浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质
浙教版九上1.3二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴 增减性 最值
b 2a
,
4ac 4a
b2
直 线x b 2a
当x
b 2a
时
,
y随着x的增大而减小.
当x b 时 , y随着x的增大而增大.
-1
当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大. 直线x=-2 -2
(2)抛物线 y 1 x2 x 2，当自变
-3
4
-4
量X增大时，函数值y将怎样变化？
-5
先增大，后减小.
1 2 3 4 5X
y 1 x2 x 2 4
当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 思考：二次函数的增
对称轴
直线x b
增大而增大；
2a
y达到最大值：
4ac b2 y
顶点坐标 当
4a
时，y随x的
b 2a
,
4ac 4a
b2
增大而减小.
无最小值.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
初中数学 浙教版九年级上册 第1章 二次函数 复习知识归纳
二次函数（注意图像辅助功能）1、二次函数的概念二次函数基本表示形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)，自变量为x,因变量为y 。
称为y 为x 的二次函数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
2、二次函数的三种表达式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0)顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 交点式：12()()y a x x x x =-- 即与x 轴有两个交点（x 1,0）(x 2,0)3、二次函数图像和性质对称轴：2b x a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点：（0，c ）a ——开口方向b ——对称轴与a 左同右异（可以用对称轴2b x a =-来判断） 4、二次函数的增减性在此类题目中通常用图形进行辅助作图（作图无需精美，只需要表达出开口方向，题目中已知的坐标需要经过，例如：对称轴、顶点、与x 轴交点、与y 轴交点或是给出的普通坐标）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小5.图像的平移当做到此类题目时，我们可以使用两种方法首先，我们在图像平移的过程中需要确认，图像的形状是没有改变的，也就是说图像的大小、开口方向及大小都未改变，所以a 是始终没有变动的（一般式中的a ）具体不太清楚可以画出出a 不同，其他相同的二次函数进行比较（例如可以观察y=4x 2与y=x 2之间的差异，实际上a 绝对值越大，开口越小，无需死记硬背，图形辅助记忆）一般图像平移有两种方法第一种：直接用一般式进行计算，因为a 未变，所以此式子有两个未知数，我们至少需要知道两个坐标进行计算，由原式找出两个比较简单的坐标，例如x=1、x=0、x=-1等整数带入得到原坐标，后将坐标也进行相应的平移操作，得到新坐标，带入新的二次函数，求得最终解。
浙教版初中数学九年级上册 1.3 二次函数的性质 -课件
A C
9．(3分)二次函数y＝(x－1)(2－x)的一般式是 y＝－x2＋3x－2 ， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是 －1，3，－2 ．
10．(3分)某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的 营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长 率x之间的函数关系式为 y＝200x2＋600x＋600 ．
1.3 二次函数的性质
B C
3．(4分)如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称 轴是直线x＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ( B)
A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 4．(4分)在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大 而增大，则x的取值范围是 ( A ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
D
①③④
14．(8分)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x ＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若 有，请求出最大值．
解：∵当开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最 大值，∴k－1＜0，解得k＜1.∴当k＝－1时函数y＝(k－ 1)x2－4x＋5－k有最大值，∴函数y＝－2x2－4x＋6＝－2(x ＋1)2＋8，故最大值为8
解：(1)y＝(x－1)2－4；开口向上；顶点坐标为(1，－4)；对 称轴为直线x＝1 (2)图略 (3)当x≥1时，y随x的增大而增大； 当x≤1时，y随x的增大而减小 (4)函数y有最小值，最小值 是－4 (5)当x＞3或x＜－1时，y＞0；当x＝3或x＝－1时y ＝0；当－1＜x＜3时，y＜0
10．(8分)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的 大小． 解：(1)a＝－1 (2)y1＜y2
浙教版九年级数学上册知识点汇总汇编
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
浙教版-数学-九年级上册-《二次函数的性质》知识总结
