2017-2018学年陕西省咸阳市秦都区七年级(下)期中数学试卷

2017-2018学年陕西省咸阳市秦都区七年级（下）期中数学试卷（考试时间：100分满分：120分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．（3分）下列各组图形中是全等图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3＝45°，则∠1的度数是（）A．45°B．90°C．135°D．45°或135°3．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则BC长可能是（）A．3 B．8 C．13 D．144．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（﹣3x2）3＝﹣9x6C．x6÷x2＝x3D．5．（3分）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，AD∥BE，∠GBE的平分线BF的反向延长线交AD的反向延长线于M点，若∠BAD＝70°，则∠M的度数为（）A．20°B．35°C．45°D．70°7．（3分）一个大正方形和四个完全相同的小正方形按照如图①、②两种方式摆放，已知每个小正方形的边长为1，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）A．a2﹣4a B．a2﹣2a C．a2+4a D．a2+2a8．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20 ﹣10 0 10 20 30声速/m/s 318 324 330 336 342 348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s9．（3分）如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如图，已知△ABC，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）某商店进了一批货，每件3元，出售时每件加价0.5元，如售出x件应收入货款y元，那么y （元）与x（件）的函数关系式是．12．（3分）若7a＝3，7b＝2，则73a+2b＝．13．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝．14．（3分）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝80°，则∠FAG＝．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．16．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC （不要求写作法，保留作图痕迹）17．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC＝28°，求∠EOF的度数18．（5分）先化简，再求值，（a﹣b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）+2a（1+b），其中a＝12，b＝﹣1．19．（7分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量、因变量是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机的水量是多少升？（3）时间为10分钟时，洗衣机处于哪个过程？20．（7分）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB，交BD于O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G．求证：DG∥CE．21．（7分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．22．（7分）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各内角的度数；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．23．（8分）如图，某小区规划在长（3x+4y）米，宽（2x+3y）米的长方形的场地上，修建1横2纵三条宽为x米的甬道，其余部分为绿地，求：（1）甬道的面积；（2）绿地的面积（结果化简）24．（10分）研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：2 5 7 10 12 13 14 17 20提出概念所用的时间x（分钟）对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55根据以上信息，回答下列问题：（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）在什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强？什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强减弱？25．（12分）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．2017-2018学年陕西省咸阳市秦都区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．（3分）下列各组图形中是全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：根据全等图形的定义可得：只有B选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．（3分）已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3＝45°，则∠1的度数是（）A．45°B．90°C．135°D．45°或135°【分析】根据对顶角的性质以及互余的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∠1＝∠2，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝45°，∴∠1＝45°，故选：A．【点评】本题考查对顶角与互余，解题的关键是正确理解对顶角的性质以及互余的定义，本题属于基础题型．3．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则BC长可能是（）A．3 B．8 C．13 D．14【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，∴3＜BC＜13．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（﹣3x2）3＝﹣9x6C．x6÷x2＝x3D．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及负指数幂的性质和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案．【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，错误；B、（﹣3x2）3＝﹣27x6，错误；C、x6÷x2＝x4，错误；D、，正确；故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及负指数幂的性质和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．5．（3分）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意判断出S随t的变化趋势，然后再结合选项可得答案．【解答】解：小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，根据题意判断出两个变量的变化情况．6．（3分）如图，AD∥BE，∠GBE的平分线BF的反向延长线交AD的反向延长线于M点，若∠BAD＝70°，则∠M的度数为（）A．20°B．35°C．45°D．70°【分析】根据平行线的性质，即可得到∠GBE＝70°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠M的度数．【解答】解：∵∠BAD＝70°，AD∥BE，∴∠GBE＝70°，又∵BF平分∠GBE，∴∠FBE＝35°，∴∠M＝∠FBE＝35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．（3分）一个大正方形和四个完全相同的小正方形按照如图①、②两种方式摆放，已知每个小正方形的边长为1，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）A．a2﹣4a B．a2﹣2a C．a2+4a D．a2+2a【分析】根据小正方形边长为1，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．【解答】解：∵小正方形的边长为1，则大正方形的边长为a﹣2＝2+b，∴阴影部分面积为（a﹣2）2﹣4＝a2﹣4a，故选：A．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20 ﹣10 0 10 20 30声速/m/s 318 324 330 336 342 348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A正确；∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项B正确；∵342×5＝1710（m），∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，∴选项C错误；∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D正确．故选：C．【点评】此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．9．（3分）如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数，【解答】解：∵O是△ABC的重心，∴BD＝CD，又∵△ABD与△ADC的高相等，∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC，同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，故选：C．【点评】本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般．10．（3分）如图，已知△ABC，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据∠1＝∠2得出AC∥DE，再由AC⊥BC可得出DE⊥BC，故∠3+∠2＝90°，∠2+∠EDB＝90°，故①正确；由AC∥DE可知∠A＝∠EDB，∠EDB＝∠3，故可得出②正确；∠1＝∠2可知AD∥DE，故③正确；由DE⊥AC可知∠2与∠3互余，故④错误；根据AC∥DE，可得∠EDB＝∠A，而∠1≠∠A，故⑤错误．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AC∥DE．