22.1.4二次函数的图像和性质(4)
(用)22.1.4二次函数的图像和性质
的图象和性质
1 2 2 如何将 y x 6 x 21 转化成 y = a （ x - h） + k 的形 2 式？ 1 2 y x 6 x 21 2 1 2 = （x - 12x +42） 2 1 2 = （x - 12x +36 - 36+42） 2 1 2 +3 = （ x - 6） 2
开口向下 对称轴是x=1 顶点是（1，-2）
对称轴是x=3 顶点是（3，7）
开口向下 对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识 1 2 来讨论二次函数 y x 6 x 21 图象和 2 性质？
1、探究二次函数
1 2 y x 6 x 21 2
b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 b 4ac b 顶点坐标是什么？y a x 2a 4a .
2 2
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
b y ax bx c的对称轴是:x 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
如何求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2
提取二次项系数
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 数绝对值一半 a 2 a 2 a a 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质要点链接★二次函数y=ax ²+bx+c 可配方为：224()24b ac b y a x a a-=++，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 . ★求抛物线顶点和对称轴的方法：（1）直接代入顶点公式24(,)24b ac b a a --，对称轴公式2bx a=- （2）将函数y=ax ²+bx+c 配方成y=a （x-h ）²+k 的形式得到顶点坐标和对称轴. ★a 、b 、c 与图象的关系：1.a 正负决定抛物线的 ：a ＞0时， ；a ＜0时， .|a |决定抛物线的开口大小：|a |越大，则 ，|a |越小，则 .2.a 、b 同时决定 ：①当b =0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a 、b 同号时，对称轴在 ；当a 、b 异号时，对称轴在 .3.c 决定抛物线与y 轴 ：①当c ＞0时，抛物线与y 轴交点在 ；②当c ＜0时，抛物线与y 轴交点在 ；③当c =0时，抛物线经过 . 题型一 直接利用c bx ax y ++=2获取图象信息例1 下列对于二次函数x x y -=2的图象描述正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的 【变式训练1】对于二次函数12842--=x x y 下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3） C.当0<x 时，y 随x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1-=x题型二 确定抛物线c bx ax y ++=2的解析式 角度a 利用平移规律确定抛物线的解析式例2 把抛物线322+-=x x y 沿x 轴向右平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为 角度b 利用待定系数法确定抛物线的解析式例3 抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2,4），B （6,4）两点，且顶点在x 轴上，则抛物线的解析式为 .【变式训练2】若函数k h x a y +-=2)(的图象经过原点，最小值为-8且形状与抛物线3222+--=x x y 相同，则此函数的解析式为 ；题型三 根据抛物线c bx ax y ++=2确定a 、b 、c 的关系例4 已知二次函数y=ax ²+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②c a b -<；③b c 32<；④)1)((≠+<+m b am m b a .其中正确的结论是 （只填序号）例4图 变式3图【变式训练3】已知二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的图象如图，现有下列结论：①abc ＞0；②0<++c b a ；③b =2a ；④a+b ＞0.其中正确的结论是 （只填序号）. 题型四 二次函数y=ax ²+bx+c 与一次函数的双图象问题例5 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax ²+bx+c 在同一坐标系中的图象可能是（ ）题型五 二次函数y=ax ²+bx+c 的实际应用例6 某小说中有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的二次函数，有下列说法： ①该植物在0℃时，每天高度增长量最大；②该植物在-6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm 以上；③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长，其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【变式训练4】某学校开展了多场足球比赛，在某场比赛中，一个足球被从地面上向上踢出，它距离地面的高度h （m ）可以用公式t v t h 025+-=表示，其中)(s t 表示足球被踢出后经过的时间，)/(0s m v 是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）A.5m/sB.10m/sC.20m/sD.40m/s题型六 二次函数的动态问题例7 如图，已知关于x 的二次函数y=x ²+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1,0）和点B ，与y 轴交于点C （0,3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求二次函数的解析式.（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标.（3）有一个动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M ，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最大面积.【变式训练5】如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（1,0），C（0，-3）.（1）求此抛物线对应的函数解析式，并确定其顶点.（2）在抛物线上存在一动点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标.中考演练考法一 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质例1.（2018成都）关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（ ） A.图象与y 轴的交点坐标为（0,1） B.图象的对称轴在y 轴的右侧 C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小 D.y 的最小值为-3【变式训练1】（2018攀枝花）抛物线222+-=x x y 的顶点坐标为（ ） A.（1,1） B.（-1,1） C.（1,3） D.（-1,3） 考法二 求二次函数的解析式 例2.（2018宁波）已知抛物线c bx x y ++-=221经过点)23,0(),0,1(. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线c bx x y ++-=221平移，使其顶点恰好落在原点，写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.【变式训练2】（2018乌鲁木齐）把抛物线3422+-=x x y 向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 .【变式训练3】（2018湖州）已知抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 经过点)0,3(),0,1(-，求b a ,的值考法三 抛物线c bx ax y ++=2与一次函数的双图象问题例3.（2017阜新）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数c ax y +=的图象可能是（ ）【变式训练4】（2018德州）函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数且0≠a ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）考法四 二次函数c bx ax y ++=2的图象与c b a ,,的关系例4.（2018日照）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②02<-b a ；③22)(c a b +>；④若点),1(),,3(21y y -都在抛物线上，则有21y y >.其中正确的结论有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个例4图 变式5图【变式训练5】（2017遵义）如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点（-1,0），对称轴为l ，有下列结论：①0>abc ；②0=+-c b a ；③02<+c a ；④0<+b a .其中，所有正确的结论是（ ）A.①③B.②③C.②④D.②③④考法五 二次函数的综合应用例5.（2018宁夏）如图，抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点B （0,3），且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积.