平面向量的数量积及运算律同步练习
综合算式专项练习题平面向量的数量积与向量积
综合算式专项练习题平面向量的数量积与向量积综合算式专项练习题：平面向量的数量积与向量积一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A•A。
其计算公式如下：A•A = |A| * |A| * cos(A)其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角。
数量积的几何意义是，向量的数量积等于它们的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。
通过计算数量积，我们可以了解到两个向量之间的夹角大小及其正负关系。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉乘或外积，是两个向量之间的一种运算。
设有两个平面向量A和A，它们的向量积记作A×A。
其计算公式如下：A×A = |A| * |A| * sin(A) * A其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角，A表示单位法向量。
向量积的几何意义是，向量的向量积等于它们的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个垂直于这两个向量所在平面的向量。
向量积的模表示两个向量所在平行四边形的面积。
三、综合算式练习题下面是一些综合算式练习题，旨在帮助你巩固平面向量的数量积与向量积的概念和计算方法。
1. 已知A = 3A + 2A，A= −2A + A，计算A•A和A×A的结果。
2. 已知A = 2A− 4A，A = 5A + 3A，计算A•A和A×A的结果，并判断向量A和A是否垂直。
3. 已知A = AA + AA，A = A− A，若A•A = 6，且A与A的夹角为30°，求A和A的值。
- 以上仅为示例题目，你可以通过类似的题目进行练习，掌握平面向量的数量积与向量积的运算方法及其几何意义。
在解答问题时，记得先求解向量的模或长度，然后计算夹角的余弦或正弦值，并根据公式得出结果。
如果有需要，可以引入平面解析几何的知识来辅助计算。
平面向量的数量积及运算律同步练习
平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题：1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )A.－６B.６C.３D.－３2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( )A ．41B ．43C ．34D ．34-3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ）A ．36B ．12C ．6D ．364．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）A ．23B ．3C ．32D ．215．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ）A ．7B ．10C ．13D ．48．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π10．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθ，且,20,||πθ<<则θ为（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．3π或6π12．在ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（） A. 6π B. 3π C. 65πD. 32π二、填空题13.命题①若b ≠0 ，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ),对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2 ；正确命题的个数为____14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于15.向量,,满足=++，且4||,1||,3||===，则∙+∙+∙＝16．设))34sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝三、计算题 17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o ;(2) a ∥b ;(3)a ⊥b .18.已知()2,1-=OA ，()m OB ,3=，若OA ⊥OB ，若OA ∥OB ，分别求出m 值。
平面向量的数量积与向量积练习题
平面向量的数量积与向量积练习题在学习平面向量的数量积与向量积时，练习题是非常重要的。
通过解决练习题，我们可以更好地理解和掌握相关的概念与计算方法。
下面是一些平面向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
1. 给定平面向量a = (2, -3)和b = (5, 1)，计算a·b和|a × b|。
解法：首先，我们知道a·b的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。
|a × b|的计算公式为|a × b| = |a||b|sinθ。
根据向量a和b的坐标，我们可以计算得到：a·b = 2*5 + (-3)*1 = 10 - 3 = 7|a × b| = √[(2*1 - (-3)*5)^2 + ((-3)*5 - 2*1)^2] = √[11^2 + (-17)^2] = √(121 + 289) = √410 ≈ 20.25所以，a·b = 7，|a × b| ≈ 20.25。
2. 已知平面向量a和b的模长分别为3和6，且a·b = -12，求向量a 与向量-b的夹角。
解法：根据a·b = |a||b|c osθ的计算公式，我们可以得到cosθ = a·b / (|a||b|)。
代入已知条件，可以计算得到cosθ = -12 / (3*6) = -12 / 18 = -2 / 3。
由于向量a和向量-b具有相同的模长，且夹角为θ和π-θ，则向量a 和向量-b的夹角为θ = arccos(-2 / 3) ≈ 2.3 radians。
3. 平面向量a = (1, 2, 3)和b = (-4, 5, 6)，求向量a × b。
解法：向量a × b的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,a1b2 - a2b1)。
高一下数学同步训练：平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移(附答案)
高一数学同步检测十六平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是 A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案：C解析：由条件得a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝a 2＋2＝|a ||b |cosα＝6cosα.又∵|a |＝1，∴cosα＝12. ∴α＝π3. 2．下面几个有关向量数量积的关系式：①0·0＝0；②|a ·b |≤a ·b ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )|a |2＝b a；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2；⑥(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.其中正确的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：|a ·b |＝|a ||b ||cosθ|≥|a ||b |cosθ＝a ·b ；(a ·b )2＝|a |2|b |2cos 2θ≤|a |2|b |2＝a 2·b 2，故②④⑤错，①③⑥正确．3．将函数y ＝log 2(2x)的图象F 按a ＝(2，－1)平移到F ′，则F ′的解析式为A ．