高数课件8求导法则

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注
① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 ）即是和、差的导数等于导数的和、 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 ） 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 ） 减去分子乘以分母的导数， 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方 ② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形 ）
ln[1 + (0 + h)] − ln(1 + 0) = 1, f +′ (0) = lim+ h→ 0 h
∴ f ′( 0 ) = 1 .
1, ′( x ) = 1 ∴f 1 + x , x≤0 x>0 .
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三、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
1 初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 余弦函数、指数函数、对数函数）， ），对于 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则， 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 初等函数的导数， 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 初等函数的导数 导问题系统化，简单化。 导问题系统化，简单化。
这里我们是先展开，再求导， 这里我们是先展开，再求导，若像 y = (1 − x 2 )1000 2 5 求导数，展开就不是办法， 求导数，展开就不是办法，再像 y = 1 − x 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 仔细分析一下， 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。
= f ′(u0 ) ⋅ ϕ′( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 因变量对自变量求导, 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
上可导， 若u = ϕ ( x )在I上可导， y = f ( u)在I1上可导 ∀x ∈ I , u = ϕ ( x ) ∈ I1 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )] dy dy du 上可导， 在I上可导，且有 = ⋅ dx du dx 营口地区成人高等教育 QQ群
= 2(cos2 x − sin 2 x ) = 2 cos 2 x 注意到 y = sin 2 x y = sin u, u = 2 x
y′ = cos u u′ = 2 u x y′ ⋅ u′ = 2 cos u = 2 cos 2 x = y′ u x x
由以上两例可见： 由以上两例可见：由 y = f ( u), u = ϕ ( x ) 复合 而成的函数 y = f [ϕ ( x )] 的导数 y′ 恰好等于 y x ′ 对中间变量 u 的导数 yu 与中间变量 u 对自变量 x 的导数 u′ 的乘积 x
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一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导 则它 ,
们的和、 们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也 , 可导 并且
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
i =1 n n i =1 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
即线性组合的导数等于导数的线性组合 ——说明求导是一线性运算 说明求导是一线性运算 ⑤作为（3）的一种特殊情况， 作为（ ）的一种特殊情况，
1 v′ 若u = 1, 则( )′ = − 2 v v
二、例题分析
例1 解
求 y = x − 2x + sin x 的导数 .
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
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例6 求函数 y = arcsin x 的导数.
u( x + h)v ( x ) − u( x )v ( x + h) = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
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[u( x + h) − u( x )]v ( x ) − u( x )[v ( x + h) − v ( x )] = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
2x ln tan x , e , sin 2 x +1
x2
等函数（复合函数）是否可导，可导的话， 等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数 先看一个例子 例8
y = (1 − x ) ，求y′
2 2
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y = (1 − x 2 )2 = 1 − 2 x 2 + x 4 ⇒ y′ = −4 x + 4 x 3 = −4 x (1 − x 2 )
u( x + h) − u( x ) v ( x + h) − v ( x ) ⋅ v ( x ) − u( x ) ⋅ h h = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x ) u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) = [v ( x )]2
∴ f ( x )在x处可导.
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证(1)、(2)略. (1)、(2)略
u( x ) , (v ( x ) ≠ 0), 证(3) 设 f ( x ) = v( x )
f ( x + h) − f ( x ) f ′( x ) = lim h→ 0 h u( x + h) u( x ) − v ( x + h) v ( x ) = lim h→ 0 h
y = (1 − x 2 )2
是由 y = u 2和 u = 1 − x 2复合而成的
y′ = 2 u u
u′ = −2 x x
′ x yu ⋅ u′ = 2u ⋅ ( −2 x ) = −4 x (1 − x 2 ) = y′ x
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再如 y = sin 2 x y′ = ( 2 sin x cos x )′ = 2[(sin x )′ cos x + sin x (cos x )′]
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证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆u → 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ′( u0 ) ∴ lim = lim [ f +α ] ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u = f ′( u0 ) lim + lim α lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得
(cot x)′ = − csc2 x.
y = sec x 求y′ ′ 1 = − (cos x )′ = sin x ⋅ 1 = sec x ⋅ tan x 解 y′ = cos 2 x cos x cos x cos x
例4
π π 解 ∵ x = sin y在 I y ∈ ( − , )内单调、可导 , 内单调、 2 2
且 (sin y )′ = cos y > 0,
∴ 在 I x ∈ (−1,1)内有 −
1 1 1 1 ′= = (arcsin x ) = . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
y′ = y′ ⋅ u′ x u x
——这就是链式法则 这就是
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定理 如果函数u = ϕ( x)在点 x0可导, 而y = f (u)
在点u0 = ϕ( x0 )可导, 则复合函数 y = f [ϕ( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x= x0
3 2
y ′ = 3x 2 − 4 x + cos x .
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例2 求 y = sin 2x ⋅ ln x 的导数 . 解
∵ y = 2 sin x ⋅ cos x ⋅ ln x
y ′ = 2 cos x ⋅ cos x ⋅ ln x + 2 sin x ⋅ ( − sin x ) ⋅ ln x 1 + 2 sin x ⋅ cos x ⋅ x 1 = 2 cos 2 x ln x + sin 2 x . x
n
′ +⋯+ f1( x) f2( x)⋯ fn( x) = ∑∏ fi′( x) fk ( x);
i =1 k=1 k≠i n n
④
作为（ ） 作为（2）的特殊情况