最新高二数学上学期期末考试试卷含答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。

）
1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}|22B x x =-≤<,则A B ⋂= ( )
A. {}1,0,1-
B. {}1,0-
C. {}|10x x -<<
D. {|10}x x -≤≤
2.已知向量(1,2)a m =-,(,3)b m =-,若a b ⊥,则实数 m 等于( )
A. 2-或3
B. 2或3-
C. 3
D.
35 3.在ABC ∆中,若2a =,b =30A =︒,则B 为( )
A. 60
B. 60或120
C. 30
D. 30或150
4.已知命题11:,23x x p x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；命题2000:,10q x R x x ∃∈--=；则下列命题为真命题的是( )
A. p q ∧
B. p q ∨⌝
C. p q ⌝∧
D. p q ⌝∧⌝
5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值
为( )
A. 10-
B. 6
C. 14
D. 18
6.若4cos 5α=-, α是第二象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
( ) ) A. 72 B. 210
C. 210-
D. 210
7.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是
( )
A ．2cm 3
B ．32m 3
C ．1cm 3
D ．31cm 3
8.抛物线214
y x =的准线方程是( )
A. 1y =-
B. 2y =-
C. 1x =-
D. 2x =-
9.已知,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤-≥-040
1y x y x x ,则目标函数3z x y =+的最小值是( )
A.4
B.6
C.8
D.10
10.已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( )
A.1024
B.511
C.512
D.1023
11.函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是( )
A.6
B.8
C.-6
D.-8
12.过椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )
A.
2 B. C. 12 D.
13
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13.已知0>x ,0>y ,且1=+y x ,求y
x 12+的最小值是.
14.若直线l 经过直线032=+-y x 和023=+-y x 的交点，且垂直于直线12-=x y ，则直线l 的方程为． 15.随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为.
16.某单位共有老、中、青职工560人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17.（10分）已知ABC
∆的三个内角所对的边分别为c b a,,,A是钝角,且=⋅.
32sin
b a B
（1）.求角A；
（2）.若7
∆的面积为10,求22
a=,ABC
b c
+的值.
18.（12分）已知{}n a是等差数列, 24,a a是方程2560
-+=的根
x x
（1）.求{}n a的通项；
（2）.求数列{}n a的前n项和n S.
19.（12分）某市调研学校师生的环境保护意识,决定在本市所有学校中随机抽取600所进行环境综合考评,成绩达到80分以上(含80分)为
达标,600所学校的考评结果频率分布直方图如图所示,其分组区间为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.
（1）.试根据样本估计全市学校环境综合
考评的达标率和中位数；
（2）.若考评成绩在[]90,100内为优秀,
且甲、乙两所学校考评结果均为优秀,从
考评结果为优秀的学校中随机地抽取两
所学校作为经验交流报告,求甲、乙两
所学校至少有一所被选中的概率.
20.（12分）如图,四棱锥P ABCD -中,
侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
90,21=∠=∠==ABC BAD AD BC AB .。

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北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

高二数学上学期期末考试参考答案.doc

高二数学上学期期末考试参考答案一、选择题：1、（D ），2、（B ），3、（B ），4、（C ），5、（B ），6、（A ），7、（B ）， 8、（D ）， 9、（C ）， 10、（A ）， 11、（D ）， 12、（B ）。

二、填空题：13、-10， 14、 8， 15、（x-5）2+(y-3)2=42, 16、1352222=+y x 三、解答题： 17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+0)()())(()()()()222224422224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即18、解：得15512<+-<-x x,432141320450651551552222<<<<⇒⎩⎨⎧<<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+-->+-x x x x x x x x x x x x x 或或所以原不等式的解集为{}4321|<<<<x x x 或19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则 x=x 44),(,2,2020220000=+=+=y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程即1422=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。

20、解：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0），所以直线AB 的方程为y=x-1 (1)将方程（1）代入抛物线方程y 化简为得,4)1(,422x x x =-= 223,223016212-=+==+-x x x x 得将x 222,222:),1(,2121-=+=y y x 得的值代入方程即A ，B 的坐标分别为(3+2222,223(),222,2--+) 所以8)24()24(22=+=AB21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x34800，又设水池总造价为L 元，根据题意，得297600,40,16002976004027202400001600.2720240000)1600(720240000)348003232(12034800150有最小值时即当L x x x xx xx xx L ===⨯⨯+=⨯+≥++=⨯⨯+⨯+⨯= 答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。