y ＝log 2[2(x －2)]－1B ．y ＝log 2[2(x ＋2)]－1C ．y ＝log 2[2(x ＋2)]＋1D ．y ＝log 2[2(x －2)]＋1答案：A得y ′＝log 2[2(x ′－2)]－1.∴F ′的解析式为y ＝log 2[2(x －2)]－1.4．已知单位向量i 与j 的夹角为60°，则2j －i 与i 的关系为A ．相等B ．垂直C ．平行D ．共线 答案：B解析：∵(2j －i )·i ＝2j ·i －i 2＝2|j ||i |cos60°－|i |2＝2×1×1×12－1＝0，∴2j －i 与i 垂直． 5．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为A ．－17 B.17 C ．－16 D.16答案：A解析：向量λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又∵λa ＋b 与a －2b 垂直，∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0.解得λ＝－17，选A. 6．在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC 为直角三角形，则k 的值为A ．－23 B.43C ．－23或113D ．－23、113或3±132答案：D解析：分三种情况：7．已知A(2,1)、B(6,7)，把向量按向量(3,2)平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与垂直的是 A ．(－3，－2) B ．(12，－13) C ．(－4,6) D ．(0，－2)答案：B8．平面向量a 、b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案：B解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.9．设A 、B 、C 、D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线．若(＋－2)·(－)＝0，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案：A解析：可先把条件拼凑成能使用三角形法则的形式再求解．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．10．设a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2答案：D解析：∵a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝ 2.∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2＝1－(a ＋b )·c＝1－|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝1－2cos 〈a ＋b ，c 〉≥1－ 2.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，答案需填在题中横线上)11．若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.答案：12解析：a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos120°＝1＋(－12)＝12. 12．将一次函数y ＝mx ＋n 的图象C 按向量a ＝(2,3)平移后，得到的图象仍然为C ，则m 的值为______．答案：32解析：函数y ＝mx ＋n 的图象C 按a ＝(2,3)平移后所得图象的解析式为y －3＝m(x －2)＋n ，即y ＝mx －2m ＋n ＋3.由题设条件两图象重合，故y ＝mx －2m ＋n ＋3与y ＝mx ＋n 是同一函数．∴－2m ＋n ＋3＝n.∴m ＝32. 13．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cosθ＝________. 答案：解析：令b ＝(x ，y)，由2b －a ＝(－1,1)，∴(2x,2y)－(3,3)＝(2x －3,2y －3)＝(－1,1)．∴x ＝1，y ＝2，即b ＝(1,2)．∴a ·b ＝9.由a ·b ＝|a ||b |cosθ，14．平面向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点，当·取到最小值时，的坐标为__________．答案：(4,2)三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求点D的坐标和向量.答案：解：设D(x0，y0)，16．设a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋t b(t∈R)，求：(1)a·b；(2)u的模的最小值．答案：解：(1)a·b＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝cos23°cos68°＋sin23°sin68°＝cos(23°－68°)＝cos45°＝2 2.(2)∵|u|2＝(a＋t b)2＝|a|2＋t2|b|2＋2t a·b，|a|2＝cos223°＋cos267°＝cos223°＋sin223°＝1，|b|2＝cos268°＋sin268°＝1，∴|u|2＝1＋t2＋2t·22＝(t＋22)2＋12.当t＝－22时，|u|min＝22.17．已知a、b均为非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．答案：解：设a与b的夹角为θ.18．已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，定义f(x)＝·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈(0,2π)，当·<－1时，求x的取值范围．答案：19．已知函数y＝－2x2＋8x－9，其图象按a平移后，得到的抛物线的顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的函数解析式及向量a的坐标．答案：解法一：设a＝(h，k)，平移后的函数解析式为y＝－2x2＋b，由题意可知其过点(2,0)，∴－2×4＋b＝0.∴b＝8.∴平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.设P(x，y)为平移前函数图象上的任意一点，其平移后的对应点为P′(x′，y′)，∴4h＋8＝0.∴h＝－2.又y′＝－2x′2＋k－1过点(2,0)．∴－8＋k－1＝0.∴k＝9.∴a＝(－2,9)，y′＝－2x′2＋8，即平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.。
平面向量的数量积与面积计算练习题
平面向量的数量积与面积计算练习题题1：计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积。
解：向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)。
根据数量积的定义，向量a和向量b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。
所以，向量a和向量b的数量积为：2 × (-1) +3 ×4 = -2 + 12 = 10。
所以，向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积为10。
题2：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6，求向量b。
解：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6。
设向量b=(x,y)，则根据数量积的定义，有：3x + 5y = -6 （1）又因为向量b的模长为4，所以有：x^2 + y^2 = 4^2 （2）解方程组（1）和（2），可以求得向量b的坐标。
