群论(1)第二章
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群论 第二章
第二章第二章 群表示论基础群表示论基础§1 1 群表示和表示空间群表示和表示空间群表示和表示空间1． 表示空间表示空间：：线性空间和Hilbert 空间空间线性空间概念线性空间概念：：由三维矢量空间抽象出的n 维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘（（“+“”“..”）运算运算..向量取值定义在实数域R 或复数域C 上。
普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线性性空间的空间的最简单的例子最简单的例子最简单的例子。
这里的这里的““矢量矢量””可以是向量可以是向量,,也可以是波函数也可以是波函数,,对于后者通常是在Hilbert 空间进行运算空间进行运算。
所谓Hilbert 空间是指定义了内积的完备的n 维线性空间维线性空间。
内积内积::线性空间v v 中每一对向量中每一对向量x 和y 对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数((x ,y),),且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件，， 则称则称((x ,y )为x 和y 的内积的内积。
1. (x ,x )≥0,0,只只有在x =0时, (x ,x )=0)=0；；2. . ((x ,y )=(y ,x )*； 3. (x α ,y )=α*(x ,y ) ,(α为复为复常常数)；4. . ((x +y ,z )=(x ,z )+(y ,z )一般说一般说,,值域为复数域C C 。
对于三维特例对于三维特例::x =(1ξ,2ξ,3ξ), y =(1η,2η,3η) ) 则则 (x ,y )=3*1j j j ξη=∑对于n 维复线性空间维复线性空间，，(x ,y )=*1n j j j ξη=∑若对波函数若对波函数,,有定义在[],a b 上的复值函数f 1,f 2,则内积内积 12(,)f f =*12()()baf f d τττ∫矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间。
群论第2章
√
• 循环群：由一个元素X及其全部h个幂组成的集合， 其中Xh＝E， h阶循环群。 循环群的特点：都是阿贝尔群 G3是3阶循环群
问题：四阶群有几种？其乘法表如何？
①四阶循环群G4
(1)：
(1) G4
E
A
B
C
X=A,X2=B,X3=C,X4=E
其中：B-1=B， A-1=C ②存在G4(2)，
(2) G4
ABC=A(BC)=(AB)C
若 AB=BA，
AB≠BA
则群为阿贝尔群（对易群）
③单位元素E: 群中必有单位元素(恒等元素) 存在。 单位元素与其它元素相乘可以交换顺序，且等于 元素本身。 若A∈G ， ④逆元素： 群中每个元素必有自己的逆元素。 若A∈G，必有A-1∈G， 则 EA=AE=A
并有 AA-1=A-1A=E • 群G的单位元素是唯一的； • 若 A∈G，则G中A的逆元A-1是唯一； • E的逆元是其本身.
二阶群：
E A E A A E
E E A B A A B B
三阶群：
• 若AA＝E，
则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
G3 E A B
G3 E A B
E A B E A B A ? B
E E A B A A B E B B E A
x
• 当AA＝B，
满足重排原理，元素符合 群条件，其中 AA＝B, AB=AAA=E
C3v ③ 求σ的共轭元素， E …. C3 通过相似变换可得σ σ’和 σ’’彼此 C32 E E C3 C32 C3 C3 C32 E C32 C32 E C3
结论：
① 恒等元素在任何群中自成一类。 ② 在群的各类中不会有相同的元素出现。
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群论
E
不动
C
绕C轴转180o
A
绕A轴转180o D
顺时针转120o
B
绕B轴转180o F
逆时针转120o
一般的对称操作群: 分子点群,晶体点群,旋转群,置换群
2. 群论中的基本概念
(1). 群的阶: 指一个群中元素的个数; (2). 有限群与无限群: 指阶为有限及无限的群； (3). 离散群: 群的元素个数是可数有限的群; (4). 连续群: 群的元素的个数是不可数无限的群; (5). 阿贝尔群:群中任意两元素对乘法对易,即满足
┌1 2 3┐
e=∣
∣
└1 2 3┘
┌1 2 3┐
a=∣
∣
└2 1 3┘
┌1 2 3┐
b=∣
∣
└1 3 2┘
┌1 2 3┐
┌1 2 3┐
c=∣
∣
d=∣
∣
└3 2 1┘
└2 3 1┘
可以证明它们符合群的四个基本条件.