A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。

A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。

A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。

A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。

7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。

解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。

8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。

解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。

9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。

解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。

最新高二数学上学期期末考试试卷含答案 (5)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线y2=4x的准线方程为()A. x=2B. x=−2C. x=1D. x=−1【答案】D【解析】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p2=1，∴抛物线的准线方程是x=−1．故选：D．利用抛物线的标准方程，有2p=4，p2=1，可求抛物线的准线方程．本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.属于基础题．2.已知数列{a n}为等差数列，若a4+a8=10，则a6=()A. 5B. 10C. −5D. √10【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，有a4+a8=2a6，若a4+a8=10，则a6=5；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得a4+a8=2a6，代入数据计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项，属于基础题．3.如果a>b>0，那么下列不等式中不正确的是()A. 1a <1bB. 1a>1bC. ab>b2D. a2>ab【答案】B【解析】解：∵a>b>0，∴ab>b2，a2>ab，aab >bab即为1b>1a，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数f(x)=log3x，则其导数f′(x)=()A. ln3x B. 3xC. 1xln3D. 1x【答案】C【解析】解：f′(x)=1xln3．故选：C．根据基本初等函数的求导公式求导即可．考查基本初等函数的求导公式．5.平面内到点F1(6,0)、F2(−6,0)的距离之差等于12的点的集合是()A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【答案】C【解析】解：∵到两定点F1(6,0)、F2(−6,0)的距离之差的绝对值等于12，而|F1F2|=12，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选：C．到两定点F1(6,0)、F2(−6,0)的距离之差的绝对值等于12，而|F1F2|=12，即可得出满足条件的点的轨迹为两条射线．本题考查了双曲线的定义及其注意特殊情况，考查了推理能力，属于基础题．6.函数y=|x|⋅ln|x|x的图象可能是()A. B. C. D.【解析】解：函数y =|x|⋅ln|x|x的定义域为{x|x ≠0}，又f(−x)=|−x|⋅ln|−x|−x=−|x|⋅ln|x|x=−f(x)，∴原函数为奇函数，由此排除A ，C ；由当x 为正数且趋于0时，y =lnx 趋于负无穷，由此排除D ．故选：B ．判断函数为奇函数排除A ，C ；当x 为正数且趋于0时，y =lnx 趋于负无穷排除D.则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，考查函数的奇偶性及其应用，训练了利用排除法求解选择题，是基础题． 7. “n >m ”是“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】B 【解析】解：方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线⇔{m <0n>0，∵n >m 推不出{m <0n>0，{m <0n>0⇒n >m ，∴n >m 是{m <0n>0的必要而不充分条件，故选：B ．首先方程得出x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线的等价条件{m <0n>0，然后根据充分条件和必要条件的定义可作出判断．本题考查了双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知变量x ，y 满足约束条件{y −x ≤4−2≤x ≤2y ≥1，则z =x −2y 的最小值是()A. 0B. 6C. −10D. 12【解析】解：从满足条件的平面区域，如图示：，由{y−x=4x=2，解得A(2,6)，由z=x−2y得：y=12x−z2，结合图象得直线过A(2,6)时，z的值最小，z的最小值是：−10，故选：C．先画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=x−2y转化为y=12x−z2，结合图象求出z的最小值即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．9.