专题三 数列 第1课时 等差等比数列

永州市2018年高考数学二轮复习课时讲义等差数列、等比数列编写：张明明（永州四中） 审定：蒋 健（道县一中）1．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8C [设{a n }的公差为d ，则 由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.]2．(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3D ．8 A [由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A.]3．(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏B [设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.]4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84B [设数列{a n }的公比为q . ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21， ∴3＋3q 2＋3q 4＝21，∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.]5．(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．64 [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8. 故a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.]6．(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ. [解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.【典题1】 (考查等比数列的基本量运算)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [解析] ∵S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21， ∴a m ＝S m －S m －1＝－16， a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32. ∴q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1[1－(－2)m ]1＋2＝－11，a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32， ∴a 1＝－1，m ＝5. [答案] C【典题2】 (考查等差(比)数列的通项与求和)(2016·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.[解] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ， 得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1. 【典题3】 (考查等比数列的性质)(2017·福州五校二模联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．23B ．4C ．±2 2D ．±4[解析] ∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.[答案] A【典题4】 (考查等差数列的性质)(2017·湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 033[解析] 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 106·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C. [答案] C【典题5】 (考查数列的单调性与最值)(2017·洛阳一模)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712 C.14D ．56[解析] 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .当n 为奇数时，S n ＝1＋12n随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n＝1－12n ＜1，S n －1S n随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n＜0.因此S n －1S n的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C. [答案] C1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933升A [自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.]2．已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3， 从而等比数列{c n }的公比为3，因此c n ＝1×3n －1＝3n －1. 另一方面，c n ＝ab n ＝2b n －1， 所以2b n －1＝3n －1， 因此b n ＝3n －1＋12. 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋31＋…＋3n －1)＋n 2＝3n ＋2n －14.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，S 3a 3，…，S 15a15中最大的项为( ) A.S 6a 6B ．S 7a 7C.S 8a 8 D ．S 9a 9C [由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15×2a 82＝15a 8>0，S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16×a 8＋a 92<0，可得a 8>0，a 9<0，d <0，故S n 最大为S 8.又d <0，所以{a n }单调递减，因为前8项中S n 递增，所以S n 最大且a n 取最小正值时S n a n有最大值，即S 8a 8最大，故选C.]4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2,2S n ＝(n ＋1)2a n －n 2a n ＋1，数列{b n }满足b 1＝1，b n b n ＋1＝λ·2a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正实数λ，使得{b n }为等比数列？并说明理由． [解] (1)由2S n ＝(n ＋1)2a n －n 2a n ＋1， 得到2S n －1＝n 2a n －1－(n －1)2a n ，所以2a n ＝(n ＋1)2a n －n 2a n ＋1－n 2a n －1＋(n －1)2a n ， 所以2a n ＝a n ＋1＋a n －1，所以数列{a n }为等差数列， 因为2S 1＝(1＋1)2a 1－a 2，所以4＝8－a 2， 所以a 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝4－2＝2， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)存在，因为b n b n ＋1＝λ·2a n ＝λ·4n ，b 1＝1， 所以b 2b 1＝4λ，所以b 2＝4λ，所以b n ＋1b n ＋2＝λ·4n ＋1， 所以b n ＋1b n ＋2b n b n ＋1＝4，所以b n ＋2＝4b n ，所以b 3＝4b 1＝4， 若{b n }为等比数列，则(b 2)2＝b 3·b 1，所以16λ2＝4×1，所以λ＝12.专题课后集训： 一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，S 6＝3，则S 10＝( )A ．110 B ．0 C ．－10D ．－15D [由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝66a 1＋15d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝－1，所以S 10＝10a 1＋45d ＝－15，故选D.]2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．2D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]3．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3B [{a n }为等差数列，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等差数列，所以2(4－S 2)＝S 2＋(12－4)⇒S 2＝0，故选B.4．(2017·广州毕业班综合测试)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B ．5＋12 C.3－52D ．3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12，故选A.]5．(2017·福州毕业班综合测试)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11C [因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6，又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.]6．(2017·福建八校最后一模)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图3-1是杨辉三角数阵，记a n 为图中第n 行各个数之和，则a 5＋a 11的值为( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…… 图3-1A ．528B ．1 020C ．1 038D ．1 040D [a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4＝22，a 4＝8＝23，a 5＝16＝24，……，所以a n ＝2n －1，a 5＋a 11＝24＋210＝1 040，故选D.]7．(2017·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n －1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n2D ．3n 2＋n 2A [由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n－3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1，故选A.]8．(2017·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0D ．－50B [因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.] 二、填空题9．(2017·山西5月模拟)已知在公差不为零的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 5＝3(a 1＋a 4)，则S 9a 6＝________.274 [设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的通项公式可知，a 5＝3(a 1＋a 4)⇒a 1＋4d ＝3(a 1＋a 1＋3d )，化简得a 1＝－d ，∴S 9a 6＝9a 1＋9×82d a 1＋5d ＝27d 4d ＝274.]10．(2017·开封模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 7＝S 11，且a 1＞0，则S n 最大时n 的值是________．9 [法一：(函数法求最值)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 7＝S 11可得7a 1＋7×62d ＝11a 1＋11×102d ，即2a 1＋17d ＝0，得到d ＝－217a 1，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－217a 1＝－a 117(n －9)2＋8117a 1，由a 1＞0可知－a 117＜0.故当n ＝9时，S n 最大．法二：(邻项变号法求最值)根据S 7＝S 11可得a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝0.由等差数列的性质可得a 9＋a 10＝0，由a 1＞0可知a 9＞0，a 10＜0.当所有正数项相加时，S n 取得最大值，所以前9项和S 9最大．]11．(2017·河南新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.3n －1＋12 [∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.]12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3(2n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝5n －2.数列{a n }和{b n }的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n }．若数列{c n }的前n 项恰为数列{a n }的第k n 项，则数列{k n }的前32项的和是________． 2 016 [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3(2n －1)－3(2n －1－1)＝3×2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝3×2n －1.令a t ＝b s ，∴3×2t －1＝5s －2，则s ＝3×2t －1＋25.t ＝1，s ＝1，符合题意，t ＝2，s ＝85，不合题意，t ＝3，s ＝145，不合题意，t ＝4，s ＝265，不合题意，t ＝5，s ＝10，符合题意，……，∴{k n }是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{k n }的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2 016.]三、解答题13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n (n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2. [证明] (1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)b n ＝a n 4n －a n ＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n －1， 因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1. 所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＜2.。