┌1 2 3┐
f=∣
∣
└3 1 2┘
例3.矩阵群:
以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群
A
B
D
C
D
A
C
B
B
C
A
D
（2）运算举例
B
A
2
C
D
B
A
2 1 2
B
A
1
2
C
D
2 5 7
C
D
5
A
D
2
——
2
B
C
D
A
2
C
D
B
A
C
B
（3）单位元 1
《群论》部分习题答案
《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。
（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。
因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。
所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。
群论1、2章
所以这样的置换共有n﹗个。因为n个物体的排列数共有n﹗种， 进行一次置换后再进行另一次置换，结果也还是依次置换，叫 做两次置换的乘积。如 1 2 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 3 ＝ 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2
＝
置换群是阿贝尔群吗？ 答案：不是，因为置换的乘法不满足交换律，故不是阿 贝尔群！
t
-t 牛顿第二定律
3、对称性的本质：规律性，周期性，和谐的排列
God love symmetry !
1.3 对称性与化学
1、540.B.C，毕达哥拉斯学派认为：火、地、气、水四个基本元素组成世界。
火：正四面体演变火
地：正六面体或立方体
气：正八方体
水：正二十面体
第二章 群论基础
2.1 群的定义 （1）设G={E,A,B,C….}是由一些不同元素作成的非空集合， 在集合G中可以定义一个合成法，满足： A、若A·B∈G,且A ∈G，B ∈G，封闭性； B、有单位元素或恒等元素，常用E表示，EA=AE=A C、每个元素必有自己的逆元素，即它们的乘积等于单位元素， 即A ∈G，必有A-1 ∈G,AA-1=A-1A=E,A-1和A互为逆元素 D、满足结合律：即A(BC)=（AB）C,但必须注意AB≠BA,一般 不满足。
这两个群的乘法表为：
C4 E L4 L 42 L 43
观察：
E L 4 L 42 L 43 E L 4 L 42 L 43 L 4 L 42 L 43 E L 42L 43 E L 4 L 43E L 4 L 42
A 1 i -1 -i
1 i -1 -i 1 i -1 -i i -1 -i 1 -1 -i 1 i -i 1 i -1
群论-第二章_群表示理论_2011.12.7
j
C3v： e,c3 ,c32 ,1 , 2 , 3
c3eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ 2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ3 eˆ3
6
c3 M
c3
1 2
3 2
3 2
1 2
0
1 2
0
，也可写成
19
定理2.若D1和D2是群G的等价幺正表示，则有
幺正矩阵U，使得
。
证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S， 对∀g∈G，有
D2 g S 1D1 g S 并有D2 g 1 S 1D1 g 1 S D2 g 1 S D1 g 1 S 1 D21 g 1 S D11 g 1 S 1 D2 g S D1g S 1
y
1 2
x
3 2
y eˆ1
3 2
x
1 2
y
eˆ 2
x
11
T c3 u1r
eˆ1 c31r 2
eˆ2
c31r
2
1 2
x
3 2
y 2
3 2
x
1 2
y 2
1 2
u1
r
13
一个群有多少种表示？
群论02_第二章
都可表为
42
证明：若
和
属于同一个左陪集
，则
反之，若
，则 和 同属左陪集
上面推论同样适用于右陪集，两元素只是属同一右 陪集的充要条件是 如果子群的所有左陪集 和右陪集 都对应 相等，则此子群称为不变子群，或正规子群。
不变子群的商群的概念。
43
三，共轭元素和类 定义：群 中两个元素 和 称为互相共轭，如果
3。
和
互相共轭。
群包含三个类： 一个不变子群：
48
当 是奇数时，顶点和对边中点的连线是二次固有 转动轴，当 是偶数时，两相对顶点的连线和对边 的连线都是二次固有转动轴。 群包含 个自逆类。
不变子群
群包含
个自逆类：
不变子群 和
49
习题
50
习题*
51
复习