若椭圆x236+y216=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A. 36B. 16C. 20D. 24【答案】B【解析】解：∵椭圆的方程：x236+y216=1，则a=6，b=4，c=√a2−b2=2√5．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=80，∴|PF1||PF2|=32．∴△PF1F2的面积=12|PF1||PF2|=16．△PF1F2的面积为16，故选：B．由题意可知：a=6，b=4，c=2√5.利用椭圆的定义及勾股定理即可求得|PF1||PF2|=32.根据三角形的面积公式，即可求得△PF1F2的面积．本题考查椭圆的标准方程及定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．10.两个正实数x、y满足x+2y=1，且2x +1y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(4,+∞)B. (−∞,−4)∪(2,+∞)C. (−2,4)D.(−4,2)【答案】D【解析】解：由题意可知，m2+2m<(2x +1y)min，由基本不等式可得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4yx+xy+4≥2√4yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx =yx(x,y>0)，即当x=2y时，等号成立，所以m2+2m<8，即m2+2m−8<0，解得−4<m<2．故选：D．先由题意得出m2+2m<(2x +1y)min，然后将代数式2x+1y和x+2y相乘，展开后利用基本不等式可求出2x +1y的最小值8，然后解不等式m2+2m<8即可得出答案．本题考查基本不等式，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，属于中等题．11.如图，A，F分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点.若AP⊥AQ，则C的离心率是()A. √2B. √3C. 1+√134D.1+√174【答案】D【解析】解：∵A ，F 分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点，∴A(−a,0)F(c,0)，∵过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直，且与另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点，∴直线l 的方程为：y =−a b x +ac b，直线l ：y =−a bx +acb与y =−ba x 联立：{y =−ab x +ac by =−b ax，解得P 点(a 2c a 2−b2,abc b 2−a 2)将x =0带入直线l ：y =−a bx +ac b，得Q(0,acb )，∵AP ⊥AQ ，∴k AP ⋅k AQ =abcb 2−a 2a 2ca 2−b 2+a ×ac ba=−1，化简得b 2−ac −a 2=−c 2，把b 2=c 2−a 2代入，得2c 2−2a 2−ac =0同除a 2得2e 2−2−e =0，∴e =1+√174，或e =1−√174(舍)．故选：D ．由已知条件求出直线l 的方程为：y =−a bx +acb ，直线l ：y =−ab x +acb与y =−ba x 联立，能求出P 点坐标，将x =0带入直线l ，能求出Q 点坐标，由AP ⊥AQ ，知k AP ⋅k AQ ，由此入手能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题． 12. 已知函数f(x)=lnx+(x−b)22(b ∈R)∃m ，n ∈[12,2]，使得对于∀x 1，x 2∈(m,n)，且x 1<x 2，都有f(x 1)<f(x 2)，则实数b 的取值范围是()A. (−∞,94)B. (−∞,3)C. (−∞,32)D. (−∞,√2)【答案】A【解析】解：由题意得：f(x)在[12,2]存在递增区间，故函数f(x)在区间[12,2]上存在子区间使得不等式f ′(x)>0成立，f ′(x)=2x 2−2bx+12x ，设ℎ(x)=2x 2−2bx +1，则ℎ(2)>0或ℎ(12)>0，故8−4b +1>0或12−b +1>0，解得：b <94，故选：A ．求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题：“若x 2<1，则−1<x <1”的否命题是______命题.(填“真”或“假”之一) 【答案】真【解析】解：∵“若x 2<1，则−1<x <1”的否命题为：“若x ≥1或x ≤−1，则x 2≥1”，显然是真命题．故答案为：真．写出“若x 2<1，则−1<x <1”的否命题，即可判断其真假．本题考查四种命题的真假关系，关键是真确写出其否命题，再判断，属于基础题．14. 若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1，则a n =______．【答案】{2n +1 ,n ≥24 ,n=1【解析】解：当n =1时，代入可得a 1=S 1=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+2n +1−[(n −1)2+2(n −1)+1]=2n +1，经验证当n =1时，上式不符合，故a n ={2n +1 n ≥24 n=1，故答案为：{2n +1 n ≥24 n=1由公式a n ={S n −S n−1 n ≥2S 1 n=1，化简可得结果．本题考查由数列的前n 项和求通项公式，注意分类的思想，属基础题．15. 直线l 经过点A(t,0)，且与曲线y =x 2相切，若直线l 的倾斜角为45∘，则t =______．【答案】14【解析】解：设切点为(m,m 2)，y =x 2的导数为y ′=2x ，即有切线l 的斜率为k =2m =tan45∘=1，解得m =12，可得切点为(12,14)，由1=14−012−t ，解得t =14．故答案为：14．