MatLab在理工课程中的应用 9

【例9.0】 质点直线运动的位置，速度和加速度
一质点沿x轴运动，坐标与时间的关系是 x = 5t - t3，式中x和t 分别以m和s为单位。在3s之内，分别取1s，0.1s和0.01s为时间 间隔，求质点的位置和在各个时间间隔内的平均速度及平均 加速度，通过图形对瞬时速度和加速度进行比较。 [解析]质点沿直线运动时，平均速度为
己方导弹成功拦截对方导弹。
己方导弹拦截对方导弹失败。
对于不同发射角的来袭导弹，在不同的 时刻发射拦截导弹，产生的效果不同。
对方导弹发射角太小，不需要拦截，也拦截不到。
对方导弹发射角太大，也不需要拦截，也往往拦截不到。
作业
9.1 质点三维螺旋运动的轨迹 一质点在任意时刻的位置在直角坐标系中可表示为
[解析]根据质点的运动方程可得轨道方程 x2 + y2 = 0.32。
质点的轨迹是圆。 不过，轨道方程不能说明质点是作顺时针运动还是逆时针 运动。
质点位矢的大小为
位矢与x轴夹角为
r
x y
2
2
0 .3
这是圆的半径。
a rc ta n
y x
.
质点的速度分量为 合速度大小为
v
vx
i
小球第i次做斜抛运动的方程为 xi = xi0 + vxti，y
viti
1 2
g ti
2
小球第1次做斜抛运动的总时间为 第2次做斜抛运动的时间为 第i次做斜抛运动的时间为 小球弹跳的总时间为
T1
2 v1 g
2v2 g

2 kv0 g
2 k T0
T2

2 k v0 g
2
2 k T0
dx dt
2
0 .6 c o s 2 t , v y
dy dt
0 .6 s in 2 t
v x v y 0 .6 ,
2
a rc ta n
vy vx
合速度的方向，即合速度与速度的x分量的夹角如上 质点的加速度分量为 a x
dvx dt
2 2
1 .2 s in 2 t , a y
t
*
t T
x1
*
x1 xm
s in 2 t
*
y1
*
y1 xm
s in t t
2 *
*2

对方导弹的发射角不同，其轨道就会不同。 已方拦截导弹的参数方程为：
x 2 x 20 x 2 x 20
* * * *
x1 x 2
*
*
s
*
* *
2 v 2 s in t
x A cos t
y A s in t
z Bt
其中A=0.05 m, w=20p, B=0.1，画出质点在1s内的运动轨迹以及位 矢、速度和加速度随时间变化的曲线。
9.2导弹追击飞机的模拟 飞机在空中水平匀速飞行，地面上的导弹与飞机在同一竖直平面之内， 模拟导弹打飞机的过程。
x2 v2 x t v2 x1 x 2 s y1 y 2 s t t
θ O
y2 v2 y t v2
当己方导弹与对方导弹的距离很近的时候，即可引爆己方导 弹，摧毁对方导弹。
[算法] 取对方导弹最大射程xm=v02/g 为长度单位，以抛射
时间为时间单位，以对方导弹的初速度v0为速度单位，则 对方导弹轨道的参数方程为：
2 2
y v0
(x1,y1) s v2 (x2,y2) x
θ
O
己方拦截导弹瞄准对方导弹运动，速度的方向指向对方导弹， 速度的分量为
v2 x v2 x1 x 2 s ,
v2 y v2
y1 y 2 s
.
y
v0
(x1,y1)
s v2 (x2,y2) x
经过时间Δt，己方拦截导弹位移的分量为
质点从圆的的最高点开始沿顺时针方向运 动，位矢的横坐标按正弦规律变化，纵坐 标按余弦规律变化，位矢的大小不变。
当质点运动到最左边时，位矢方向的角度值从-180º 跃变到180º ，质点从第三象限运动到第二象限。
由于质点是周期性运动的，因此位矢方 向的角度值随时间呈“锯齿”形变化。
质点速度的x分量按余弦规律变化，速度的y分 量按负的正弦规律变化，速度的大小不变。
当质点运动到最下边时，速度方向的角度值发生了从180°到180°的跃变，质点从第四象限运动到第三象限。
质点的加速度分量也按 三角函数规律变化，总加 速度的大小不变，方向的 角度值也发生跃变。
【例9.2】质点的螺旋运动 一质点的运动方程为 r = r0 + v0t，θ = ωt，式中r0，v0和ω是正常 数。质点的运动轨迹是什么？质点的速度随时间如何变化？ [解析]将第二式变形 t = θ/ω，代入第一式得 这是极坐标方程，质点轨迹是螺旋线。 极坐标与直角坐标的转化公式是 x = rcosθ，y = rsinθ， 质点的径向速度为
质点在直角 坐标中的运 动轨迹如图 所示，不论 在什么坐标 系中，曲线 的形状都是 相同的。
径向速度是一个常量，角向速度随时 间直线增加，合速度也随时间增加。
质点运动时间越长， 合速度就越大，这是 由于角向速度不断增 加的结果。
时间越长，质点 的角向速度就越 大，合速度与角 向速度就越接近。
【例9.3】 平抛小球在地面上跳跃的轨迹 一个小球以水平速度vx从高为h处抛出，与地面发生碰撞后继 续向前跳跃。假设小球在水平方向没有摩擦，在竖直方向碰撞 后的速率与碰撞前的速率之比为k(<1)，k称为反弹系数，求小 球到静止时运动的时间和水平距离。小球的水平速率与第一次 反弹的速率之比为一常数，对于不同的反弹系数，小球的运动 轨迹是什么？
瞬时速度为 质点的平均加速度为 瞬时加速度为
v lim x t
t 0
v
x t

