2010-2011学年度第一学期北京丰台区高三期末数学试卷(文)
第一学期北京市丰台区高三数学文科期末考试卷 人教版
第一学期北京市丰台区高三数学文科期末考试卷 人教版2007．1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a －5|}，且}7,5{,=⊆M C U M U ，则实数a 的 值为（ ）A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或82．如果函数解析式是),,1[,3log )(2+∞∈+=x x x f 且那么)(1x f -的定义域是 （ ）A ．),3[+∞B ．),1[+∞C ．（0，1）D ．R 3．“角θ为第三象限角”是“0tan sin <θθ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设P （x ，y ）是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+023y x y y x 所表示平面区域内任意一点，则目标函数y x z +=2的最大值是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．若a c b a c b a ⊥+===且,,2||,1||，则向量b a 与的夹角是 （ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在空间中有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α//平面β，则平面α内任意一条直线m//平面β③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内一条直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β④若点P 到三角形的三个顶点距离相等，则点P 的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．在△ABC 中，已知a =2b cosC ，那么这个三角形一定是 （ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形8．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则该椭圆的离心率是 （ ）A ．33B ．22 C ．41 D ．21 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区2011-2012学年度高三年级第一学期期末考试(数学文科)
北京丰台区2011—2012学年度高三第一学期期末练习数学试题（文）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A ={x ∣x <4}，B ={x ∣x 2<4}，则（ ）A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A ⊆R B ðD ．B ⊆R A ð2．在复平面内，复数1+ii-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，1x x>，命题q ：x R ∀∈，20x >，则 （ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∨⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题4．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k <0，那么这期间人口数 （ ）1A俯视图侧视图正视图A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13B．23C．1 D．26．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为（）A．650 B．1250C．1352 D．50007．若函数21()log(f x x ax=+-在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是（）A．25(log,1)2--B．(1,)+∞C．25(0,log)2D．25(1,log28．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．过点（-1,3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为．10．已知函数2log ,(0),()2,(0).x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若1()2f a =，则a = ．11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间[8,10)上的频数是 ．12．若向量a ，b满足a = 2b = ，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于__ _．13．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则公比q 等于 ．14．函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()'()2f x f x x x f x x -+=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．满足条件的函数序号） 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2()2cos2xf x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21tan αα-的值．16．（本小题共14分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC ，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ⊥AB 1；（Ⅱ）求证：CN //平面AB 1M ．N MC 1B 1A 1CBA17．（本小题共13分） 为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班． （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线40x -=相切．（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 19．（本小题共14分）已知函数x xbax x f ln 2)(++=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥）．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-（k 为非零常数， *n N ∈且2n ≥），求k 的值；（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m n mnS S +的值与n 无关，求k 的值．参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
北京市海淀区2010-2011高三数学文科期末考试答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；....................................10分当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ，代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京丰台区高三上学期期末数学(文)试题答案
丰台区第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12． （写给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=， 12s i n 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分 ∴9224OA OB -⋅=． ∴18OA OB ⋅=-． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee--=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (2a -,C 1(2a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分∵OC =），AN =（,-1-m)， 代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nn in ni c=-=+++==--∑． …………………….……12分 欲使11nni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012n n n N n -≥∈-<+ ， ∴不存在正整数N ，使n≥N 时，11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。
高三上册文科数学期末试题有答案丰台区
2012年高三上册文科数学期末试题（有答案丰台区）丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，{5，7}，则实数a的值为(A)1(B)3(C)5(D)72．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)(B)(C)4(D)83．“”是“”的(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)(B)(C)(D)5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A)(B)(C)(D)6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.(A)3(B)6(C)7(D)107．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是(A)，1(B)1，(C)，1(D)1，8．已知函数f(x)=,且，则(A)都有f(x)0(B)都有f(x)0(C)使得f(x0)=0(D)使得f(x0)0二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是______．10．不等式组表示的平面区域的面积是___________. 11．设.12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是．13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.17．（本题共13分）如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.(Ⅰ)求证：MN平面BCC1B1;(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求m的值．20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求、的坐标；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题题号12345678答案BACCBDAB二、填空题：9．20；10.；11.3；12．-（写给3分）；13．2；14．(第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.