1.3 二次函数的性质◆目标指引1．利用二次函数的图象理解二次函数的性质．2．体会二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系．3．经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象特点与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系．◆要点讲解1．二次函数的性质可通过它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、•函数值y随自变量x的变化情况以及最值等方面研究．2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．•当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；当b2－4ac=0时，抛物线与x•轴只有一个交点；•当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点．3．抛物线y=ax2+bx+c与其a，b，c及判别式b2－4ac的符号有密切的联系，它们之间的相互制约关系如下表：◆学法指导1．任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a（x+m）2+k，•抛物线的顶点坐标是（－m，k），当m=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线y=a （x+m ）2的顶点在x 轴上；当m=0且k=0时，抛物线y=ax 2的顶点在原点上．2．当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2时，其解析式可写成两根的形式：y=a （x －x 1）（x －x 2），抛物线与x 轴的两个交点间的距离为│x 2－x 1│=222212121224()()4()4b c b ac x x x x x x a a a --=+-=--==24||b ac a -，即│x 2－x 1│=24||b ac a -．这就是抛物线与x 轴两个交点之间的距离公式．其次，抛物线的对称轴为直线x=122x x +． ◆例题分析【例1】二次函数y=x 2+bx+8的图象的顶点在x 轴的负半轴上，那么b 等于多少？【分析】由抛物线的顶点在x 轴上，可知b 2－4ac=0，又由顶点在x 轴的负半轴上，可知抛物线的对称轴在y 轴的左侧，即－2b a<0． 【解】∵顶点在x 轴负半轴 ∴20042,b ac x b a ⎧-=⎪⎨=-<⎪⎩解得42,0b b ⎧=±⎪⎨>⎪⎩ ∴b=42．【注意】（1）抛物线顶点在x 轴上，表明一元二次方程x 2+bx+8=0•有两个相等的实数根，即b 2－4ac=0．（2）观察图象主要要把握本质特征：开口方向由a 决定；对称轴位置由－2b a决定等性质．【例2】已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c<0；•②a －b+c>0；③abc>0；④b=2a ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】二次函数的图象在直角坐标系里位置就决定了解析式y=ax 2+bx+c•中a ，b ，c 的正负．本题由图象即可确定③abc>0，④b=2a 是正确的；把x=1或x=－1代入y=ax 2+bx+c 可确定①a+b+c<0，②a －b+c>0都正确．【解】∵二次函数的图象开口向下∴a<0又∵对称轴是直线x=－2b a=－1 ∴b=2a<0∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴∴c>0∴abc>0正确，b=2a 正确又当x=1时，y=ax 2+bx+c=a+b+c<0；当x=－1时，y=ax 2+bx+c=a －b+c>0故a+b+c<0，a －b+c>0均正确．故选A ．【注意】本例体现了数形结合思想的应用，数形结合思想是数学的一种重要思想，本例借助函数的图象研究函数的性质是一种很重要的方法，也是我们需要掌握的数学基本技能之一．【例3】如图，抛物线y=a （x －m ）2+n 的顶点为M （3，0），它与y 轴交于点A （0，3），若直线L ：y=3ax+b 过M 点与抛物线交于B 点，与y 轴于交Q 点，求这个二次函数、一次函数的解析式．【分析】由顶点M （3，0）可以确定m=3，n=0．结合A 点的坐标（0，3），可以确定a=13，从而得到二次函数的解析式y=13（x －3）2，把a=13和点M （3，0）代入y=3ax+b ，可得到一次函数的解析式y=x －3．【解】∵抛物线的顶点为M （3，0）∴m=3，n=0∴y=a （x －3）2又∵抛物线与y 轴交于点A （0，3）∴3=a （0－3）2，∴a=13∴二次函数的解析式为y=13（x －3）2 ∵a=13且直线L 过点M （3，0） 即0=3×13×3+b ∴b=－3，故一次函数的解析式为y=x －3．。
浙教版九年级上数学同步训练(5) 第一章二次函数1.3二次函数的性质(Word版含答案)
本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 41.3 二次函数的性质1.抛物线 y=x 2+2x+3 的对称轴是（ B ）A.直线 x=1B.直线 x=-1C.直线 x=-2D.直线 x=22.二次函数 y=x 2-2x-1 图象的顶点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知二次函数 y=a （x-1）2+3，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ D ）A.a ≥0 B .a≤0 C.a ＞0 D.a ＜04.若二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，则实数 m 的值为（ A ）A ．2B ．3C ．±2D ．±1 【解析】∵y=-x 2+2x+m 2+1=-（x-1）2+m 2+2，二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，∴m 2+2=4，解得 m=±2.故选 A.5.已知二次函数 y=-x 2+2x+3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（ B ）A. y ≥3B. y ≤3C. y ＞3D. y ＜3【解析】当 x=2 时，y=-4+4+3=3.∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而减小.∴当 x ≥2 时，y 的取值范围是 y≤3.故选 B.6.已知抛物线 y=x 2+bx+3 的对称轴为直线 x=1，则实数 b 的值为 -2 .7.抛物线 y=2（x-3）（x+2）的顶点坐标是（12，25-2） ．8.已知函数 y=x 2+2x+1，当 y=0 时，x= -1 ；当 1＜x ＜2 时，y 随 x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）.9.已知二次函数 y=-2x 2+8x-6.（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围.【解析】（1）∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线 x=2.（2）图象如图所示： 函数值不小于 0 时，1≤x ≤3.10.我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线 C 1：y=2x 2-4x+3.（1）下列抛物线中，与抛抛物 C 1 是同位抛物线的是 B .A. y=2x 2-4x+4B. y=3x 2-6x+4C. y=-2x 2-4x+3D. y=2x 2（2）若抛物线 C 2：y=ax 2-2ax+c （a≠0）与 C 是同位抛物线，则 a 与 c 需满足什么关系？【解析】（1）将抛物线 C 1 配方，得y=2x 2-4x+3=2（x 2-2x+1-1）+3=2（x-1）2+1，∴抛物线 C 1 的顶点为（1，1）.