群中所有互相共轭的元素的集合构成类。 不同类没有公共元素。恒元单独构成一类。阿贝尔 群每个元素构成一类。除恒元外，类不构成子群。
哈密顿量的本征函数可以用宇称来分类。宇称是系 统的一个守恒量。 4
作为一级近似，电偶极跃迁的几率与电偶极算符 在初末态波函数间的矩阵元模平方成正比。 电偶极算符和坐标算符成正比，在空间反演中是 奇函数。因此当初末态宇称相同时，这个矩阵元 的积分为零。也就是说，在宇称状态相同的初末 态间电偶极跃迁概率的一级近似为零。
10
以
为例来证明：
11
有限群的乘法表，简称群表。 称为左乘元素， 称为乘积元素。 称为右乘元素，
把左乘元素排在表的第一列，把右乘元素排在表的 第一行。第一行和第一列中元素的排列次序可以任 意，但一般使它们的排列次序相同，且第一个是恒 元。表中间的内容，分别按乘积规则填入相应的乘 积元素。 对应恒元的那一行与表头第一行相同，对应恒元的那 一列与表头的第一列相同。表的内容中每一行（每一 列）不会有重复元素。乘法表相同的两个群同构。但 乘法表不同的两个群不一定不同构。
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cos µ ¡ sin µ 0 D(R) = @ sin µ cos µ 0 A 0 0 1
0
1
可以验证，D(R)构成平面转 动群的真实表示。（练习）
例2：
系统哈密顿量H，本征值E的能级m重简并
Hù = Eù; ¹ = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; m
G = fRi g
系统的对称变换构成群
，有
m X j=1
Ãj [D(R)D(S)]jk
(1)G与D(G)建立了对应关系 (2)对应关系的性质由变换 群的性质与基矢量的选取决 定
RS -> D(R)D(S)=D(RS) D(G)构成群G在线性空间V上 的表示，V也称为D(G)的表 示空间
例1：平面转动群的二维表示
平面转动R，逆时针转theta角
8 <1 DP R(S) = : 0 if P = T = SR if P 6= SR
这样的矩阵构成群，与G同构，构成群G的g维表示，称 为正则表示，表示空间为群空间。
正则表示的特征标
对角元
DRR (S) =
8 <1 : 0
if R = SR if R 6= SR
if S = E if S 6= E
D1也是可约表示 根本原因 V3 (x; y; z) = V2 (x; y) © V1 (z)
逆向思维
有群G不变的两个线性空间w(n维)和w’(m维)，则有两 表示空间上的群表示C(G)和B(G) 将两线性空间直和，得到更高维(n+m)的线性空间
群G即有n+m维的可约表示
该表示的表示空间为V=w+w’
X X=
R2G
X F1(R)R; Y =
S2G
F2(S)S;
群代数
为线性空间定义矢量的乘法，并要求线性空间 对乘法封闭，满足分配律，这样的线性空间称 为代数。 为群空间定义乘法：数与数作普通数的乘法， 群元之间按群元素乘法规则相乘，这样的群空 间构成群代数。 ! Ã Ã !
X X XY =
R2G
同一群元在两个表示中的特征标相等 可以找到相似变换矩阵S，使得D2=S-1D1S
思考：二表示等价的原因。
2.2.2可约、不可约表示和幺正表示
若线性空间V（ n维）是群G不变的，则群G可 有n维表示D(G)，线性空间V称为表示空间。 RV=V，R ∈G 若V中存在群G不变的真子空间w（m维,m<n）， 即对任意r∈w, R ∈G, 有R r ∈w， Rw=w， R ∈G 则称表示D为可约表示。
2.3舒尔引理
2.3.1舒尔第一引理： 设群G在有限维向量空间VA和VB上有不可约 表示DA和DB，对任意R∈G，若有将VA映入VB 的线性变换满足 M为dB×dA矩阵，则有 (1)当表示DA和DB不等价时，必有M=0； (2)当M≠0时，表示DA和DB必等价。
2.3.2舒尔第二引理 D(R)为群G在内积空间V上的不可约表示，若有 V上有变换M，对任意R∈G，满足 D(R)M=MD(R) 则有，M=mE 其中E为单位矩阵，m为常数。 即若D(G)为不可约表示，则只有常数矩阵与所 有群元表示矩阵同时对易。 推论1：若M不是常数矩阵，则D(G)可约。 推论2：阿贝尔群的不可约表示均为1维。
集合D(G)构成群
j=1
=R
m X i=1
Ãi Dik (S) =
m m XX i=1 j=1
Ãj Dji (R)Dik (S) =
m X j=1
Ãj [D(R)D(S)]jk
D(RS)=D(R)D(S) 乘积的表示等于表示的乘积 D(R-1)=D-1(R) 互逆群元素的表示互为逆矩阵
群G: {E, R, S, R-1, S-1, RS……} 集合D(G):{D(E), D(R), D(S), D-1(R), D-1(S), D(R)D(S)……}
选取合适的基→做适当的相似变换
D’(R)具有可约表示的特有形式
