物理学中的群论基础第一章剖析
群论 群论基础
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：自编参考书群论及其在固体物理中的应用参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第一章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 子群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规子群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3二元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群论 第一章
第一章第一章 抽象群概论§1 什么是群什么是群？？群公理不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。
）。
满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理））： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=⋅； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ⋅⋅=⋅⋅；（3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ⋅=⋅=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1−i g ，使e g g ii =⋅−1。
阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。
无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。
注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ⋅≠⋅。
若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。
2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。
例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。
四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。
循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。
n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。
例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。
全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。
例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。
特例 —— 转角为m 倍nπϑ2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动））：),,(γβαR ，)3(SO 群。
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
物理学中的群论第一章线性代数
物理学中的群论第⼀章线性代数物理学中的群论第⼀章线性代数声明：这是我根据黄飞⽼师上课内容记的笔记（易懂）。
教材：马中骐的物理学中的群论书（不好懂，所以我没看）。
希望对学群论的⼈有所帮助。
这两章线性代数考试不会考，但⾮常重要，后⾯都在⽤。
1.1节线性空间和⽮量基1.⽮量基有加法和数乘、⼀组线性⽆关的客体2.⽮量3.m维线性空间：就是定义了加法和数乘m个基⽮量对应m维简单来说，线性空间就是⽮量空间，线性空间中只有加法和数乘（即只有两个⽮量相加、数乘），但是没有⽮量乘法，也没有长度这样的概念。
如果在线性空间中引⼊点乘，长度、垂直的概念，此时称为内积空间。
线性空间性质：4.实线性空间：5.⽮量、基⽮量的矩阵表⽰⽮量矩阵表⽰：列矩阵基⽮量矩阵表⽰：、、按基⽮量展开，其第个分量为基⽮量矩阵表⽰是只有⼀个分量为1，其他分量为零的列矩阵。
6.线性空间的维数1）线性相关、线性⽆关2）线性空间的维数线性空间的维数：线性空间中线性⽆关的⽮量的最⼤个数。
m 维线性空间中，线性⽆关的⽮量数⽬不能⼤于m 。
⽮量基是线性⽆关的，m 维线性空间中任何 m 个线性⽆关的⽮量都可以作为⼀组⽮量基。
7.线性空间的⼦空间⼦空间就是在m 维线性空间中，有⽐m 维数⼩的个数的线性⽆关⽮量的所有的线性组合，构成⼀个n 维线性空间。
⽐如三维空间中，两个基⽮量的所有线性组合构成x-y 平⾯，是⼆维线性空间，是⼦空间。
我们通常说的⼦空间是⾮平庸的⼦空间，不包括零空间和全空间。
8.两个⼦空间的和两个⼦空间的和：两个⼦空间和的所有⽮量及这些⽮量的线性组合的集合， 记作；注意并⾮和的所有⽮量的集合，因为除了将这些⽮量放在⼀块以外，还需要将它们线性组合。
例如，构成的⼦空间和构成的⼦空间的和是整个三维空间。
9.两个⼦空间的交两个⼦空间的交：，例如，构成的⼆维⼦空间和构成的⼀维⼦空间的交是零空间（零⽮量构成的空间）。
10.两个⼦空间的直和两个⼦空间的直和：若是、的和（即），且下⾯三个等价的条件中任意⼀条成⽴：则称为两个⼦空间和的直和，记作 ，此时与称为中互补的⼦空间。
群论
循环群:所有的元素可以由某一个元素的幂次来产生
n阶 同构：G G
C n {E , R , R , , R
2 n 1
},
R
n
E, R
1
R
n 1
Isomorphism
两个群的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系， 它们的乘积也按同一规则一一对应。
乘法表(群表)
元素的阶
R
n
R j H Rk H R j Rk H H (R j Rk ) H H Rj H Rj H H Rj H Rj H Rj H Rj Rj H H H
1 1
例：
§3. 共轭元素、类
共轭： 对群
G 中两元素 R 和 S ， 如存在 R~ S T G, 使得 R T S T
C 3 {e , d , f }
2 3 ; 4 3 ;
ad c , ad da
da b
乘法表(群表)
所有正负整数(包括零)；普通加法。 所有的实数(除去零)；普通乘法。 {1, -1}; 乘法。 {1, i, -1, -i} ; 乘法。 {1}; 乘法。 矩阵群 所有的 n 行 n 列方矩阵；矩阵的乘法？ 所有行列式不为零的 ； 所有行列式为 1 的 ； 所有行列式为 1 的 幺正矩阵； SU ( n ) 所有行列式为 1 的 实正交矩阵； SO ( n ) 六个矩阵：
1 E 0 1 A 0 0 , 1 0 , 1 11 D 2 3 1 1 B 2 3 3 , 1
Special Unitary Orthogonal
1 1 F 2 3 1 1 C 2 3 3 , 1 3 . 1
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每个群G都有两个平凡子群——单位元和G自身。若H≠G， 即G比H有更多的元素，则子群H叫做G的真子群。
1.4.1循环群 若G是有限群，则必然存在一个有限正整数n使得An=E.
