群论 第二章

第二章第二章 群表示论基础群表示论基础§1 1 群表示和表示空间群表示和表示空间群表示和表示空间1． 表示空间表示空间：：线性空间和Hilbert 空间空间线性空间概念线性空间概念：：由三维矢量空间抽象出的n 维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘（（“+“”“..”）运算运算..向量取值定义在实数域R 或复数域C 上。

普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线性性空间的空间的最简单的例子最简单的例子最简单的例子。

这里的这里的““矢量矢量””可以是向量可以是向量,,也可以是波函数也可以是波函数,,对于后者通常是在Hilbert 空间进行运算空间进行运算。

所谓Hilbert 空间是指定义了内积的完备的n 维线性空间维线性空间。

内积内积::线性空间v v 中每一对向量中每一对向量x 和y 对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数((x ,y),),且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件，， 则称则称((x ,y )为x 和y 的内积的内积。

1. (x ,x )≥0,0,只只有在x =0时, (x ,x )=0)=0；；2. . ((x ,y )=(y ,x )*； 3. (x α ,y )=α*(x ,y ) ,(α为复为复常常数)；4. . ((x +y ,z )=(x ,z )+(y ,z )一般说一般说,,值域为复数域C C 。

对于三维特例对于三维特例::x =(1ξ,2ξ,3ξ), y =(1η,2η,3η) ) 则则 (x ,y )=3*1j j j ξη=∑对于n 维复线性空间维复线性空间，，(x ,y )=*1n j j j ξη=∑若对波函数若对波函数,,有定义在[],a b 上的复值函数f 1,f 2,则内积内积 12(,)f f =*12()()baf f d τττ∫矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间。

完备完备如果规定了空间如果规定了空间H 中的一向量x 的范数的范数‖‖x ‖=(,)x x（‖x‖对应于一实数对应于一实数,,且满足下列条件的件的‖‖x ‖称为向量x 的范数的范数：：1.‖x ‖≥‖≥0; 2.0; 2.0; 2.‖‖αx ‖=α‖x ‖; 3.; 3.‖‖x +y ‖≤‖x ‖+‖y ‖），以及以及定义了定义了定义了两向量的距离两向量的距离d (x ,y )=)=‖‖x -y ‖之后之后,,若H 中每一基本序列都收敛于一向量中每一基本序列都收敛于一向量，，则称H 为完备的内积空间或Hilbert 空间空间。

物理学中关注的是变换群物理学中关注的是变换群。

群表示论研究在对称变换下群表示论研究在对称变换下，，系统状态变换性质系统状态变换性质。

即在算符作用下态矢的变换性质的变换性质。

2． 表示的表示的表示的基本定义基本定义基本定义：：对于任意群G ，若它与n 维线性维线性复复空间n L 上的一个线性变换矩阵上的一个线性变换矩阵群群同态同态，，则称该矩阵群是G 的一个线性表示的一个线性表示，，简称表示简称表示，，n L 为表示空间为表示空间。

n 为维数为维数。

对于群元g α,g β∈G,有相应的n ×n方阵()D g α,()D g β满足g αg β  →同态()D g α()D g β=()D g g αβ,根据定义根据定义,, ()D G 为G 的表示的表示。

则对于e 和其他任意元素，g α,g β∈G 有()D e =I =I（（n 维单位矩阵维单位矩阵））；()D g g αβ=()D g α()D g β；1()D g α−=()D g α-1忠实表示忠实表示：：群G 与表示矩阵群同构与表示矩阵群同构。

自然表示自然表示：：群G 元素本身即元素本身即是矢量空间线性变换矩阵群是矢量空间线性变换矩阵群是矢量空间线性变换矩阵群，，则恒等映射称为自然表示则恒等映射称为自然表示。

3． 群表示的群表示的举例举例举例例1. 1. 普通复普通复n 维线性群GL(n,c)GL(n,c)是是n ×n 复矩阵群复矩阵群，，本身即表示本身即表示，，是自然表示是自然表示。

例2. 2. 正则表示正则表示正则表示 G 为n 阶群阶群，，任取g α∈G,G,根据群乘法根据群乘法g α1g =1g α，g α2g =2g α，…....由由Cayley 定理定理，，G={}g α同构于S n 的某个正则子群的某个正则子群。

其群元为P α=1212i n i n αααα⋯⋯⋯⋯若g α对应的表示矩阵为对应的表示矩阵为::第一列第1α行为1,1,其他为其他为0,0, ⋯⋯第i 列第i α行为1,1,其他为其他为0，群G={}g α与矩阵群A={}A α同构，而表示矩阵A α是n ×n 矩阵矩阵，，矩阵元为()i i i i A αααδ=，{}A α为有限群的一个忠实表示限群的一个忠实表示，，称为正则表示称为正则表示。

正则表示的正则表示的表示矩阵取决于乘法表表示矩阵取决于乘法表表示矩阵取决于乘法表。

设有三阶循环群G={}2123,,g e g a g a===，3a=e.=e.它它同构于S 3的正则子群{},(123),(321)e ：11123g p e 123 ↔== ，22123g p 231 ↔= ，33123g p 312 ↔=，其相应相应表表示：1()D g =100010001 ，2()D g =001100010，3()D g =010001100。

