§2[1].4.2_抛物线的简单几何性质(1)

(当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立 当 ⊥ 轴时 上述的结论显然成立) 轴时，
（Ⅱ）因为 FA = x1 + p ， = x2 + p ， FB
2 2
1 1 1 1 + = + 所以 p p FA FB x x2 + 1 + 2 2 4 x1 + x2 + 4 p 2 2 （ ） = + = 2 2 x1 + p 2 x2 + p 4 x1 x2 + 2 p x1 + x2 + p （ ）
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 2.4 抛物线的简单几何性质（
一、温故知新
定义： 定义：在平面 内,与一个定点 与一个定点 F和一条定直 和一条定直 线l(l不经过点 不经过点 F)的距离相等 的 的点的轨迹叫 抛物线. 抛物线
图 l y
O
抛物线的定义及标准方程
形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（二）归纳：抛物线的几何性质 归纳：抛物线的
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R ∈ x≤0 y∈R ∈ (0,0) x轴 轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0 ) x = − ） x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( − ,0 ) x = ） 2 x（p>0） 2
F
l
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p p ( ,0) x = − 2 2 p (− ,0) 2 p (0 ) ， 2 p x= 2 p y=− 2 p y= 2
y
F
O
x
y
O
F
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0 − ) ， (p>0) 2
二、探索新知 如何研究抛物线y 如何研究抛物线 2 =2px（p>0）的几何性质 ）的几何性质?
F
x
通径的长度：2P
P越大 开口越开阔 越大,开口越开阔 越大
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 顶点 端点 反映抛物线基本特征的草图。 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： ）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫
做抛物线的焦半径。 做抛物线的焦半径。 焦半径
1 2 代入上式， 由（Ⅰ） x1 x2 = p ，代入上式， 4 1 1 2 化简可得 + = . FA FB p
2
( p > 0)
2) = 2 p × 2 ∴ p = 2 因此所求抛物线标准方程为： 因此所求抛物线标准方程为：2 = 4 x y
当焦点在x(y)轴上 开口方向不定时 设为 2=2mx(m ≠0) 轴上,开口方向不定时 设为y 当焦点在 轴上 开口方向不定时,设为 (x2=2my (m≠0)),可避免讨论 可避免讨论
4、 、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比， 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。 抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y 由定义知， 抛物线 2 = 2px (p>0)的离心率为 的离心率为e=1. 的离心率为
o
p F ( ,0 ) 2
x
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。 物线的几何性质。
解 由 意 知 p= , 题 可 ,
p
y
= ,
焦 F( , ),准 l : x = − .如 点 线
A`
O
A
图 . − ,设 ( x , y ), B( x , y ), A
B`
F B
x
A, B到 线的 离 别 dA, dB. 准 l 距 分 为 由 物 的 义 知 抛 线 定 可 图 . −
| AF |= dA = x + ,| B |= dB = x + . F
D三点共线.
1 p2 + 2，x x = 求证：(Ⅰ)y1y2=-p ；(Ⅱ) FA 求证： 1 2 4 1 2 = ; (Ⅲ)设BD⊥l，D为垂足，则A、O、 为垂足， FB p
设出直线AB的方程 的方程， （ Ⅰ ） 设出直线 的方程 ， 与抛物线方程联立，消去x得关于 得关于y的一元 与抛物线方程联立，消去 得关于 的一元 二次方程，结合韦达定理及点A、 在抛物 二次方程，结合韦达定理及点 、B在抛物 线上，可求得. 线上，可求得 （Ⅱ）由焦点弦公式可求得. 由焦点弦公式可求得 要证A、 、 三点共线 三点共线， （Ⅲ）要证 、O、D三点共线，只要 证明点D在直线 上即可 证明点 在直线OA上即可 在直线 上即可.
1、 、
范围
y
由抛物线y 由抛物线 2 =2px（p>0） ） 有 2 px = y ≥ 0
2
所以抛物线的范围为 x ≥ 0
抛物线在y轴的右侧， 的值增大时， 抛物线在 轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 轴的右侧 的值增大时 ︱ 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
焦半径公式： 焦半径公式：|PF|=x0+p/2
(3)已知过抛物线 2=2px(p>0)焦点的直线交 已知过抛物线y 已知过抛物线 焦点的直线交 抛物线于A、 两点 则线段AB称为焦点弦 两点， 称为焦点弦， 抛物线于 、B两点，则线段 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1+x2+p或 ， 或
如果 ， P2 P ，…， 1
，F是抛物线的焦点，若 x1 + x2 + L + x8 = 10 ，则
重点突破： 重点突破 ： 直线与 抛物线的位置关系 例 4、 如图 ： AB是过抛 、 如图： 是过抛 物 线 y2=2px(p>0) 焦 点 F 的弦， 是 的中点 的中点， 的弦 ，M是AB的中点， l是抛物线的准线， MN⊥l ， N 是 垂 足 ， 设 ⊥ A(x1,y1),B(x2,y2).
2p AB = (α为直线 为直线AB的倾斜角 ， y1y2=-p2 ， 的倾斜角)， 为直线 的倾斜角 2 sin α 2 x1x2= p ， 4
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 已知抛物线关于x轴对称， − ），求它的标准方程. 原点，并且经过点M ），求它的标准方程 求它的标准方程. 原点，并且经过点M（２， 2 2 因为抛物线关于x轴对称， 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 并且经过点M 点，并且经过点M（２， 2 2 ）， − 所以设方程为： y 2 = 2 px 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 又因为点M在抛物线上： 所以： 所以：−2 (
x
3、 、
顶点
y
定义： 定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。 物线的顶点。
∴
o
y2
= 2px (p>0)中， 中
p F ( ,0 ) 2
x
令y=0,则x=0. 则 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）. 抛物线 的顶点（ ， ） 这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同 注:这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同。 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同。
2
A` A
解这题,你有什么方法呢? 解这题,你有什么方法呢?
O
B`
F B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般) 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 法 三: 设而不求 ,数形结合, 活用定义 ,运用韦达定理, 计 算弦长. 算弦长.
例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 ：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分， 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为 ， 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。 ，求抛物线的标准方程和焦点位置。 解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 角坐标系 使反射镜 的顶点与原点重合, 的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 轴垂直于灯口直径. 轴垂直于灯口直径 由条件可得A 由条件可得 (40,30), 302=2p·40
y 2 = 2 px ( p > 0) 2、已知点 （-2，3）与抛物线 、已知点A（ ， ）
的焦点的距离是5， 的焦点的距离是 ，则P=
4
。
例3、斜率为 的直线 l 经过抛物线 y = 4 x 的 、斜率为1的直线 焦点F，且与抛物线相交于A， 两点 y 两点， 焦点 ，且与抛物线相交于 ，B两点，求线 的长。 段AB的长。 的长
y
O
1
F
l
x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y = − ） 2 2 x∈R x （p>0） ∈ y轴 轴 x2 y≤0 x∈R ∈
y
O F
= -2py F (0,− p ) y = p x（p>0） 2 2 ）
l
特点： 特点：
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内 y2=2x 限延伸,但它没有渐近线 但它没有渐近线; 限延伸 但它没有渐近线 y2=xy 1 y2= x 2.抛物线只有一条对称轴 没有 抛物线只有一条对称轴,没有 抛物线只有一条对称轴