性性质，我们可以分别计算2x的积分和1的积分，然后将结果相加。
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行不定积分来求解问题。
不定积分的计算方法有很多种，本文将对常见的不定积分计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的计算技巧。
一、基本积分法。
基本积分法是指根据不定积分的基本性质和常用函数的积分公式进行计算的方法。
常见的基本积分公式包括幂函数的不定积分、三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等。
在使用基本积分法时，需要熟练掌握各种函数的积分公式，并灵活运用。
二、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种计算方法，它通过代换变量的方式将原函数转化为一个更容易积分的形式。
常见的换元法包括代数换元法、三角换元法、指数换元法等。
在使用换元法时，需要选择合适的代换变量，并进行变量的替换和微分运算，最终将原函数转化为容易积分的形式。
三、分部积分法。
分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它通过对积分式进行分解，然后利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别为原函数中的两个部分。
在使用分部积分法时，需要选择合适的u和dv，并进行适当的求导和积分运算。
四、特殊函数的积分计算方法。
在实际问题中，常常会遇到一些特殊函数的不定积分计算，如有理函数、反三角函数、反双曲函数等。
针对这些特殊函数，我们需要掌握相应的积分计算方法，如部分分式分解法、反三角函数的积分计算公式等。
通过熟练掌握特殊函数的积分计算方法，可以更好地解决实际问题中的不定积分计算。
五、综合运用不同方法。
在实际问题中，不定积分的计算往往需要综合运用多种方法。
我们需要根据具体的函数形式和积分式的特点，灵活选择合适的计算方法，有时甚至需要多种方法的组合运用。
通过综合运用不同的计算方法，可以更高效地解决复杂函数的不定积分计算问题。
总结：不定积分的计算方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
不定积分运算
不定积分运算
不定积分运算是一种数学运算，主要用于求不定积分，即求原函数。
不定积分是微积分中的重要概念，它是求导（或微分）的逆运算。
在不定积分运算中，常用的方法包括基本积分公式、常数倍法则和代换法则。
基本积分公式是求不定积分的基础，对于常见的函数情况，基本积分公式可以快速求出它们的原函数。
常数倍法则是指求导时的常倍法则可以用于不定积分中，常数可以提到积分符号外面。
代换法则是一种常用的简化计算的方法，如果被积函数中有复杂的部分，难以直接计算，可以通过代换来简化计算。
总之，不定积分运算是一种通过数学运算求原函数的方法，常用的方法包括基本积分公式、常数倍法则和代换法则。
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。
在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。
接下来，我们将逐一介绍这些方法。
首先是换元法。
它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。
具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。
其次是分部积分法。
该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。
分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。
具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。
然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。
分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。
最后是常数因子法。
该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。
常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。
具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。
除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。
掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。
在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。
例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。
综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2 不定积分的计算
不定积分的计算（1）
教学内容：第一换元积分法（凑公式法）分部积分法
要求：掌握凑公式法的技巧和方法
掌握分部积分中的选取原则和技巧
难点：分部积分中的选取原则和技巧
不定积分的计算一般由三种方法：
1）凑公式法
2）部积分法
2）第二变量替换法
今天讲前两种方法：
一第一类换元法——凑公式法
引出凑公式法:
定理若连续可导, 则
该定理可叙述为：若函数能分解为则有
.
凑公式法：表面看不符合基本积分公式，但作变换，令后
，而符合基本积分公式。
例1 但作变换，令后
例2 不符合基本积分公式，稍微变换一下
＝，令
例3 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整理
令后，化成
凑公式法的关键是设法把凑成的形式，使符合基本积分公式。
二分部积分
我们讲导数时，知道
从而有
移项得
或
我们称这个公式为分部积分公式。
当不容易积分，但容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分
的计算出来
例4
若令，代入分部积分公式
但若令，代入分部积分公式
这比原积分还复杂，由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v
，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分部积分公式，我们可总结出下面一个原则：
一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为，积分较难或积分后比较复杂的函数
作为。
例 4
相比之下显然，容易积分，所以取
分部积分公式也可以连续用多次
例5
积分是它本身，积分是相比之下，容易积分，应选
，
再用一次分部积分公式
例6
二者积分难度相当，随意取那个作u 都可，比如取
代入分部积分公式
再分部积分一次
出现循环，将上式最后一项移到左端合并整理
分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分
等常用分部积分来计算。
习题课(凑公式法和分部积分法)
1常用的几种凑公式法
凑法1
例 1
例 2
例 3
例 4
由例1-4知，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例 5 ⑴.
⑵
.
凑法2 .
特别地, 有
和
.
例6 .
例7
例8 .
例9
=.凑法3
例 10 ⑴⑵
例11
例12 .
例13
凑法4.
例 15
凑法5
例 16
凑法6
.例 17
.
其他凑法举例:
例 18 .
例 19
例 20
.
例
21 .
例
22 .
例23
例24 .
二使用分部积分公式的一般原则.
1. 幂X型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函
数两因子之一争取求导,
以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ),
但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对
“”求导以使其成为代数函数.
例25 (幂对搭配)
例26 (幂三搭
配)
例27 (幂指搭
配)
例29 (幂指搭配)
例
3
例31 (幂反搭
配)
例32
2建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函两因子之一求导, 进行分部
积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中
解出原积分来.
例33
例34 求和
解
解得
例35
解=
=
解得
例36
例37，
解得.
例
38
=
=,
解得.
不定积分的计算（2）第二换元积分法
教学内容：第二换元积分法
要求：掌握正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧
难点：代换的选择技巧
二.第二类换元法——拆微法：
从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即
= =
=
引出拆微原理.
定理设是单调的可微函数,并且又具有原函数. 则有换元公式
(证)
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换.
1.三角代换:
⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”是针对型如的
根式施行的, 目的是去掉根号.
方法是: 令, 则
例1
解法一直接积分;
解法二用弦换.
例
2.
例3
⑵正切代换:正切代换简称为“切换”. 是针对型如的
根式施行的, 目的是去掉
根号. 方法是: 利用三角公
式即
令. 此时有
变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.
例4.
解令有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有
=
=
例5
⑶正割代换:正割代换简称为“割换”. 是针对型如
的根式施行的, 目的是去掉
根号. 方法是: 利用三角公式令有
变量还愿时, 常用辅助三角形法.
例
6
解
.
例7.
解法一（用割换）
2.无理代换:
若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,
作代换, 有. 可化被积函数为的有理函数.
例8 .
例9
.
若被积函数中只有一种根式或可试作代换
或. 从中解出来.
例
10 .
例11
例12 (给出两种解法)
例13
.
3.倒代换:
当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换
例14。