dx dt
a
v t
a lim
v t
t 0

dv dt
质点的瞬时速度为v = 5 - 3t2，
瞬时加速度为a = -6t。
可见：只要时间间隔取得足够短，曲线上 任何一点的坐标都可以表示质点的位置。
可见：在计算速度的瞬时值时可用 很短时间内的平均值代替。
由此可见：在计算加速度的瞬时值时 也可用很短时间内的平均值代替。
【例9.1】 质点的匀速圆周运动
一质点的运动方程为 x = 0.3sin2t，y = 0.3cos2t 式中，t的单位为s，x和y的单位是m。质点运动的轨迹是什么？ 质点的位矢，速度和加速度随时间变化的规律是什么？
[解析]如图所示，小球首先做平抛运动，其运动方程为 x = vxt，
y h 1 2
v0 T0 2 gh
gt
2
小球与地面碰撞前的竖直速率为 下落的时间为
yv x
h
2h / g
O v 0
x
小球与地面碰撞后做斜抛运动，在水平方向 是匀速直线运动，在竖直方向是上抛运动。 小球每次与地面碰撞后的速率为 v1 = kv0，v2 = kv1 = k2v0，…，vi = kiv0，… ti是小球在第i次斜 抛运动中的时间， xi0是水平初始位置。
x1 v 0 c o s t ,
y 1 v 0 s in t
T
1 2
gt
2
令y1 = 0，可得抛射时间
2 v 0 s in g
设己方拦截导弹的速率v2为一常数，某 时刻己方导弹的坐标为(x2,y2)，与对方导 弹之间的距离为
s ( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 )
*
v v x / v0
*
小球第i次做斜抛运动的无量纲方程为
xi xi 0 2 v xti
* i *
*2
第i次做斜抛运动的时间为 小球弹跳的水平距离为
X
ti 2 k
*
i
1 k 1 k
2h
vx 2 gh

1 k 1 k
2vxh
vr dr dt v0
r r0 v0


质点的角向速度为
质点的合速度的大小为
v r
v
d dt
2
r ( r0 v 0 t )
2
v r v
v 0 [ ( r0 v 0 t )]
2
2
取角度系 数为v0/ωr0 = 0.5，质 点在极坐 标中的运 动轨迹如 图所示， 这是阿基 米德螺线。 角度系数 越大，极 径增加得 越快。
2
Ti
2 vi g

2 k v0 g
i
2 k T0
i
yv x
T = T0 + T1 + T2 + … + Ti + … = T0 + 2T0(k + k2 + … + ki + …)
因此
T T0 2T0 k 1 k
1 k 1 k T0
h
O v 0 x
反弹系数决定小球弹跳时间。
在反弹系数一定时，小球运动时间不变，水平速率 与平抛落地速率之比越大，水平运动的距离越长。
【例9.4】 导弹拦截 设对方导弹在平地上做斜抛运动向己方袭来(不计空气阻力)， 模拟己方导弹拦截对方导弹的过程。 [解析]如图所示，设对方导弹的初速度为v0，发射角为θ，不计 空气阻力时，对方导弹的轨道的参数方程为
*
小球水平速率与平抛落地速率之比取为 0.1，当反弹系数取为0.9时，小球运动 时间为19T0，水平运动的距离为3.8h。
小球水平速率与平抛 落地速率之比仍取为 0.1，当反弹系数为 0.8时，小球运动时 间为9T0，水平运动 的距离为1.8h。