故选 B.（2）将抛物线C2 配方，得y=ax2-2ax+c=a（x2-2x+1-1）+c=a（x-1）2-a+c，∴抛物线C2 的顶点为（1，-a+c）.∵抛物线C 2：y=ax2-2ax+c（a≠0）与C 是同位抛物线，∴-a+c=1，即c-a=1.∴a与c 需满足的函数关系为c-a=1.11.已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x 与函数y 的对应值如下表所示：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法中，正确的是（ B ）A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴是直线x=-5 2C.二次函数的最小值是-2D.当x＞-3 时，y 随x 的增大而增大12.若二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，则关于x 的方程x2+mx=7 的解为（ D ）A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=-7D.x1=-1，x2=7【解析】∵二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，∴-=3，解得m=-6.∴关于x 的方程x2+mx=7 可化为x2-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x =-1，x =7.故选D.1 213.已知二次函数y=x2+（m-1）x+1，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ D ）A. m=-1B. m=3C. m≤-1D. m≥-1【解析】抛物线的对称轴为直线x=-1 2 m-∵当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，∴-12m-≤1，解得m≥-1.故选D.14.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上的两点，那么该抛物线的顶点坐标是（1，4）. 【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上两点，∴代入得3423cb c=⎧⎨-++=⎩解得23bc=⎧⎨=⎩∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点坐标为（1，4）.15.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= 016.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（2，0），B（0，2），点P 是抛物线上一动点，连结BP，OP.（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）若△BOP是以BO 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标.【解析】（1）将点 A （2，0），B （0，2）代入 y=-x 2+bx+c ，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴这条抛物线的函数表达式为 y=-x 2+x+2.（2）∵△BOP 是以 BO 为底边的等腰三角形，且 B （0，2），∴点 P 的纵坐标为 1.当 y=1 时，-x 2+x+2=1， 解得 x 1=5+12，x 2=5+12-. ∴点 P 5+1，15+1- 1.） 17.已知抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为直线 x= -1 ，且经过点（-4，5）.（1）求抛物线的函数表达式.（2）抛物线 y 存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（3）当-2＜x ＜3 时，求 y 的取值范围.【解析】（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，∴x =21b -⨯=-1，解得 b=2. ∵抛物线 y=x 2+2x+c 经过点（-4，5）， ∴5=（-4）2+2×（-4）+c ，解得 c=-3.∴抛物线的函数表达式为 y=x 2+2x-3.（2）∵a=1＞0,∴抛物线 y=x 2+2x-3 有最小值， 最小值为 y=（-1）2+2×（-1）-3=-4.（3）∵y=x 2+2x-3，当 x=-2 时，y=-3；当 x=3 时，y=12.∵对称轴为 x=-1，最小值为 y=-4，∴当-2＜x ＜3 时，-4≤y ＜12.18.已知关于 x 的函数 y=kx 2+（2k-1）x-2（k 为常数）.（1）试说明：不论 k 取何值，此函数图象一定经过（-2，0）.（2）当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.（3）该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将 x=-2 代入，得 y=k ·（-2）2+（2k-1）·（-2）-2=0，∴不论 k 取何值，此函数图象一定经过点（-2，0）.（2）①若 k=0，此函数为一次函数 y=-x-2，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k=0 符合题意.②若 k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（-2，0）,（0，-2），∴要使当x＞0 时，y 随x 的增大而减小须满足k＜0 且x=-212kk-120122k-+=-∴k＜0. 综上所述，k 的取值范围是k≤0.（3）若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值.若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为-3，则28(21)34k kk-----，且k＞0，解得k=232±符合题意.∴当23±时，函数存在最小值-3.。
