统计学：5方差分析
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(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：
5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
第五节方差分析
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2 F
3
4
F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自 由度决定。
2019/2/20
15
F值与F分布
2019/2/20
16
F 界值表
附表15-2(P228) F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
k-1
SS组间 组间
MS组间 MS组内
组内(误差) SS总-SS组间
N-k
SS组内 组内
2019/2/20
18
假设检验的步骤
1.建立假设、确定检验水准：
H0：1 = 2 = 3， H1：1、2、3不等或不全相等，
=0.05
2.选定检验方法和计算检验统计量：
F= MS组间/MS组内
变异来源
处理组
SS
df
i
n (X
i i
j
X)
2
k－ 1
区组 误差
nj ( X j X )
2
b－ 1 (k－1)×(b-1)
总
SS总 SS 处理 SS区组 2 ( X ) 2 X N
N－ 1
随机区组设计资料方差分析的基本步骤 1、建立检验假设，确定检验水准
对于处理间: H0：多个处理组的总体均数相等，即三种方案的 效果相同
随机区组设计的三种情况 1、区组设计资料 2、同一个对象的K个部位测定同一指标（如教 室的不同位置侧粉尘数） 3、同一样品用多种方法测定某一指标。
优点：每个区组内的k个受试对象有较好 的同质性，组间均衡性也较好。 比完全随机设计减少了误差，因而更 容易察觉处理组间的差别，提高了实验效 率。 缺点：要求区组内受试对象数与处理数相 等，实验结果中若有数据缺失，统计分析 较麻烦。
统计学之方差分析
执行方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学5 多因素试验资料的方差分析课件
• 适用情况： • 当实验涉及的因素或效应在三个或三个以上，而
且因素间可能存在交互作用时。
正交设计与析因设计的区别：
• 析因设计：是各因素各水平全面组合的设计。 • 正交设计：是各因素各水平部分组合的设计。
正交设计能成倍减少试验次数，但是以牺牲 部分因素间的交互作用为代价。
正交设计表
• 每张正交表的表头都有一个表头符号，一般写法 为 LN(mk) 。
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
且因素间可能存在交互作用时。
正交设计与析因设计的区别：
• 析因设计：是各因素各水平全面组合的设计。 • 正交设计：是各因素各水平部分组合的设计。
正交设计能成倍减少试验次数，但是以牺牲 部分因素间的交互作用为代价。
正交设计表
• 每张正交表的表头都有一个表头符号，一般写法 为 LN(mk) 。
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
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统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
7-3
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
ST(A第什T三IS么版TIC)是S 方差分析(ANOVA)?(analysis of variance)
1. 方差分析的基本原理是在20世纪20年代由英国统计学家 Ronald A.Fisher在进行实验设计时为解释实验数据而首先 引入的
7 - 12
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
STATISTICS (第三版)
(one-way analysis of variance)
1. 只考虑一个分类型自变量对数值型因变量的 影响
2. 分析步骤
提出假设 构造检验统计量 做出决策
7 - 13
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
STATISTICS (第三版)
构造检验的统计量F
1. 计算各样本均值
ni
xij
xi
j 1
ni
k
2. 计算全部观测值的均值
ni xi
3. 计算各误差平方和
x i1 n
n n1 n2 ...... nk
总平方和
k ni
SST
(xij x)2
2. 组内方差 MSE SSE
nk
3.
组间方差
MSA SSA k 1
7 - 10
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
Hale Waihona Puke 1. 判断原假设是否成立，就是判断组间方差与组 内方差是否有显著差异
2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就 应该很接近，它们的比值就会接近1
2. （形式上）检验多个总体均值是否相等 ▪ 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
3. （本质上）研究分类型自变量对数值型因变量的影响 ▪ 一个或多个分类型自变量 ▪ 一个数值型因变量
4. 有单因素方差分析和双因素方差分析
涉及一个分类变量
7-4
涉及两个分类变量
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
3. 组间误差——组间平方和（SSA)
▪ 不同的水平（处理）影响所造成的误差 ▪ 反映不同水平样本之间数据的差异
7-8
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
误差平方和的分解及其关系 总误差 = 随机误差 + 处理误差
总平方和
组内平方和
i1 j1
k
组间平方和 SSA ni (xi x)2 i 1
组内平方和 SSE k
ni
(xij xi )2
7 - 15
i1 j1
2008年8月
统5.2计学单因素方差分析
f(X)
m1 m2 m3 ……= mk
X
7-6
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
若备择假设成立，即H1 ：mi (i=1,2,k)不全相等
自变量对因变量有显著影响
至少有一个总体的均值是不同的 3个样本分别来自均值不同的3个正态总体
组间平方和
=
+
(SST)
(SSE)
(SSA)
7-9
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 误差的大小用均方(mean square)来表示，也 称为方差(variance)
平方和除以相应的自由度 总平方和(SST)的自由度为n-1； 组内平方和(SSE)的自由度为n-k ； 组间平方和(SSA)的自由度为k-1
f(X)
X
m1 m2 m3
7-7
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本原理(误差分解)
1. 总误差——总平方和（SST)
▪ 反映全部观测数据的误差大小的平方和， ▪ 反映全部观测值的离散程度
2. 组内误差——组内平方和（SSE) ▪ 由于抽样的随机性造成的误差 ▪ 反映每个样本内数据之间的离散程度
STATISTICS (第三版)
提出假设
1. 一般提法
▪ H0 ：m1 = m2 =…= mk
• 自变量对因变量没有显著影响
▪ H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
• 自变量对因变量有显著影响
2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
7 - 14
3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方， 它们之间的比值就会大于1
4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水 平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有 影响
7 - 11
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
5.2 单因素方差分析
检验步骤 关系有多强？ 哪些均值之间有显著差异？