将方程（1）中的3x替换为(-6 - 5y)，得到：(-6 - 5y) + 5y = -6化简得：-6 = -6由此可知方程（1）是一个恒等式，即无论向量b的坐标如何，方程（1）永远成立。
所以，向量b的坐标可以是任意值。
因此，向量b有无数个解。
题3：计算以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积。
解：以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积可以通过计算向量a和向量b的数量积的绝对值来求得。
向量a和向量b的数量积已在题1中计算过，结果为10。
平行四边形的面积等于两个邻边的数量积的绝对值。
所以，以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积为|10| = 10。
题4：已知向量a=(-3,4)，向量b=(1,2)，求以向量a和向量b为邻边所构成的平行四边形的面积。
解：已知向量a=(-3,4)和向量b=(1,2)。
先计算向量a和向量b的数量积。
向量a和向量b的数量积为：(-3) × 1 + 4 × 2 = -3 + 8 = 5。
5.4 平面向量的数量积及运算律 课时闯关(含答案解析)
一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6解析：选D.由a·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6.2．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数解析：选A.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b |2－|a |2)x －a·b ＝(|b |2－|a |2)·x .又∵|b |≠|a |，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.3．(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°，|a |＝2sin 150°，|b |＝4cos 15°，则a·b 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3解析：选B.|a |＝2sin 150°＝2×12＝1. a·b ＝1×4cos 15°cos75°＝1×2×2cos 15°sin15°＝1.4．(2011·高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，πp 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选A.由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3. 由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，得2－2cos θ>1，∴cos θ<12，∴π3<θ≤π. ∴p 1，p 4正确．5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1C. 2 D ．2解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1.二、填空题6．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |·cos 60°＝2×12＝1. 答案：17．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a·b ＝－2且|a |＝|b |＝2，∴a·b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12. 而〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3. 答案：π38．(2012·高考上海卷)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是__________． 解析：设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝x (0≤x ≤1)， 则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋xAD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－x )AB →，∴AM →·AN →＝(AB →＋xAD →)·[AD →＋(1－x )AB →]＝xAD →2＋(1－x )AB →2＋(x －x 2＋1)AB →·AD →＝x |AD →|2＋(1－x )|AB →|2＋(－x 2＋x ＋1)×2×1×12＝x ＋4(1－x )－x 2＋x ＋1＝－(x ＋1)2＋6.∵0≤x ≤1，∴－(x ＋1)2＋6∈[2,5]．答案：[2,5]三、解答题9．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，β＝α－π6， 求向量OA →与OB →的夹角．解：设向量OA →与OB →的夹角为θ，∵cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－λsin βcos α＋λsin αcos β|λ| ＝λsin (α－β)|λ|，又∵α－β＝π6，∴当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝60°， 即向量OA →与OB →的夹角为60°.当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝120°，即O A →与O B →的夹角为120°. 10．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时，λ的取值范围．解：若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )>0，且λ≠1(即夹角不是0°)． 即λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0且λ≠1.∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝2×3×22＝3， ∴2λ＋(λ2＋1)×3＋9λ>0，即3λ2＋11λ＋3>0且λ≠1，解得λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1. 11．(探究选做)(2013·重庆调研)在△ABC 中，设B C →·C A →＝C A →·A B →.(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|B A →＋B C →|＝2且B ∈[π3，2π3]，求B A →·B C →的取值范围． 解：(1)证明：因为B C →·C A →＝C A →·A B →，所以C A →·(B C →－A B →)＝0.又A B →＋B C →＋C A →＝0，所以C A →＝－(A B →＋B C →)，所以－(A B →＋B C →)·(B C →－A B →)＝0，所以A B →2－B C →2＝0，所以|A B →|2＝|B C →|2，即|A B →|＝|B C →|，故△ABC 为等腰三角形．(2)因为B ∈[π3，2π3]， 所以cos B ∈[－12，12]， 设|A B →|＝|B C →|＝a ，因为|B A →＋B C →|＝2，所以|B A →＋B C →|2＝4，所以a 2＋a 2＋2a 2 cos B ＝4，所以，a 2＝21＋cos B， 所以B A →·B C →＝|B A →|·|B C →|cos B＝2 cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈[－2，23]．。
平面向量的数量积练习题(含答案)
1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，则BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．如果我是山，就要站成一种尊严，让山花灿烂，山风拂面，让每一处角落都渗透梦语言，让我价值在太阳底下展现；如果我是水，就要流成一种磅礴，让小船远航，鱼儿欢畅，让每一股细流都一往无前，让我价值迎风吟唱。