解：（Ⅰ）A=,==，….………………………4分B.……………………………………………….….7分（Ⅱ）∵，∴．….……………………………………………9分∴或，∴实数a的取值范围是{a|或}．….…………………………………13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，，，……………………………………………………2分∵的终边在第一象限，∴．……………………………………3分∵的终边在第二象限，∴． (4)分∴==+=．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，……………………………9分又∵，…………11分∴．∴．……………………………………………………………13分方法（2）∵，………………10分∴=．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.(Ⅰ)求证：MN平面BCC1B1;(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1.解：(Ⅰ)连结BC1∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点，∴∥BC1．4分∵，∴MN∥平面BCC1B1．6分(Ⅱ)∵，平面，∴．9分又∵ABB C，，∴．.12分∵，∴平面A1BC平面A1ABB1．.13分18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.解：（Ⅰ）．…2分令，∵，∴的零点就是的零点，且与符号相同．又∵，∴当时，0,即，当时，0,即，………………………………………6分∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有解得． (11)分所以函数的解析式为．又由（Ⅰ）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）.所以，函数的极大值为．……………….…14分19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求m的值．解：设C1的方程为,C2的方程为（）．…2分∵C1,C2的离心率相同，∴,∴， (3)分∴C2的方程为．当m=时，A,C．………………………………….……5分又∵,∴，解得a=2或a=(舍)，…………………………….………6分∴C1,C2的方程分别为，．…………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m),C(,m)．……………….……………9分∵OC⊥AN，（）．………………………………10分∵=（,m），=（,-1-m)，代入（）并整理得2m2+m-1=0， (12)分∴m=或m=-1(舍负)，∴m=．……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.（Ⅰ）求、的坐标；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B0A1的方程为y=x．由得，，得A1（2，2），．….…….…….…3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，，即．（*）…….………………………5分∵和均在曲线上，∴，∴，代入（*）式得，∴()． (7)分∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为()．…………………………………….……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，.......................................................9分∴，. (10)分∴，，．…………………….……12分欲使，只需，只需，………………………………………………….…………13分，∴不存在正整数N，使n≥N时，成立．…………………….14分。
北京市丰台区2010―2011学年度高三第一学期期末考试语文试题及答案
北京市丰台区2010―2011学年度高三第一学期期末考试语文试题及答案北京市丰台区2010―2011学年度高三第一学期期末考试语文试题及答案注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第Ⅰ卷（非选择题共27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点字的读音全部正确的一项是（） A．度假村貌和神离回溯（sù）一暴（bào）十寒 B．萤光屏励精图治木讷（nà）大巧若拙（zhuō） C．坐右铭流芳百世档（dàng）案翘（qiào）首企盼 D．明信片原物璧还慰藉（jiè）直言不讳（huì） 2．下列句子中，加点的成语使用不恰当的一项是（） A．每次观赏赵本山、范伟在2002年春节晚会上表演的《卖车》，我总是忍俊不禁，心中所有的烦恼、忧愁都付之东流。
B．近几年全国各地火灾事故时有发生，惨痛事实告诫我们必须要曲突徙薪，认真落实防火措施，才能真正杜绝火灾。
C．谈起去年长江大学为救溺水者而牺牲的三名学生，人们伤痛不已，然而更让人痛心的是当时那些作壁上观的群众。
D．成功的领导者往往能深入基层，善于团结一切有生力量，共同努力，而绝不会去做“为渊驱鱼，为丛驱雀”的事情。
3．下列句子中，没有语病的一句是（） A．针对农产品价格步步攀升，政府制定了打击囤积居奇、投放紧缺商品等措施，对抑制价格过快上涨起到了很好的作用。
2011丰台区高三一模数学试题及答案(文).doc
北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项：1．答题前，考生务必将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡上的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须用2B 铅笔以正确的填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它选项。
非选择题区域使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合2,{|560},U U R A x x x C A ==-+≥那么=（ ）A ．(|23)x x x <>或B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x x ≤≥或D ．{|23}x x ≤≤2．“a=2”是“直线2010ax y x y +=++=与直线平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量,a b 的夹角为60,||4,||3,||a b a b ︒==+则= （ ）A ．37BC ．13D 4．记集合22{(,)|4}{(,)|20,0}A x y x y B x y x y y =+≤=+-≤≥和集合表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为 （ ）A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 5．如图所示，O 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是（ ）6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是 （ ） A ．-1 B ．i-1 C ．0 D ．-i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面。
北京市朝阳区2010至2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科综合试题
北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U R =，A =(){}20x x x -<，{}10B x x =->，则A B I = （A ）(2, 1)-（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]-（D ）(1, 2)2．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 304．若0m n <<，则下列结论正确的是（A ）22m n> （B ） 11()()22m n <（C ）22log log m n > （D ）1122log log m n >5．要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位6．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（A ）若//l α，m αβ=I ，则//l m ； （B ）若//l α，//m α，则//l m ； （C ）若l α⊥，//l β，则αβ⊥； （D ）若//l α，m l ⊥，则m α⊥．7．设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A1 （B）12 （C） （D）28．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（A ）有无数条 （B ）有2条（C ）有1条 （D ）不存在第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．已知3cos 5x =，(),2x ππ∈，则tan x = 10．经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ．11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为2的正三角形，俯视图半径为1的圆，则这个 几何体的体积为 .12. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值为 .13．平面向量a 与b 的夹角为60，(2, 0)=a ，||1=b ，则|2|+a b = .ABCD A 1B 1C 1D 1EF正视图 侧视图俯视图14．按下列程序框图运算：若5x =，则运算进行 次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．16．（本小题满分13分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 17．（本小题满分13分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.ABCA 1B 1C 1M N18．（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅- ≤≤，求直线l的斜率的取值范围.19．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（Ⅰ）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？ 20．（本小题满分14分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++ ≥k 的值.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科）参考答案一．