第3章：离散时间信号的傅里叶变换
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
信号分析与处理第3章离散时间信号的分析_1-44
X (z) x(n)zn x(n)(re j )n [x(n)r n ]e j n
x
x
x
只有当 x(n)rn 符合绝对可和的收敛条件，即
x(n)r n
x=
时，x(n) 的 z 变换才有意义。对序列 x(n) ，其 z 变换 X (z)收
敛的所有 z 的集合称为 X (z)的收敛域，简记为 ROC
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z1 x(2)z2 x0
上式是序列 x(n) 的单边 z 变换。
n<0 时样点均为零的序列称为因果序列，对因果序 列，其双边 z 变换与单边 z 变换相同。
单边 z 变换定义式表明，序列的单边 z 变换是复变 量 z 的负幂级数，该级数的系数即是序列 x(n) 本身。
1、 周期单位冲激串的傅里叶变换
周期单位冲激串，如图（a）所示。该函数在研
究信号的采样问题中经常用到，称为狄拉克梳状函数
或理想采样函数，用数学公式表示为
p(t) (t nT ) n
在 2.3 节中已得到，其傅里叶级数为 p(t) 1 ejkt
T k
上式表明，周期单位冲激串的傅里叶级数中，只包 含位于 0，0 ，20 ，…，k0 ，…处的频率分量， 每个频率分量的大小相等且都等于 1 。
两者进行相乘，如图(c) 所示，相乘结果 xS (t) x(t) p(t) 称为 x(t) 的采样信号（sampled signal），如 图（d）所示。xS (t) 中各分量的冲激强度构成的序列为 x(t) 的样本 x(n) 。
设采样间隔为TS ，采样角频率S
2
f
2 TS
。由采
样过程，有
xS (t) x(t) p(t)
为书写方便，对序列 x(n) 取 z 变换和对 X (z)取逆 z 变换常常记为
第3章 离散傅里叶变换 (2)
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二、DFT和Z变换的关系
进行 对比
X ( z ) ZT[ x( n)] x( n) z n
n 0
N 1
X (k ) DFT[ x( n)] x( n)WN
n 0
N 1
nk
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
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学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
在矛盾中思考工程实现的背景
在解决问题的过程中感受知识的力量、体会学习的快乐
N 1 k 0
j( ) nk ~ N X (k )e
2
~ 式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便。X (k ) 为k次 谐波的系数。 2 j 将上式两边同乘 e N rn ，并从n=0到N-1求和，得到：
N 1 n 0
~(n)e x
j(
2 ) rn N
1 N
N 1 N 1
X (k ) X R (k ) jX I (k )
或 X (k ) X (k ) e j ( k )
例3.1 求有限长序列的DFT，其中a=0.8，N=8。
a n , 0 n N 1 x(n) 其它 0,
解
X ( k ) x( n)W8nk a n e
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本章学习要点
理解傅里叶变换的四种形式的意义 了解离散傅里叶级数（DFS）的定义、基本性质 掌握离散傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform） 的定义、基本性质以及与Z变换和DTFT的关系，理解隐含 周期性的意义，掌握圆周卷积的计算 掌握频域采样理论的意义、分析过程和结论 掌握DFT在计算线性卷积、线性相关和谱分析等方面的应用
第3章离散傅里叶变换
第[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (k ) bX2 (k )
式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 2. x1 (n) 和 x2 (n) 的长度N1和N2不等时， 选择
N max N1 , N 2
为变换长度,短者进行补零达到N点。
x(n ) 2 (a ) 0 N －1 n (e) o N －2 N －1 x(n ) 1 n ＝0
~ x ( n)
(b )
0
N －1
n (f)
2 1 n ＝0 N －2 N －1
~ x (n 2) x (( n 2)) N
(c)
0
N －1
n (g ) 2 1 n ＝0
x(( n 2)) N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换 五、 DFT形式下的帕斯瓦尔定理
1 x(n) y (n) N n 0
* N 1
X (k )Y * (k )
k 0
kn Y ( k ) W N k 0 N 1 N 1 n 0 kn N *
N 1
证
1 * x ( n ) y ( n ) x ( n ) N n 0 n 0
X (k ) DFT[ x(n)]
则
nl IDFT[ X ((k l ))N RN (k )] WN x(n) e j 2 nl N
x(n)
这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。
第3章 离散傅里叶变换
三、对偶性 • 若 • 则
X (k ) DFT[ x(n)]
N 1 N 1
1 N
Y (k ) x(n)W
* k 0
N 1
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DTFT的性质 的性质
线性：若 x1 ( n ) → X 1 (e jω ), x 2 ( n ) → X 2 (e jω )，则 线性：
α x1 ( n ) + β x 2 ( n ) → α X 1 ( e j ω ) + β X 2 ( e j ω )
时移： 时移：若 x ( n ) → X ( e jω )，则 x ( n − n0 ) → e − jωn0 X (e jω ) 奇偶虚实对称： 奇偶虚实对称： 为实信号， 若 x ( n )为实信号，则（ 1 X R ( e jω ) = X R ( e − jω ); ） (3) X * ( e jω ) = X (e − jω ); X I ( e jω ) (5)ϕ (ω ) = arctan = −ϕ ( − ω ); jω X R (e )
200
0 -200
0
200
400 f/Hz
600
800
1000
的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处未出现频率分量 (2)出现 出现2pi(或fs)周期性 出现 或 周期性 (3)其他分量 其他分量
250 200
其他分量
150 100 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
第3章 章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的 与本章内容有关的MATLAB文件 文件
x (n) = a[cos(2πf 0 nTs + ϕ ) + j sin( 2πf 0 nTs + ϕ )] = ae j ( 2πf 0 nTs +ϕ ) = ae j (ω0 n+ϕ )
600 400
200
0 -5
0
5
10 w/rad
15
20
25
30
600
400
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001 w0 =0.6283(f0=20) Aw0 =499.4717 Pw0 =1.2795 w0N =-0.6283(f=-20) Aw0N =0.1354 Pw0N =0.4922 Elapsed time is 7.619203 seconds.