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1．3 二次函数的性质1．对于二次函数y ＝(x ＋2)2－3的最大(小)值，叙述正确的是(D)A ．当x ＝2时，有最大值－3B ．当x ＝－2时，有最大值－3C ．当x ＝2时，有最小值－3D ．当x ＝－2时，有最小值－32．若抛物线y ＝x 2－x ＋2c 与x 轴无公共点，则c 的取值范围是(B)A ．c ＜18B ．c ＞18C ．c ≤18D ．c 为任何实数 3． 已知抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ，k 是常数，且a >0)上三点P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)，则(A)A ． y 1>y 2>y 3B ． y 3>y 2>y 1C ． y 3>y 1>y 2D ． y 2>y 1>y 34． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x ＝2．5．已知二次函数y ＝x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－1的最小值为0，则k 的值为－54． 6．抛物线y ＝x 2＋4x －5的顶点是__(－2，－9)__，对称轴是__直线x ＝－2__．当x __≤－2__时，y 随x 的增大而减小．7． 抛物线y ＝x 2－5x ＋4与x 轴的交点坐标为(1，0)，(4，0)，与y 轴的交点坐标为(0，4)．8．根据下列条件，求二次函数的表达式．(1)图象过点(－1，0)，(5，0)，(2，1)；(2)对称轴为直线x ＝1，过点(3，0)，(0，3)；(3)顶点为(－2，－4)，过点(5，2)．【解】 (1)设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．把点(2，1)的坐标代入y ＝a (x ＋1)(x －5)，得1＝a (2＋1)(2－5)，解得a ＝－19． ∴此二次函数的表达式为y ＝－19(x ＋1)(x －5)． (2)设二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋k ．把点(3，0)，(0，3)的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k ，得⎩⎪⎨⎪⎧a （3－1）2＋k ＝0，a （0－1）2＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝4. ∴此二次函数的表达式为y ＝－(x －1)2＋4．(3)设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋2)2－4．把点(5，2)的坐标代入y ＝a (x ＋2)2－4，得a (5＋2)2－4＝2，解得a ＝649． ∴此二次函数的表达式为y ＝649(x ＋2)2－4．9．抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 与y 轴交于点(0，3)．(1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；(3)当x 取何值时，抛物线在x 轴的上方？(4)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(第9题解)【解】 (1)由题意，把点(0，3)的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ，得m ＝3．∴y ＝－x 2＋2x ＋3．图象如解图所示．(2)令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(3)当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方．(4)当x ≥1时，y 随x 的增大而减小．10． 已知抛物线与x 轴的交点坐标是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．求：(1)该抛物线的函数表达式；(2)该抛物线的顶点坐标．【解】 (1)设y ＝a (x ＋2)(x －1)，把点(2，8)的坐标代入y ＝a (x ＋2)(x －1)，得8＝a (2＋2)(2－1)，解得a ＝2．∴y ＝2(x ＋2)(x －1)．(2)在顶点处，x ＝－2＋12＝－12， y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－92， ∴顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－92．11．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【解】 ∵对称轴为直线x ＝－42＝－2，a ＝1>0， ∴离对称轴越近y 的值越小．∵－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝－2＋134＝54， －54－(－2)＝－54＋2＝34， 14－(－2)＝14＋2＝94， ∴y 3>y 1>y 2．12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－32x ＋3与x 轴、y 轴的交点，并且经过点(1，1)．求这个二次函数的表达式，并把表达式化成y ＝a (x －m )2＋k 的形式．【解】 ∵y ＝－32x ＋3， ∴其与x 轴的交点为(2，0)，与y 轴的交点为(0，3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，c ＝3. ∴y ＝12x 2－52x ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－18． 13．已知抛物线y ＝－12x 2＋()5－m 2x ＋m －3与x 轴有两个交点A ，B ，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上，且O A ＝O B ．(1)求m 的值；(2)求抛物线的函数表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点C 的坐标；(3)问：在抛物线上是否存在一点M ，使△M AC≌△O AC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)由已知，得⎩⎨⎧5－m 2＝0，m －3＞0，解得m ＝5．(2)抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2＋2，对称轴是y 轴，顶点坐标为C(0，2)． (3)当y ＝0时，－12x 2＋2＝0， 解得x ＝±2，∴A(2，0)．又∵C(0，2)，∴△O AC 是等腰直角三角形．若△M AC≌△O AC ，则M (2，2)．∵当x ＝2时，y ＝－12×4＋2＝0≠2， ∴不存在点M ，使△M AC≌△O AC ．(第14题)14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结O A ，将线段O A 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段O B ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的函数表达式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B O C 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．【解】 (1)过点B 作B M ⊥x 轴．∵∠A O B ＝120°，∴∠B OM ＝60°．∵A(－2，0)，∴O B ＝A O ＝2，∴OM ＝1，B M ＝3．∴B(1，3)．(2) 设抛物线的函数表达式为y ＝ax (x ＋2)．