设切点为(m,m 2)，求出函数的导数，求得切线的斜率，再由直线的斜率公式解方程可得切点，再由两点你的斜率公式，计算即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16. 设a 、b 、c 是正实数满足a +b ≥c ，则ba +ab+c 的最小值为______．【答案】√2−12【解析】解：∵a ，b ，c 是正实数，满足a +b ≥c ，∴a +2b ≥b +c ，∴ba +a b+c≥ba+a a+2b=ba+11+2b a=12(2b a+1)+11+2b a−12≥√2−12(当且仅当a +b =c 时取等号)故答案为：√2−12．利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在等比数列{a n }中，a 3=32,S 3=92．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 2n+16，且数列{b n }为递减数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，a 3=32,S 3=92，可得a 1q 2=32，a 1+a 1q +a 1q 2=92，解得a 1=32，q =1，或a 1=6，q =−12，则a n =32或a n =6⋅(−12)n−1；(2)若a n=32，不满足数列{b n }为递减数列，则b n =log 2a 2n+16=log 2(−12)2n =−2n ，数列{b n }的前n 项和T n =12n(−2−2n)=−n 2−n ．【解析】(1)设公比为q ，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；(2)数列{b n }为递减数列，可得b n =log 2a 2n+16=log 2(−12)2n =−2n ，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 18. 设函数f(x)=lnx +m x,m ∈R ．(1)当m =e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)若f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，求m 的取值范围．【答案】解(1)当m =e 时，f(x)=lnx +ex ，其定义域为(0,+∞)． f ′(x)=1x −e x 2=x−e x 2．令 f ′(x)=0，得x =e ，f ′(x)>0，则0<x <e ，f ′(x)<0，则x >e ．故当x =e 时，f(x)取得极小值f(e)=ln(e)+ee =2．(2)∵f(x)在(0,+∞)上为单调增函数．∴在(0,+∞)上f ′(x)>0恒成立．即对任意的x ∈(0,+∞)都有x−m x >0恒成立．对任意的x ∈(0,+∞)都有x −m >0恒成立．即m <x ，m ≤0．故m 的取值范围m ≤0．【解析】(1)对该函数求导，求得极值点从而求得极小值(2)通过函数的单调性与导数的关系，求得m 的取值范围．本题主要考察利用导数研究函数的极值和单调性知识点，重点掌握求导这一数学思想19. 已知椭圆的方程为x 24+y 23=1，点P 的坐标为(2,1)，求过点P且与椭圆相切的直线方程．【答案】解：椭圆的方程为x 24+y 23=1，可得−2≤x ≤2，点P的坐标为(2,1)，过点P 且与椭圆相切的直线方程之一是x =2，另一条切线为：y −1=k(x −2)．由：{y =k(x −2)+1x 24+y 23=1可得：(3+4k 2)x 2−(8k 2−16k)x +16k 2−16k −8=0，△=(8k 2−16k)2−4(3+4k 2)(16k 2−16k −8)=0，解得k =1．过点P 且与椭圆相切的直线方程：y =x −1或x =2．【解析】设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20. 已知抛物线C ：y 2=4x ，点M(m,0)在x 轴的正半轴上，过点M 的直线l 与抛线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若m =1，且直线l 的斜率为1，求证：以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切；(2)是否存在定点M ，使得不论直线l 绕点M如何转动，1|AM|2+1|BM|2恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)当m=1时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x−1，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，x2−6x+1=0，由韦达定理可得x1+ x2=6，x1x2=1，由弦长公式可得|AB|=√1+12⋅|x1−x2|=√2[(x1+x2)2−4x1x2]=√2(62−4×1)=8，线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线x=−1的距离为4，因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；(2)设直线l的方程为x=ty+m，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，将直线l的方程代入抛物线方程并化简得y2−4ty−4m=0，由韦达定理可得y1+y2=4t，y1y2=−4m，|AM|2=(1+t2)y12，同理可得|BM|2=(1+t2)y22，所以，1|AM|2+1|BM|2=1(1+t2)y12+1(1+t2)y22=y12+y22 (1+t2)y12y22=(y1+y2)2−2y1y2(1+t2)y12y22=16t2+8m16(1+t2)m2=2t2+m2(1+t2)m2为定值，所以，m 1=21，即m=2时，1|AM|2+1|BM|2恒为定值14．此时，定点M的坐标为(2,0)．