椭圆组题练习

椭圆练习：+B=，求椭圆的离心率为的距离为，转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的：+）•y+2，的面积为：+）的离心率为x=面的两焦点分别为+y=+）的离心率为﹣：=1（的一个方向向量为的左、右焦点分别为．证明：，使得λ；：=1，﹣+，（，||=||+）的离心率为++．求证：直线：（，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线两点，求天津）设椭圆，离心率为：经过点．过点：，且=德阳三模）已知离心率为的椭圆过点相切的直线为坐标原点，求+且过点（，求的取值范围．C+2015年03月03日1586639004的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．化为标准方程为，求出化为标准方程为，，，=∴，∵当且仅当．2．（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．B=B=，（c=e==3．（2014•黄冈模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．成立，则其充要条件为：点的距离为，∴）知椭圆的方程为，，使在椭圆上，即解得∴，即4．（2015•南充二模）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）经过点P（2，），一个焦点F的坐标是（2，0）．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若k OA•k OB=e2﹣1．①求•的取值范围；②求证：△AOB的面积为定值．，从而有+根据根与系数的关系表示出•∴=1，=1椭圆的方程是：+=1+，=•=，，得：∴==，时，•时，••＜S=5．（2014•惠州模拟）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．）依题意可设椭圆方程为，由题设得（）依题意可设椭圆方程为，）由题设故所求椭圆的方程为∴从而∴解得的取范围是（6．（2015•甘肃一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．，b=求得）设椭圆的方程为，由题意可得：∴．的半径，，7．（2014•广州模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．的值，再由离心率为）根据题意满足，再表示出直线，再由则，且的方程为．．，，．又，∴，8．（2014•上海模拟）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．，由题意可得由向量计算公式可得，，的方程为：）由椭圆可得c=两焦点分别为，由题意可得解得P）∵，的方程分别为，解得，A．．=的方程为，化为的方程为，解得A．B，．9．（2014•安徽模拟）已知椭圆+y2=1，O为坐标原点，椭圆的右准线与x轴的交点是A．（Ⅰ）点P在已知椭圆上，动点Q满足=+，求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于点M，N，求△AMN的面积的最大值．的坐标，利用=，可得坐标之间的关系，即可求动点，与）由椭圆+y，在已知椭圆上，故为动点，与．的距离的面积，当且仅当，即的面积的最大值是．10．（2014•天津一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8．（1）求椭圆的方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若k AC•k BD=﹣．①求的范围；②求四边形ABCD的面积．）由已知可得：椭圆的方程为．的斜率不存在时，，∴，得（∴∵，∴，∴=∴∴=∴因此，综上可得：，则．==2=11．（2015•南充二模）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）经过点P（2，），一个焦点F的坐标是（2，0）．（1）求椭圆T的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若k OA•k OB=e2﹣1，求证：△AOB的面积为定值．，的方程为+=，代入=1，，∴﹣|AB|=．=•=•12．（2015•嘉定区一模）已知点A（0，﹣2），椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，F是椭圆的右焦点，直线AF的一个方向向量为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程．的方程为，得，即的方程为．代入，的距离，所以的面积．，则，，即的方程为13．（2014•福建模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．．，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后，椭圆方程为（：，∴，∴，∴（∴14．（2014•泰州模拟）如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．，使得λ；∴；，，则由韦达定理可得另一根为，，可设=t=t，）∴（，∵，使得λ；）∵=，）d==[15．（2014•保定二模）设椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（﹣1，﹣）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x﹣my﹣t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N（M、N与A均不重合），若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．，得到，﹣所以，得到，可得椭圆方程为，代入点的方程为，，所以所以，的方程是16．（2014•丰台区二模）已知椭圆E：+=1与直线l：y=kx+m交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l经过椭圆E的左焦点，且k=1，求△AOB的面积；（Ⅱ）若OA⊥OB，且直线l与圆O：x2+y2=r2相切，求圆O的半径r的值．++=1﹣S==+，17．（2014•宝鸡二模）已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣，0），F2（，0），点B（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于不同两点M，N，当||=||时，求m的取值范围．（﹣（（，的方程为（c=，∴的方程．，﹣，即＞∴18．（2014•甘肃一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于两个不同的两点A，B，且线段的中点M总在圆x2+y2=1的内部，求实数m的取值范围．：=1）的离心率为，其中左焦点椭圆的离心率为，其中左焦点∴a=2的方程为＜，+m=（﹣））﹣19．（2014•达州二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P，与x轴交于点Q，与椭圆C交于M，N两点，若+=．求证：直线y=kx+m过定点，并求出这个定点坐标．，+=，﹣∴的方程为（﹣，|PN|=，∵=，∴=•∴，∴，20．（2014•西城区一模）已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1=S2．的方程为．由方程组，∴的距离，∴≤=21．（2014•仁寿县模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．，能够导出．再由的方程为得（上．由．再由根据判别式和根与系数的关系求解的坐标，进而可得．．，的方程为．的方程为．，得整理，得，．，所以．，，，﹣）．的取值范围是22．（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．，再由离心率为，可求出消去，再由韦达定理进行求解．求得，利用）根据椭圆方程为．轴的直线被椭圆截得的线段长为∴离心率为，∴=，，a=椭圆的方程为；，，，∴，（（23．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．的长等于的横坐标满足=r，解之得t=（舍负）），可得菱形S=|B0|=的公共点，解之得••••24．（2012•吉安二模）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）∠PMQ能否为直角？证明你的结论；（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值．经过点）解：由题设，得，①=，②的方程为．==125．（2014•江西一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且=．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x相切，求椭圆C的方程．的坐标表示出和根据⊥，•=0=，求得的外接圆圆心和半径，进而根据==∵⊥，∴=0，解得，由于=，，，∴e=．，得到，得到（﹣的外接圆圆心为（a r=|FQ|=ab=故所求椭圆方程为26．（2014•滨州一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OAB面积的最大值．）根据椭圆的右焦点为（，离心率为椭圆的右焦点为（，离心率为∴a=的方程为，经过坐标原点，∴）×经过坐标原点，∴|==2±＜|AB|d面积的最大值为．27．（2012•德阳三模）已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与圆相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A、B，O为坐标原点，求的值．）根据离心率为的椭圆过点x=，此时离心率为的椭圆过点∴的方程为x==∴于圆相切得：，∴=28．（2014•北京模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．+椭圆的离心率等于a=，代入中，+kd=|AB|d=||=||的最大值为29．（2013•曲靖二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（，﹣2）．（1）求椭圆C方程；（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求•的取值范围．，根据椭圆的定义点（，从而求得．）椭圆焦距是∴，所以的方程是；则点，=，所以30．（2015•洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y﹣2=0对称．（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．=1，此时切线长取最小值。