将点B(1，3)的坐标代入y ＝ax (x ＋2)，得3＝3a ，解得a ＝33． ∴y ＝33x 2＋233x ． (3)如解图①，抛物线的对称轴是直线x ＝－1．∵点O 与点A 关于对称轴对称，∴O C ＝AC ．∴当点C 位于对称轴与AB 的交点时，△B O C 的周长最小．设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ．∵它过A(－2，0)，B(1，3)两点，∴⎩⎨⎧k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝2 33.∴y ＝33x ＋2 33．当x ＝－1时，y ＝33，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33．,①) ,②),(第14题解))(4)如解图②，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ．设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x 2＋2 33x ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ＋2 33． ∴S △P AB ＝S △P AD ＋S △P DB ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ＋2 33－⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2＋2 33x ×3 ＝－32x 2－32x ＋ 3 ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋9 38(－2＜x ＜0)． ∴当x ＝－12时，△P AB 的面积最大，为9 38，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－34．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
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1.3 二次函数的性质
学习目标
1．从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质．
2．了解二次函数与二次方程的相互关系．
3．探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值，并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性．
学习过程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象有哪些性质？
根据函数图象填空：
抛物线y＝－2x2的顶点坐标是_______________，对称轴是____________，
在_________侧，即错误!未找到引用源。
_____错误!未找到引用源。
时，错误!未找
到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而增大；
在_________侧，即错误!未找到引用源。
_____错误!未找到引用源。
时，错误!未找
到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而减小．
当错误!未找到引用源。
______时，函数错误!未找到引用源。
最大值是__________．当错误!未找到引用源。
____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
．
根据函数图象填空：
抛物线y＝2x2的顶点坐标是__________，对称轴是_____________，
在________侧，即错误!未找到引用源。
______错误!未找到引用源。
时，错误!未找
到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而减小；
在_________侧，即错误!未找到引用源。
______错误!未找到引用源。
时，错误!未
找到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而增大．
当错误!未找到引用源。
______时，函数错误!未找到引用源。
最小值是__________．当错误!未找到引用源。
____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
条件图象增减性最大(小)值
【例】已知函数y＝x2－2x－3．
错误!未找到引用源。
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；
错误!未找到引用源。
求图象与坐标轴交点构成的三
角形的面积；
错误!未找到引用源。
根据第错误!未找到引用源。
题
的图象草图，说出错误!未找到引用源。
取哪些值时，
①错误!未找到引用源。
；②错误!未找到引用源。
；③
错误!未找到引用源。
．
x
y
–1
–21234
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
O
【练一练】已知函数y ＝－x 2－3x ＋4．
错误!未找到引用源。
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；
错误!未找到引用源。
求图象与坐标轴交点构成的三
角形的面积；
错误!未找到引用源。
根据第错误!未找到引用源。
题的图象草图，说出错误!未找到引用源。
取哪些值时，
①错误!未找到引用源。
；②错误!未找到引用源。
；③
错误!未找到引用源。
．
【再练一练】请快速画出以下二次函数的草图y ＝x 2－2x ＋1，y ＝x 2－2x ＋2．
归纳
1、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
(1) a ＋b ＋c ＜0；(2) a －b ＋c ＞0；(3) abc ＞0；(4)b ＝2a ． 其中正确的结论的个数是（ ） 错误!未找到引用源。
个 错误!未找到引用源。
个 错误!未找到引用源。
个 错误!未找到引用源。
个
2、二次函数y ＝x 2＋bx ＋8的图象顶点在错误!未找到引用源。
轴的负半轴上，那么错误!未找到引用源。
等于多少？
x y –1–2–3–4–512–1
–2
12
34
567
O x
y
–1
–2
1234
–1
1
2345
O
5．根据下列条件，分别求二次函数的表达式．
(1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)且过点(0，－6)．
(2)已知图象经过(3，0)，(2，－3)，并以直线x＝0为对称轴．
6．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分(如图)，抛物线的对称轴为直线x＝2.5．求：
(1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围．
(2)球在运动中离地面的最大高度．。