【变式训练6】（2018南通）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=（k 为常数）.（1）若抛物线经过点),1(2k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点),2(1y k 和点),2(2y ，且21y y >，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值23-，求k 的值.课后作业1.用配方法将二次函数982--=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式为（ ）A.7)4(2+-=x yB.25)4(2--=x yC.7)4(2++=x yD.25)4(2-+=x y2.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（ ）3.如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=1，且过点（3,0），有下列结论：①0>abc ；②a-b+c ＜0；③3a-c ＞0.其中正确结论的个数有（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.二次函数342++=x x y 的图象是由c bx ax y ++=2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则=a ，=b ，=c . 5.已知抛物线y=ax ²+bx+c 的图象如图，则|a-b+c |+|2a+b |= .6.已知如图，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A （1,0），B （5,0），C （0,5）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C 的直线与抛物线交于点E （4，m ），连接CB ，BE ，并求出△CBE 的面积.人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质7.如图，已知抛物线过点A（4,0），B（-2,0），C（0，-4）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC上段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小时，求点M的坐标.11 / 11。
22.1 二次函数的图象和性质(第4课时)
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题22.1，第5题（2）（3），第7题（1）．
十、课后反思
是x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的
最高点，a越小，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
小组合作
达标测评
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池
象特征和性质．
通过对二次函数 的探究，你能说出二次函数 的图象特征和性质
吗？
归纳：ห้องสมุดไป่ตู้
一般地，当a＞0时，抛物线 的对称轴
是x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的
最低点，a越大，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大．
归纳：
一般地，当a＜0时，抛物线 的对称轴
课题
22.1二次函数的图象和性质（第4课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本课是在学生已经学习了二次函数y = ax 2，y = ax 2 + k的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函
数图象和性质研究的延续．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(4)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（4）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（4）》这一节主要讲述了二次函数的图象和性质。
在前面的学习中，学生已经掌握了二次函数的一般形式、顶点坐标、对称轴等概念。
本节内容是对这些知识的进一步拓展和深化，主要包括二次函数的增减性和最值问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对二次函数的图象和性质的理解不够深入，尤其是对增减性和最值问题的解决方法。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过实例讲解和练习，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数的增减性，掌握判断二次函数单调性的方法。
2.掌握二次函数的最值问题，学会解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的增减性及其判断方法。
2.二次函数最值问题的解决方法。
五. 教学方法1.实例分析：通过具体的例子，让学生理解和掌握二次函数的增减性和最值问题。
2.练习巩固：通过大量的练习题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
3.小组讨论：鼓励学生之间相互讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学视频：准备相关的教学视频，帮助学生更好地理解知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频或PPT，展示二次函数的图象和性质，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解二次函数的增减性，通过具体的例子，让学生理解和掌握判断二次函数单调性的方法。
同时，引导学生思考二次函数的最值问题，为新课的学习奠定基础。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1-������ + ������ = -1, 1 + ������ + ������ = 3,
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条 件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知, 则列二元一次方程组求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解 析式; (2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求 出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式 即可求出梯形COBD的面积. 解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物 线解析式为y=-(x-1)2+4. (2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3, ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0), ∴B(3,0),即OB=3, 1 则S梯形COBD= (1+3)×3=6.
2
������ ������
������ − 4������+c
即 y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成 y=a
������ 2 ������ + 2������ 4������������-������ + 4������
2
(顶点式).
由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式 后,由顶点式 y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶 点的公式得出顶点为
知识点一
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1.表达式：①一般式： （ ）； ）②顶点式： （ ）
2.顶点坐标：①（ ， ） ②（ ， ）
3.意义：①当 时， ， 有最小值为 ； ， 有最大值为
难点；理解二次函数一般形式y＝ax2＋bx＋c的配方过程，发现并总结y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的内在联系。
指导
知识链接
复习旧知识：利用配方法将一般形式化为 的形式即顶点式 ， 顶点坐标为（ ， ），对称轴为
一、：
情三、探索新知：
1．求二次函数y＝x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
解：将函数等号右边配方：y＝x2－6x＋21
2．画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．
解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
列表：
景：
x
…
3
4
56Βιβλιοθήκη 789…
y＝x2－6x＋21
…
…
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
四、理一理知识点：
②当 时， ， 有最小值为 ； ， 有最大值为
六、达标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
我的反思：
九 年 级 数 学 导 学 案
班级：姓名：小组：
课题
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（1）
课型
新授课
课时
1课时
学习
目标
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式一般形式的图象．
学习重点：通过图像和配方描述二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质