∵AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠3+∠2＝90°，∠2+∠EDB＝90°，∴∠3＝∠EDB，故①正确；∵AC∥DE，∴∠A＝∠EDB，∵∠EDB＝∠3，∴∠A＝∠3，故②正确；∵∠1＝∠2，∴AC∥DE，故③正确；∵DE⊥AC，∴∠2与∠3互余，故④错误；∵AC∥DE，∴∠EDB＝∠A，而∠1≠∠A，∴∠1≠∠EDB，故⑤错误．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知垂直的定义及平行线的判定定理是解答此题的关键．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）某商店进了一批货，每件3元，出售时每件加价0.5元，如售出x件应收入货款y元，那么y （元）与x（件）的函数关系式是y＝3.5x ．【分析】根据总价＝单价×数量，单价为（3+0.5）元．【解答】解：依题意有：y＝（3+0.5）x＝3.5x．故y与x的函数关系式是：y＝3.5x．故答案为y＝3.5x．【点评】本题主要考查了列函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．12．（3分）若7a＝3，7b＝2，则73a+2b＝108 ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵7a＝3，7b＝2，∴73a+2b＝（7a）3×（7b）2＝33×22＝108．故答案为：108．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．13．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝19 ．【分析】把a+b＝5两边完全平方后，再把ab＝3整体代入解答即可．【解答】解：把知a+b＝5两边平方，可得：a2+2ab+b2＝25，把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，故答案为：19．【点评】此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．14．（3分）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝80°，则∠FAG＝140°．【分析】根据平行线的性质求出∠BAC，求出∠BAF和∠BAG，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥ED，∠ECF＝80°，∴∠BAC＝∠FCE＝80°，∴∠BAF＝180°﹣80°＝100°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝40°，∴∠FAG＝∠BAF+∠BAG＝100°+40°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义，能正确根据平行线的性质求出∠BAC是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法法则分别进行计算，然后合并同类项即可得出答案．【解答】解：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2＝x9•（﹣x7）+5x16﹣x16＝﹣x16+5x16﹣x16＝3x16；【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键，是一道基础题．16．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC （不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM＝∠ABC即可；【解答】解：如图所示，射线CM即为所求：【点评】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．17．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC＝28°，求∠EOF的度数【分析】依据对顶角相等，即可得出∠BOD＝∠AOC＝28°，进而得出∠BOE＝56°，∠AOE＝180°﹣56°＝124°，再根据OF平分∠AOE，即可得到∠EOF＝∠AOE＝62°．【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝28°，又∵∠DOE＝∠BOD，∴∠BOE＝56°，∠AOE＝180°﹣56°＝124°，又∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOE＝62°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解决问题的关键是利用对顶角相等．18．（5分）先化简，再求值，（a﹣b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）+2a（1+b），其中a＝12，b＝﹣1．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当a＝12，b＝﹣1时，原式＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣4b2）+2a+2ab＝5b2+2a＝5+24＝29【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．19．（7分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量、因变量是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机的水量是多少升？（3）时间为10分钟时，洗衣机处于哪个过程？【分析】（1）根据函数图象可判断，这是水量与时间之间的关系；（2）结合函数图象可得进水时间是4分钟，清洗时洗衣机的水量是40升；（3）0﹣4分钟是进水过程，4﹣15分钟是清洗过程，15分钟过后是排水过程．【解答】解：（1）自变量是时间x，因变量是水量y；（2）洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量40升；（3）由于排水速度与进水速度相同，排水量和进水量相同，所以排水时间与进水时间相同，即排水时间为4分钟，所以洗衣机清洗衣服所用的时间：15﹣4﹣4＝7分钟；答：时间为10分钟时，不符合题意．【点评】本题考查了函数的图象，要求结合实际情况理解图象各个点的实际意义．20．（7分）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB，交BD于O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G．求证：DG∥CE．【分析】由“对顶角相等”、“同旁内角互补，两直线平行”判定EC∥BF，则同位角∠ECD＝∠F．所以结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠G＝∠ECB．则易证DG∥CE．【解答】证明：∵∠EOD＝∠BOC，∠EOD+∠OBF＝180°，∴∠BOC+∠OBF＝180°，∴EC∥BF，∴∠ECD＝∠F．又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ECB．又∵∠F＝∠G，∴∠G＝∠ECB．∴DG∥CE．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．21．（7分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．22．（7分）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各内角的度数；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠EBD即可；（2）根据全等三角形的性质得出AC＝BD，求出AB＝CD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝50°，∠F＝40°，∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠F＝40°，∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴AC＝BD，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，∴AB＝CD，∵AD＝16，BC＝10，∴AB＝CD＝（AD﹣BC）＝3．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．（8分）如图，某小区规划在长（3x+4y）米，宽（2x+3y）米的长方形的场地上，修建1横2纵三条宽为x米的甬道，其余部分为绿地，求：（1）甬道的面积；（2）绿地的面积（结果化简）【分析】（1）直接利用长方形面积求法得出甬道的面积；（2））直接利用矩形面积﹣甬道面积进而得出答案．【解答】解：（1）甬道的面积为：2x（2x+3y）+x（3x+4y）﹣2x2＝5x2+10xy；（2）绿地的面积为：（3x+4y）（2x+3y）﹣（5x2+10xy）＝6x2+17xy+12y2﹣5x2﹣10xy＝x2+7xy+12y2．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出甬道面积是解题关键．24．（10分）研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：2 5 7 10 12 13 14 17 20提出概念所用的时间x（分钟）对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55根据以上信息，回答下列问题：（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）在什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强？什么时间范围内，学生的接受能力在逐渐增强减弱？【分析】（1）利用图表中数据得出答案；（2）利用图表中数据得出答案；（3）先根据图表可知：当x＝13时，y的值最大是59.9，在13的左边，y值逐渐增大，反之y值逐渐减小，从而得出答案．【解答】解：（1）当x＝10时，y＝59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59．（2）当x＝13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强．（3）由表中数据可知：当0＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点评】此题主要考查了函数的表示方法以及常量与变量，正确利用表格中数据得出结论是解题关键．25．（12分）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC ＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE ＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC．理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算。