选择题：15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为11()2cos 222f x x x =--1sin(2)62x π=--， ………… 4分所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． ……………………9分所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………11分当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分因为1AA AB A =I ， ……………………………………………………… 3分 所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，A 1B 1C 1M因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =，所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 11443223B A AB V V --==⨯⨯⨯=. ………………………… 13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， ……………………………1分所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++. …………………………………………………3分 由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. ………………………5分 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-. …………… 6分故所求的解析式是32()332f x x x x =--+. ………………………………7分 （Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， …………………………………………………8分令23630x x --=，即2210x x --=，解得 11x =21x =. ……………………………………………10分当1x <1x >()0f x '>， …………………………………11分当11x <<()0f x '<， …………………………………………12分故32()332f x x x x =--+在(, 1-∞内是增函数，在(1 1内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. …………………………………………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =- ，(3, 0)MN =- ，(1, )PN x y =--. …………………2分由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x . ………………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤. …………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=. ……………………………………1分因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =. …………………………………3分所以2()(1)f x x =+. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+=222(2)()124k k x ---+-． ………………… 6分 所以当222k -≥或222k --≤时， 即6k ≥或2k -≤时，()g x 是单调函数． …………………………………… 9分 （Ⅲ）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2()1f x ax =+.所以221 0,() 1 0.ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ ………………………………………………10分 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. …………………………………………………………………12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.所以()()0F m F n +>． …………………………………………… 14分 20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)因为12211314b b a ==-，所以21213a a b ==. 所以211(, )33P . ……… 1分 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. …… 3分由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. 所以1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. ………………… 5分（Ⅲ）由(Ⅱ)得1112(1)n n a a =+-. 所以112(1)21nn n a =+-=-. 所以121n a n =-. …………………………………………………………… 7分 所以231221n n n b a n -=-=-. ……………………………………………… 8分依题意12(1)(1)(1n k a a a +++ ≤恒成立.设12()(1)(1)(1n F n a a a =+++ ，所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值. ………………………………… 10分因为(1)()F n F n +==1(1n a ++=1>， 所以()F n （x *∈N ）为增函数. ……………………………………… 12分所以min ()(1)F n F ===.所以k所以max k = ……………………………………… 14分。
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正视图
俯视图
2
1.6
2 1.5
丰台区高三数学第一学期期末试卷（文科）2011.1
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．复数
21i
i
+等于 A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i +
2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为 A ．27
B ．36
C ．54
D ．81
3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是
A ．
3332
225
+π B ．323325+π C ．32
9325
+π D ．128
9325
+
π
4．已知(0)4
π
α∈，，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α
=，那么a ，b ，c 的大小关系是
A ．a > c > b
B ．c > a > b
C ．b > c > a
D ． c > b >a
5．已知等比数列{}n a 的公比为
1
2
，并且a 1+a 3 + a 5 +…+a 99=60，那么a 1+a 2 +a 3+…+a 99 +a 100的值是 A ．30
B ．90
C ．100
D ．120
6．已知命题p ：1x ∃>，2
10x ->，那么p ⌝是
A ．1x ∀>，2
10x -> B ．1x ∀>，2
10x -≤ C ．1x ∃>，2
10x -≤
D ．1x ∃≤，2
10x -≤
7．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图 程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是
A ．0
B ．
12
C ．3
2
D ．9
开始 输入b a ,
？b a ≤
输出
a
b 1
- 输出
b
a 1
+ 结束
是
否
8．已知函数31()()log 5
x
f x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<，则1()f x
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．在△ABC 中，如果5AB =，3AC =，7BC =，那么A ∠= ．
10．已知向量(43)a = ，，(12)b =-
，，那么a 与b 夹角的余弦值为 ．
11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．
12．过点(34)-，
且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ． 13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
，
，， 那么3z x y =+的最小值为 ．
14．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ={,,}a b c ，对于下面给出的四个集合τ：
①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，
，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，
，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，
，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，
，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分 15．（本小题共13分）
已知函数2
()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，求函数)(x f 的取值范围．
直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面B 1CD ；
17．（本小题满分14分）
已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）．
（Ⅰ）若函数()f x 在[23]，
上的最大值与最小值的和为2，求a 的值； （Ⅱ）将函数()f x 图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图
象不经过第二象限，求a 的取值范围．
18．（本小题14分）
已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，
的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若3PQ =，求直线l 的方程；
（Ⅱ）若12
MP MQ =
，求直线l 与圆的交点坐标．
A
A 1
B
C
D
B 1
C 1
已知函数2()(1)x f x e x ax =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．
20．（本小题共13分）
已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()422f x x '=-+，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点
()n n P n S ，（*n ∈N ）均在函数)(x f y =的图象上．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （Ⅱ）存在*
k ∈N ，使得
k n
S S S n <+++ 212
1对任意*n ∈N 恒成立，求出k 的最小值； （Ⅲ）是否存在*
m ∈N ，使得
1
2
m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明
理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。