(c)存在逆元 AG BG A B B A E. (d)结合律 A (B C) ( A B) C A，B，C G
群中元素的个数叫做群的阶。有限群包含有限个元素；包含无限多 元素的叫做无限群。
以后，符号“ ”将省去。A B将写作AB。用“合成”替代“乘法”
一般来说，ABBA，若群的所有元素都相互对易，则称此群为 Abel群(交换群)
1.2 乘法表(Cayley表)
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
f2 f2 f3 f4 f1 f8 f7 f5 f6
f3 f3 f4 f1 f2
f4 f4 f1 f2 f3
f5 f5
f1
f6 f6
f1
f7 f7
f1
f8 f8
f1
1.2.1重排定理 从乘法表看出，群的每一个元素在每一列中出现一次，且只 出现一次。这就是所谓重排定理。 这个定理的一个重要推论：若f是群元素的任意函数，则
UV=VU=I. (d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.
上述两集合的性质定义了一个群，这两个集合就是群的例子。
群是一些不同元素的集合，G{E，A，B，C，D， }，这些
元素被赋予以合成法则(加法、乘法、矩阵乘法等)，满足性质：
(a)封闭性
A BG， A，BG.
(b)存在恒等元 E G E A A E AAG.
5
2
C
D
B
A
C
B
（3）S(K)中的幺元 1
B
A
1：
2
B
A
2
C
D
C
D
（4）S(K)中的逆元
1 2
4
B
A
A
D
B
A
2
2
——
2
4
2
C
D
B
C
C
D
1 5
5
B
A
C
D
B
A
5
5
C
D
B
A
C
D
y
fi() = Qi
Ox
恒等
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
n+m=0；显然n=-m. (d)若m，n和p是I的任意三个元素，m+(n+p)=(m+n)+p；
这表示加法满足结合律。
考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)， n是一个稳定的有限 正整数。此集合有四个性质： (a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正
矩阵，从而也属于集合U(n). (b)包含单位矩阵I，具有性质：UU(n)，UI=IU=U. (c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中，
f ( A) f ( AB).
AG
AG
这里B是有限群G的一个元素，求和遍及所有群元素。
1.2.2有限群的生成元 考虑一些元素的最小集合，这些元素的幂和乘积可以生成群的 所有元素，此集合的元素成为群的生成元。
例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最 小正整数。
由于A是群中的一个元素，所有它的整数幂必定也在这个群中。 故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次幂不能 给出新元素，因为An+k= Ak.所求得群，故所求得群阶为n.
–G中任意两个变换的乘积仍是G中的变换，即具有封闭性
–G中的每个变换都有逆变换，而且是G中的一个变换。
•平面上所有平移的集合
•平面上以一个定点为中心的所有旋√转的集合
•平面上所有轴反射的集合
√
×
a1
a2
1.1.2正方形的对称性群
（1）平面上正方形ABCD的对称变换群
S(K) = { ，1 变换群
==
人们对平面的认识
欧几里德, 笛卡儿, 费马, …
yx
O
R? 2 {(x, y) | x, y R}
——欧氏空间 距离 ——内积空间 内积 ——线性空间 线性运算 ——集合
一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
•定义：设由点变换构成的集合G，满足下列两个条件， 称G为变换群：
可以证明，这个集合是一个群，即它对乘法是封闭的。
1.3共轭元素和类
A，B和C是群的元素，当元素B和C之间存在关系A-1BA=C，
它们被称为共轭元素，这种运算叫做B通过A的相似变换. 显然
ACA-1=B 例如，前面群元素之间的这种关系：f4-1f5f4=f6，f5和f6互为共轭. 若B与C共轭，B又与D共轭，则C与D共轭，B，C和D互为共轭. 这样，可以把一个群分成一些集合，使得每一集合中的所有元素 相互共轭，不同集合的两元素互不共轭。这种群叫做共轭类。
1.3.1类的乘法 令Ci=(A1, A2, ..., Am)和Cj=(B1, B2, …, Bn)为群中包含m和n个
元素的两类，它们的积就是Ci中任意元素和Cj中任意元素所有积 所组成的集合。
CiCj=(A1B1, A2B2, …, AlAk, …, AmBn)
1.4子群 集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同样合成法
例：由两元素A和B生成一个群，只要求A2=B3=(AB)2=E. 由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2. 它一定也包 含所有A，B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 对易，否则由(AB)2=E将得到
E=ABAB=A2B2=B2. AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA.
物理学中的群论及其应用
§1.1什么是群？ 考察所有整数集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3 }，考察下列四个性质： (a)集合I的任意两个元素之和仍是一整数，从而属于此集合I. (b)此集合包含一个零元素0，具有这样的性质，对任意元素mI，
m+0=0+m=m. (c)对于I的任意元素m，存在一个也属于I的唯一n，使得m+n=
B
A
B
A
1：
2
2
2：
C
D
B
A
2
C
D
C
D
A
D
--2
B
C
3 ：
4：
5 ：
B
A
2
C
D
B
A
2
C
D
B
A
C
D
D
C
A
B
C
B
3-—- 2
D
A
C
D
B
A
B
A
6：
C
D
B
A
7：
C
D
B
A
8：
C
D
A
B
D
C
D
A
C
B
B
C
A
D
（2）S(K)中的运算举例
2 1 2
B
A
B
A
A
D
1
2
2
2
——
2
C
D
C
D
B
C
2 5 7
B
A
C
D
D
A