泄漏
200 150 100 50 0 10
500 400 300 200 100 0 0 .2 0 .3 0 .4 0.5 0.6 0 .7 0 .8 0 .9 1
15
20
25
30
35
500 400 300 200 100 0 10 15 20 25 30
DTFT结果是否出现 0的解释 结果是否出现-f 结果是否出现
时域卷积定理： 时域卷积定理：若 y ( n) = x ( n) * h( n), 则 Y (e jω ) = X (e jω ) H (e jω ) 1 频域卷积定理： 频域卷积定理：若 y ( n) = x ( n) h( n), 则 Y (e ) = X (e ) * H (e ) = 2π
∑
∞
x ( n) =
2
1 2π
∫π
−
π
X ( e jω ) d ω
2
Wiener − Khinchin (维纳 − 辛钦）定理 : 辛钦） Px (e jω ) = Px = 1 2π
m = −∞
∑ r ( m )e
x
∞
− jω m
= lim
N →∞
X 2 N ( e jω ) 2N + 1
2
∫π
−
复信号 x (n) = cos（ω0 n + ϕ ) + j sin ω0 n + ϕ ) = e j (ω0 n +ϕ )的 （ 傅立叶变换（ 傅立叶变换（ DTFT )： X (ω ) = =
n = −∞ ∞
∑ x ( n) e
∞
− jω n
=
n = −∞
rx ( m ) = x ( − m ) * x ( m )， E x (e jω ) = X * (e jω ) X (e jω ) = X (e jω ) 则 能量信号自相关函数的 傅里叶变换是信号傅里 叶变换的模的平方 Parseval （巴塞伐）定理：若 x 巴塞伐）定理：
2 2
=
n = −∞
π
−π
n = −∞ ∞
∑ δ (t − nT )
s k = −∞
∞
∑ δ (ω − ω
0
+ 2πk ), k ∈ Z
∫π
−
π
2π
k = −∞
δ (ω − ω0 + 2πk )e jωn dω ∑
∞
= ∫ δ (ω − ω0 )e jωn dω = e jω0 n
sin(ω0 n) ⇔ jπ cos(ω0 n) ⇔ π
离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的定义 的定义 离散时间信号傅里叶变换
当限定z = e jω 时，离散信号的 Z变换变为 傅立叶变换（ 如下： 傅立叶变换（ DTFT ), 如下： X ( z ) z = e jω = X (e jω）=
n = −∞
复变函数 X (e jω )， 关于e − jω的幂级数
∑ x ( n)e
∞
− jωn
X (e jω )是以2π为周期 X (e jω )是连续信号 e jωn X ( e→ e jωn X (e jω ) ) (e
jω
变换。 傅立叶变换即限定在 r = z = 1单位圆上的 Z变换。
进行自变量代换： 将离散信号 s变换子集 s = jΩ进行自变量代换： 进行自变量代换 X ( s ) s = jΩ = X ( j Ω ) = → =
∞ 2 n = −∞
X (ω ) = X (−ω ) = ( ∑ x (n) cos(ωn)) + ( ∑ x (n) sin(ωn)) 2
n = −∞
ϕ (ω ) = −ϕ (−ω ) = arctan
−
n = −∞
∑ x(n) cos(ωn)
n = −∞ ∞
∑ x (n) sin(ωn)
∞
实信号DTFT会出现 0成分：反相、同幅值。 会出现-f 成分：反相、同幅值。 实信号 会出现
k = −∞ ∞
∑ [δ (ω + ω
0
∞
0
+ 2πk ) − δ (ω − ω0 + 2πk )], k ∈ Z
k = −∞
∑ [δ (ω + ω
+ 2πk ) + δ (ω − ω0 + 2πk )], k ∈ Z
∞ 1 u ( n) ⇔ + π ∑ δ (ω + 2πk ), k ∈ Z − jω 1− e k = −∞
DTFT的物理意义 的物理意义
看频率组成、 看频率组成、看频率响应
300 200
X (e jω）=
n = −∞
x (n)e − jωn ∑
∞
x (n) ϕ ) = a cos(ω0 n + ϕ )
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001 w0 =0.6283 rad (f0 =20Hz) Aw0 =249.7494 Pw0 =1.2797 w0N =-0.6283 rad(f0=-20Hz) Aw0N = 249.7494 Pw0N = -1.2797 Elapsed time is 7.574711 seconds.
100
0 -5
0
5
10 w/rad
15
20
25
30
300
200
100
0 -200
0
200
400 f/Hz
600
800
1000
的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处出现频率分量 (2)出现 出现2pi(或fs)周期性 出现 或 周期性 (3)其他分量 其他分量
jω n = −∞ ∞
∑ δ ( n − m )e
− j ωn
= e − jωm , 所有ω幅频响应为1 ，
X I ( e jω ) − sin(ωm ) ] = −ωm 相频响应 ϕ（ω）= arctan = arctan[ jω X R (e ) cos(ωm )