µ S D(R)S =
¡1
C(R) N(R) 0 B(R)
¶
这一过程成为表示的约化，相似变换矩阵S也 称为约化矩阵
完全可约
w和w’是线性空间V的线性子空间，若对x∈V， 可以找到y ∈ w，z ∈ w’，并可唯一的将x表 示为 x=y+z 则称V是其线性子空间w和w’的直和，记为
可以推广为
若群G的表示空间V(n+m维)可以分解为w(n维)和w’(m维) 的直和，且w和w’都是群G不变的，即对任意R ∈G，有 Rw=w，Rw’=w’，则群G在表示空间V上的表示D(G)是完 全可约的。 此时，可以选取一组合适的基（相似变换）
使w中矢量y，w’中矢量z有如下形式
n行
m行
D(R)构成变换R的表示矩阵，D(G)构成群的另外 一个表示
例
坐标变换R，
完备函数基{fa(xi)}，线性算符群PG与G同构
D(R)构成变换R的表示矩阵，D(G)构成群的另 外一个表示
群G不变的线性空间V RV=V
0 RÃi = Ãi = m X
Ãj Dji (R)
00 SÃi = Ãi =
常见的等价表示(1)
线性空间V群G不变， 另一组基 同一表示空间的，通过相似变换相联系的两组 基给出互为等价的两个表示
常见的等价表示(2)
线性空间V1群G不变，有表示D(G)
存在V1到另一线性空间V2的一对一满映射 SV1=V2，S-1V2=V1，即有
Ái = X
j
Ãj Sji ; Ãi =
¡1 RiHRi = H ) RiH = HRi
HRiù = RiHù = ERiù
有
X Ri ù =
º
ú Dº¹(Ri )
即得到了对称变换群的一种表示，m个基矢构成 对应的表示空间。
2.1.2 正则表示
群函数：如果对于群G的每一个元素R，都有 一个确定的数F(R)与之对应，这样的以群元作 为自变量的函数称为群函数。 例：Dmn(R)，X(R) 群空间：取有限群群元作为基，他们的所有复 线性组合构成一个线性空间，称为群空间，维 数为群阶g。 群元素的任意线性组合都是群空间的一个矢量。
可以由不可约表示出发，构建任意可约表示。
完全可约表示的扩展
不能进一步约化的表示称为不可约表示，对应表示空 间没有群G不变的真子空间 一般地，完全可约表示矩阵可以变换为不可约表示的 直和
即 相应地 V = V1 © V2 © ¢ ¢ ¢ © Vn
2.2.3幺正表示
设D(G)是群G在内积空间V上的表示，且D(R) 是为V上的幺正矩阵，则D(G)称为G的幺正表 示。
F1 (R)R XX
S2G R2G S2G
F2 (S)S
= =
F1 (R)F2 (S)(RS) o X ¡1 F1 (R)F2 (R T ) T = F3 (T )T
T 2G
XnX
R2G
T 2G
正则表示
X SR = T =
P 2G
P ¤ DP R(S)
S看做对矢量R的变换，群空间为群的不变线性空间 展开系数构成表示矩阵 求和式只有一项
R^1 = e1 D11 (R) + e2 D21 (R) + e3 D31 (R) = cos µ^1 + sin µ^2 e ^ ^ ^ e e R^2 = e1 D12 (R) + e2 D22 (R) + e3 D32 (R) = ¡ sin µ^1 + cos µ^2 e ^ ^ ^ e e R^3 = e1 D13 (R) + e2 D23 (R) + e3 D33 (R) = e3 e ^ ^ ^ ^
定理1：幺正表示若可约，则完全可约，且可 约化为不可约幺正表示的直和。 定理2：任何有限群的非幺正表示都等价于一 个幺正表示。
推论1：只需要研究不等价不可约的幺正表示。
不可约幺正表示 表示 幺正表示 不可约幺正 表示的直和
完全可约
推论2：互逆元素的特征标互为复共轭，自逆 元素的特征标为实数。
可约表示的形式
若V中有一个群G不变的真子空间w，可以选取一组合适的基
使w中矢量有如下形式，w和V-w中的矢量彼此正交
m行 n-m行
使可约表示D的所有表示矩阵有如下形式，
m列 n-m列 m行 n-m行
C(R)也是群的表示，表示空间为w 一个表示可约，其等价表示同样可约
表示的约化和约化矩阵
通过变换群元表示的定义建立对应关系
RÃi =
m X
Ãj Dji (R);
Ãj Djk (RS)
SÃk =
m X i=1
Ãi Dik (S);
j=1 m X
R -> D(R) S -> D(S)
(RS)Ãk =
j=1
=R
m X i=1
Ãi Dik (S) =
m m XX i=1 j=1
Ãj Dji (R)Dik (S) =
列 行 E =D D= F F= E A= B B= C C= A
B
C E
P ¤ DP R(S)
D
F A B C
类似可写出群元A的正则表示矩阵（作 业），由此得出D3群的正则表示。
2.1.3表示的扩充
以{xi}为基矢量构成群G: {R}不变的线性空间
若线性空间{fa}对与群G同构的线性算符群 PG: {PR}不变，则有