高中第一册(下)数学平面向量的数量积及运算律 同步练习1
平面向量的数量积及运算律 同步练习1一、选择题1.下面给出的几个有关向量的关系式：①O ·O ＝O ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) ③｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜ ④0·O ＝0其中正确的关系式有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知e 1、e 2是两个单位向量，则下面结果正确的是( )A.｜e 1·e 2｜＝1B.e 1·e 2＝1C.e 1·e 2＝-1D.e 1·e 2≤13.△ABC 中，a ＝10,b ＝16,c ＝30，则BC ·CA 等于( ) A.80B.803C.-80D.-8034.设e 1、e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1-e 2)·(3e 1+2e 2)等于( ) A.-8B.-29C.29D.8 5.若｜a ｜＝4,｜b ｜＝6,a 与b 的夹角为135°，则a ·(-b )等于( ) A.12B.-12C.122D.-1226.已知｜a ｜＝2,｜b ｜＝3，且a ⊥b ，又(2a +3b )⊥(λa -b )，则λ的值为( ) A.49B.-49C.827 D.-827 7.△ABC 中，AB ＝c ,BC ＝a ，且c ·a ＜0，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定8.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝3,a ·b ＝6，则｜a +b ｜＝( ) A.7B.37C.13D.139.已知｜a -b ｜＝32041 ,｜a ｜＝4,｜b ｜＝5，则a ·b 等于( ) A.103B.-103C.102D.1010.已知e 1、e 2是两个单位的向量，则( )A.e 1·e 2＝1B.｜e 1·e 2｜＝1C.e 1＝e 2D.e 12＝e 22二、填空题11.a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝.12.｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为.13.已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝.14.在△ABC 中，｜AB ｜＝｜AC ｜＝2，且AB ·CA ＝-2，则△ABC 的形状 为.15.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝.三、解答题16.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,｜a +b ｜＝21.求：(1)a ·b ;(2)(2a -b )(a +3b ).17.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ),求k.18.a 、b 是非零向量，且(a -b )⊥(a +b ),(a +2b )⊥(2a -b ).求：(3a +4b )与(2a +b )的夹角.参考答案1.A2.D3.D4.C5.C6.C7.D8.B9.A 10.D11.0 12.22 13.2 14.等边三角形 15.16316.(1)-10 (2)-9317.(k a +b )⊥(a -2b )⇒ (k a +b )·(a +2b )＝0⇒k a 2-(2k-1)a ·b -2b 2＝0⇒k ×42-(2k-1)×4×5×cos60°-2×52＝0⇒k ＝-10⇒cos θ＝b a b a b a b a ++++2·43)2)(43(＝aa a 55102＝552∴θ＝arccos 552。
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一、选择题：
1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )
A.－６
B.６
C.３
D.－３
2．若AP 3
1=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3
4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ）
A ．36
B ．12
C ．6
D ．36 4．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ） A ．2
3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
6．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16，0
D ．4，0
7．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =
（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4
8．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅
（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件
9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．
6π B ．3π C ．32π D ．65π 10．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．12 11．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,20,||πθ<
<b a 则θ为（ ） A ．4π B ．6π C ．3π D ．3π或6
π 12．在ABC ∆中，5||,3||,4
15,0,,===<∙==∆b a S b a b AC a AB ABC ，则b a ,夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 65π D. 3
2π 二、填空题
13.命题①若b ≠0 ，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ), 对
任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2 ；正确命题的个数为____
14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于
15.向量c b a ,,满足0=++c b a ，且4||,1||,3||===c b a ，则a c c b b a ∙+∙+∙＝
16．设))3
4sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(
),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝ 三、计算题 17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o ;(2) a ∥b ;(3)a
⊥b .
18.已知()2,1-=OA ，()m OB ,3=，若OA ⊥OB ，若OA ∥OB ，分别求出m 值。
19.已知向量|a |=3，|b |=4，且4)2()2(≥-∙+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围。
20.已知0=++c b a 且7||,5||,3||===c b a 。
（1）求a 与b 夹角θ；（2）是否存在实数k ，使b 2－与a b a k +垂直？
21.向量b a b a -+2与互相垂直，向量b a b a +-22与互相垂直，求a 与b 夹角θ。
22.已知|a |=23，|b |=3，a 与b 夹角为︒45，求使向量b a b a ++λλ与的夹角θ为锐角时，λ的取值范围。