G g 1 g 3 g 2 g 1 g 1 g 3 g 2 g 2 g 2 g 1 g 3 g 3g 3g 2 g 1表2-1 群乘表群乘表（（左正则表示左正则表示））再以4V C ={}23444,,,,,,,x y u ve C C C m m σσ为例为例表2-24vc的乘法表的乘法表4vce 4c 24c 34c x m y m µσ νσ ee4c24c 34c xmymµσνσ 34c 34c e4c24c νσ µσxmym24c 24c 34c e4cymxmνσ µσ4c 4c 24c34ceµσνσym xm xm xm νσ ym µσ e24c34c 4c y mymµσ xm νσ24c e4c34c µσ µσ xm νσ ym 4c 34c e24cνσνσ ym µσ xm34c4c24ce由此写出24C 的正则表示的正则表示24()D C =0010000000010000100000000100000000000100000010000000000100000010而而()D e =1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001又如，在表示4()D C 中，x m 行中出现4C 处位于4x v m c σ=列上列上，，即标1。

为证明这种矩阵确实总能生成一个表示为证明这种矩阵确实总能生成一个表示，，用群元本身给行用群元本身给行、、列编号列编号，，即把G 的g 个元素看作g维空间的坐标轴维空间的坐标轴。

因为用一元素乘各群元因为用一元素乘各群元，，只不过给出群元的重排只不过给出群元的重排，，故可把群元的作用看作群空间中每一坐标轴变到另一坐标轴方向的某种中每一坐标轴变到另一坐标轴方向的某种““旋转旋转””。

于是A 的表示矩阵元（B 行C 列）为,()BC BA C D A δ= （右正则表示右正则表示）），式中,BA C δ只在A=B --11C时为1，其他情况为0。

例如在上述24C 表示中表示中，，x m （B ）行中等于1的元素位于X 列上列上，，X=x m 24C =y m 。

要证明的确是表示要证明的确是表示，，须证满足乘法表须证满足乘法表：：令D 、F 、H ∈G ，且AD=F,AD=F,于是按上述规则产生的矩阵是于是按上述规则产生的矩阵是G 的表示表示。

∵()()()()D A D D D AD D F ==取上式左端B 行C 列得列得,,,,()()()BHHC BA HHD C BAD C BF C BC H GH GDA D D D F δδδδ∈∈====∑∑=右端右端（（BC BC））元从群代数观点看从群代数观点看，，以上所列是正则表示在自然基下的矩阵形式以上所列是正则表示在自然基下的矩阵形式。

所谓自然基即以群元为基所谓自然基即以群元为基，，设群元g 的矩阵为()D g ，则有则有ˆˆgs =,ˆˆ()hsh gs h Gh GhD g h δ∈∈=∑∑ （1） 一般形式一般形式 ˆˆgs=ˆ()hsh GDg h ∈∑ （2）其中ˆs ，ˆh 是作为基矢的群元是作为基矢的群元，，ˆg 是作为算子的群元是作为算子的群元。

（1）式中式中第一第一第一个个等号等号是是()D g 的定的定义义；第二个等号个等号表示在矢量表示在矢量ˆˆgs 按自然基{}h 展开式中只有ˆh =ˆˆgs 一项一项。

因为ˆˆgs 本身也是一个自然基本身也是一个自然基，，且独立于其他自然基立于其他自然基。

因此,()sh gs h D g δ= ，即群元g 的矩阵每列中只有一个元素为1，其他为0。

指标为h 列中列中，，等于1的元素位于指标为gs 的行上的行上。

例3 设系统绕Z 轴旋转轴旋转，，使xy 平面位置矢量x r y = 按右手按右手法则转过法则转过θ变为'''x ry=，()()'R r r D r θθ →=cos()x r θϕ′=+=cos cos sin sin r r θϕθϕ−sin cos cos sin r r θϕθϕ=+sin cos x y θθ=+， '''x r y = =cos sin sin cos x y θθθθ− =()D r θXX1e 2ey ’y图2-1()'sin y r θϕ=+cos sin x y θθ=−()D θ=cos sin sin cos θθθθ−是2×2矩阵矩阵——————定轴转动群定轴转动群SO (2)(2)的二维忠实表示的二维忠实表示的二维忠实表示。

附：几种常用矩阵常用矩阵1． 正交矩阵和实正交矩阵正交矩阵和实正交矩阵a. 若矩阵的转置等于其逆矩阵R ɶ=1R −或,RR RR I ==ɶɶ则称R 为正交矩阵为正交矩阵。

正交矩阵的行列式detR=1±。

其行、列满足列满足R R µρρνρ∑ɶ=R R µρρνρ∑ɶ=µνδ即R R ρµρνρ∑=R R µρνρρ∑=µνδ 若a 、b 为列矩阵为列矩阵，，则 (Ra ()Rb =ab ɶ 设a 为R 的本征列矩阵的本征列矩阵，，R a =λa ,则可知本征值λ=±1。