【解析】(1)先将直线AB的方程写出来为y=x−1，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理与弦长公式计算|AB|的值，并求出线段AB的中点到准线的距离，证明该距离等于|AB|的一半，即可证明结论成立；(2)设直线AB的方程为x=ty+m，并设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，列出韦达定理，结合弦长公式得出1|AM|2+1|BM|2的表达式，根据表达式为定值得出m的值，从而可求出定点M 的坐标．本题考查直线与抛物线的综合，灵活利用韦达定理求解，是解本题的关键，属于中等题．21. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点的椭圆C 的上焦点为F(0,√3)，离心率等于√32．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过F(0,√3)且不垂直于坐标轴的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【答案】解：(1)由中心在原点的椭圆C 的上焦点为F(0,√3)，可知c =√3，离心率等于√32，可得a =2，∴b 2=a 2−c 2=1，故椭圆方程为y 24+x 2=1，(2)存在满足条件的D 点.设满足条件的点D(0,m)，则(0≤m ≤√3)，设l 的方程为：y =kx +√3，(k ≠0)，代入椭圆方程，得(k 2+4)x 2+2√3kx −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2√3kk +4，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2√3=8√3k +4∵以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形，∴(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−m)+(x 2,y 2−m)=(−2√3k k +4,8√3k +4−2m)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向量为(1,k)，∴(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴−−2√3kk 2+4+8√3k 2+4−2mk =0，即m =3√3k 2+4，∵k 2>0，∴m =3√3k 2+4<3√34<√3，∴0<m <√3，∴存在满足条件的点D ．【解析】(1)根据题意可得c =√3，a =2，即可求出椭圆方程，(2)设满足条件的点D(0,m)，则(0≤m ≤√3)，设l 的方程为：y =kx +√3，(k ≠0)，代入椭圆方程，根据韦达定理和向量的运算即可求出．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．22. 已知函数f(x)=2x +1x 2，直线l ：y =kx −1．(1)求f(x)的单调增区间；(2)求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是线y =f(x)的切线；(3)试确定曲线y=f(x)与直线l的交点个数，并说明理由．【答案】(1)解：函数f(x)定义域为{x|x≠0}，f′(x)=2−2x=2(x3−1)x =2(x−1)(x2+x+1)x，由f′(x)>0，解得x<0或x>1．∴函数y=f(x)的单调增区间为(−∞,0)，(1,+∞)；(2)证明：假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f(x)相切，设切点为A(x0,2x0+1 x02)，又∵f′(x)=2−2x，∴切线满足斜率k=2−2x03，且过点A，∴2x0+1x02=(2−2x03)x0−1，即3x02=−1，此方程显然无解，∴假设不成立．故对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f(x)的切线；(3)解：“曲线y=f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x+1x2=kx−1的根的个数”．由方程2x+1x =kx−1，得k=1x+1x+2．令t=1x，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．考察函数ℎ(t)=t3+ t+2，其中t∈R，∵ℎ′(t)=3t2+1>0，∴函数ℎ(t)在R单调递增，且ℎ(t)∈R．而方程k=t3+t+2中，t∈R，且t≠0．∴当k=ℎ(0)=2时，方程k=t3+t+2无根；当k≠2时，方程k=t3+t+ 2有且仅有一根，故当k=2时，曲线y=f(x)与直线l没有交点，而当k≠2时，曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．【解析】(1)求出函数f(x)定义域，求导，令f′(x)>0，即可求得函数的单调增区间；(2)假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f(x)相切，设切点为A(x0,2x0+1x02)，求出切线满足斜率，推出3x02=−1，此方程显然无解，假设不成立.推出直线l都不是曲线y=f(x)的切线；(3)“曲线y=f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x+1x2=kx−1的根的个数”，令t=1x，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0.函数ℎ(t)=t3+t+2，其中t∈R，求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线y=f(x)与直线l交点个数．本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性，函数的零点，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

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