微积分全英课件chapter5.3
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数学分析 高等数学 微积分 英语课件 上海交通大学Chapter5a
i0 n
n
i1 n
n
Example
Ex. Determine a region whose area is equal to the given
limit
(1) lim
n
2 (5 2i )10
n n i1
n
n i
(2) lim
tan
n i1 4n 4n
Definition of definite integral
Ex. Use the definition of definite integral to prove that b f (x) c is integrable on [a,b], and find cdx. a
Interpretation of definite integral
b
If f (x) 0, the integral f (x)dx is the area under the a curve y=f(x) from a to b
Idea: first, divide the time interval [a,b] into n subintervals;
then, approximate the distance di in each subinterval [ti-1,ti]
by di¼(ti-ti-1)v(xi) since v(t) does not vary toonmuch and
lim
n
i1
Si
always exists and has same value.
The distance problem
Problem: find the distance traveled by an object during the time period [a,b], given the velocity function v=v(t).
微积分课件完整版
微积分课件完整版微积分课件完整版微积分课件完整版微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
词目释义从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。
（1）运动中速度与距离的互求问题求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分英文版课件
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 . 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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定理 . 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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微积分ppt讲课文档
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当 它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
第四页，共66页。
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
③ 对应法则f , 使对 xX,有唯一确定的
yf(x)与之对应. (2) 对 xX,元素 x 的像y是唯一的; 而对 yRf ,元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即Rf Y, 不一定 Rf Y.
第二十七页，共66页。
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某
第八页，共66页。
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的
一个法则f , 使得对 xX,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X 到 Y 的映
射 (或算子), 记作
f : XY,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f (x), 即
yf(x), x称为y的 原像.
第二十五页，共66页。
第四页，共66页。
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
③ 对应法则f , 使对 xX,有唯一确定的
yf(x)与之对应. (2) 对 xX,元素 x 的像y是唯一的; 而对 yRf ,元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即Rf Y, 不一定 Rf Y.
第二十七页，共66页。
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某
第八页，共66页。
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的
一个法则f , 使得对 xX,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X 到 Y 的映
射 (或算子), 记作
f : XY,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f (x), 即
yf(x), x称为y的 原像.
第二十五页，共66页。
微积分基本定理 课件
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
《微积分英文》课件 (2)
Methods for finding limits using algebra
Types of Limits
One-sided limits
Limits approached
from one direction
Limits at infinity
Behavior of functions at
infinity
● 02
第2章 Limits and Continuity
01 Definition of a limit
Explanation of what a limit is
02 Properties of limits
Key characteristics of limits
03 Calculating limits algebraically
Graphing functions by analyzing their derivatives and key points
Higher Order Derivatives
Second derivative
Rate of change of the rate of
change
nth derivative
● 03
第3章 Differentiation
Derivatives and Rates of
Change
A derivative is defined as the rate of change of a function at a given point. Notation for derivatives includes symbols such as f'(x) or dy/dx. Derivatives can be interpreted as rates of change in various realworld applications.
Types of Limits
One-sided limits
Limits approached
from one direction
Limits at infinity
Behavior of functions at
infinity
● 02
第2章 Limits and Continuity
01 Definition of a limit
Explanation of what a limit is
02 Properties of limits
Key characteristics of limits
03 Calculating limits algebraically
Graphing functions by analyzing their derivatives and key points
Higher Order Derivatives
Second derivative
Rate of change of the rate of
change
nth derivative
● 03
第3章 Differentiation
Derivatives and Rates of
Change
A derivative is defined as the rate of change of a function at a given point. Notation for derivatives includes symbols such as f'(x) or dy/dx. Derivatives can be interpreted as rates of change in various realworld applications.
《微积分英文版》课件
Properties: Continuity, differentiation, integrity, etc
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero